2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章《基本不等式》教案1 新人教A版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章《基本不等式》教案1 新人教A版必修5.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章基本不等式教案1 新人教A版必修5授課類型:新授課【教學(xué)目標(biāo)】1知識與技能:學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式,理解這個基本不等式的幾何意義,并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是:當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等;2過程與方法:通過實(shí)例探究抽象基本不等式;3情態(tài)與價值:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),體會數(shù)學(xué)來源于生活,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣【教學(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式,并從不同角度探索不等式的證明過程;【教學(xué)難點(diǎn)】基本不等式等號成立條件【教學(xué)過程】1.課題導(dǎo)入基本不等式的幾何背景:如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo),會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的,顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車,代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。2.講授新課1探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖,在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為。這樣,4個直角三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積,我們就得到了一個不等式:。當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時,正方形EFGH縮為一個點(diǎn),這時有。2得到結(jié)論:一般的,如果3思考證明:你能給出它的證明嗎?證明:因?yàn)?當(dāng)所以,即41)從幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識基本不等式特別的,如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b ,可得,通常我們把上式寫作: 2)從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式用分析法證明:要證 (1)只要證 a+b (2)要證(2),只要證 a+b- 0 (3)要證(3),只要證 ( - ) (4)顯然,(4)是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,(4)中的等號成立。 3)理解基本不等式的幾何意義探究:課本第110頁的“探究”在右圖中,AB是圓的直徑,點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn),AC=a,BC=b。過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎?易證tADtDB,那么D2AB即D.這個圓的半徑為,顯然,它大于或等于CD,即,其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合,即ab時,等號成立.因此:基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”評述:1.如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng),看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng),那么該定理可以敘述為:兩個正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).2.在數(shù)學(xué)中,我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù),稱為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).補(bǔ)充例題例1 已知x、y都是正數(shù),求證:(1)2;(2)(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.分析:在運(yùn)用定理:時,注意條件a、b均為正數(shù),結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件),進(jìn)行變形.解:x,y都是正數(shù) 0,0,x20,y20,x30,y30(1)2即2.(2)xy20 x2y220 x3y320(xy)(x2y2)(x3y3)222x3y3即(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.3.隨堂練習(xí)1.已知a、b、c都是正數(shù),求證(ab)(bc)(ca)abc分析:對于此類題目,選擇定理:(a0,b0)靈活變形,可求得結(jié)果.解:a,b,c都是正數(shù)ab20bc20ca20(ab)(bc)(ca)222abc即(ab)(bc)(ca)abc.4.課時小結(jié)本節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2b22ab;兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)(),幾何平均數(shù)()及它們的關(guān)系().它們成立的條件不同,前者只要求a、b都是實(shí)數(shù),而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具,又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).我們還可以用它們下面的等價變形來解決問題:ab,ab()2.5.評價設(shè)計(jì)課本第113頁習(xí)題A組的第1題【板書設(shè)計(jì)】