2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.3 平面坐標(biāo)系中幾種常見變換教案 蘇教版選修4-4.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.3 平面坐標(biāo)系中幾種常見變換教案 蘇教版選修4-443.1平面直角坐標(biāo)系中的平移變換課標(biāo)解讀1.理解平移的意義，深刻認(rèn)識(shí)一個(gè)平移就對(duì)應(yīng)一個(gè)向量2.掌握平移公式，并能熟練運(yùn)用平移公式簡(jiǎn)化函數(shù)的解析式.1平移在平面內(nèi)，將圖形F上所有點(diǎn)按照同一個(gè)方向，移動(dòng)同樣長(zhǎng)度，稱為圖形F的平移，若以向量a表示移動(dòng)的方向和長(zhǎng)度，也稱圖形F按向量a平移2平移變換公式設(shè)P(x，y)，向量a(h，k)，平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P(x，y)，則(x，y)(h，k)(x，y)或1求平移后曲線的方程的步驟是什么？【提示】步驟：(1)設(shè)平移前曲線上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，平移后的曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)；(2)寫出變換公式并轉(zhuǎn)化為(3)利用上述公式將原方程中的x，y代換；(4)按習(xí)慣，將所得方程中的x，y分別替換為x，y，即得所求曲線的方程2在圖形平移過(guò)程中，每一點(diǎn)都是按照同一方向移動(dòng)同樣的長(zhǎng)度，你是如何理解的？【提示】其一，平移所遵循的“長(zhǎng)度”和“方向”正是向量的兩個(gè)本質(zhì)特征，因此，從向量的角度看，一個(gè)平移就是一個(gè)向量其二，由于圖形可以看成點(diǎn)的集合，故認(rèn)識(shí)圖形的平移，就其本質(zhì)來(lái)講，就是要分析圖形上點(diǎn)的平移.平移變換公式的應(yīng)用點(diǎn)M(8，10)按a平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(7,4)，求a.【自主解答】由平移公式得解得即a(15,14)把點(diǎn)A(2,1)按a(3,2)平移，求對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)(x，y)【解】由平移公式得即對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)(1,3)平移變換公式在圓錐曲線中的應(yīng)用求雙曲線4x29y216x54y290的中心坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸方程、準(zhǔn)線方程和漸近線方程【思路探究】把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程求解【自主解答】將方程按x，y分別配方成4(x2)29(y3)236，即1.令方程可化為1.雙曲線1的中心坐標(biāo)為(0,0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)和(0，2)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)和(0，)，對(duì)稱軸方程為x0，y0，準(zhǔn)線方程為y，漸近線方程為0.根據(jù)公式可得所求雙曲線的中心坐標(biāo)為(2,3)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5)和(2,1)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)和(2,3)，對(duì)稱軸方程為x2，y3，準(zhǔn)線方程為y3，漸近線方程為0，即2x3y130和2x3y50.幾何量a，b，c，e，p決定了圓錐曲線的幾何形狀，它們的值與圓錐曲線的位置無(wú)關(guān)，我們將其稱為位置不變量已知拋物線yx24x7.(1)求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求將這條拋物線平移到頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)的函數(shù)解析式【解】(1)設(shè)拋物線yx24x7的頂點(diǎn)O的坐標(biāo)為(h，k)，那么 h2，k3，即這條拋物線的頂點(diǎn)O的坐標(biāo)為(2,3)(2)將拋物線yx24x7平移，使點(diǎn)O(2,3)與點(diǎn)O(0,0)重合，這種圖形的變換可以看做是將其按向量平移得到的，設(shè)的坐標(biāo)為(m，n)，那么所以拋物線按(2，3)平移，平移后的方程為yx2.(教材第40頁(yè)習(xí)題4.3第3題)寫出拋物線y28x按向量(2,1)平移后的拋物線方程和準(zhǔn)線方程(xx無(wú)錫質(zhì)檢)將函數(shù)y2x的圖象l按a(0,3)平移到l，求l的函數(shù)解析式【命題意圖】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中平移公式的運(yùn)用【解】設(shè)P(x，y)為l的任意一點(diǎn)，它在l上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P(x，y)由平移公式得將它們代入y2x中得到y(tǒng)32x，即函數(shù)的解析式為y2x3.1將點(diǎn)P(7,0)按向量a平移，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)A(11,5)，則a_.【答案】(4,5)2直線l：3x2y120按向量a(2，3)平移后的方程是_【答案】3x2y03曲線x2y22x2y10的中心坐標(biāo)是_【解析】配方，得(x1)2(y1)21.【答案】(1，1)4開口向上，頂點(diǎn)是(3,2)，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)距離是1的拋物線方程是_【解析】開口向上，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)距離是1的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24y，所以所求拋物線的方程是(x3)24(y2)【答案】(x3)24(y2)1已知函數(shù)yx2圖象F按平移向量a(2,3)平移到F的位置，求圖象F的函數(shù)表達(dá)式【解】在曲線F上任取一點(diǎn)P(x，y)，設(shè)F上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x，y)，則xx2，yy3，xx2，yy3.將上式代入方程yx2，得：y3(x2)2，y(x2)23，即圖象F的函數(shù)表達(dá)式為y(x2)23.2求橢圓4x29y224x18y90的中心坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率及準(zhǔn)線方程【解】因橢圓方程可化為1，其中心為(3,1)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3，1)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，短軸長(zhǎng)為4，離心率為，準(zhǔn)線方程為x3.3圓x2y225按向量a平移后的方程是x2y22x4y200，求過(guò)點(diǎn)(3,4)的圓x2y225的切線按向量a平移后的方程【解】由題意可知a(1，2)，因?yàn)槠揭魄斑^(guò)點(diǎn)(3,4)的圓x2y225的切線方程為3x4y25，所以平移后的切線方程為3(x1)4(y2)25，即3x4y200.4已知兩個(gè)點(diǎn)P(1,2)、P(2,10)和向量a(3,12)回答下列問(wèn)題：(1)把點(diǎn)P按向量a平移，求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)把某一點(diǎn)按向量a平移得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)P，求這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P按某一向量平移，得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P，求這個(gè)向量的坐標(biāo)【解】(1)平移公式為由x1，y2，解得x2，y14，即所求的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,14)(2)平移公式為由x2，y10，解得x5，y2，即所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，2)(3)平移公式為由x1，y2，x2，y10，解得h1，k8，所以所求的向量的坐標(biāo)為(1,8)5將二次函數(shù)yx2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y2x5的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)(3,1)，求向量a的坐標(biāo)【解】設(shè)a(h，k)，所以yx2平移后的解析式為yk(xh)2，即yx22hxh2k與直線y2x5只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線為拋物線在(3,1)處的切線，由導(dǎo)數(shù)知識(shí)，知yx22hxh2k在(3,1)處切線的斜率為62h，從而62h2，h2.又點(diǎn)(3,1)在yk(xh)2上，解得k0，所以向量a的坐標(biāo)為(2,0)6拋物線yx24x7按向量a平移后，得到拋物線的方程是yx2.求向量a及平移前拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)【解】拋物線方程可化為y3(x2)2，平移后的拋物線方程為yx2，所以a(2，3)，因?yàn)閥x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，所以平移前拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(02，3)，即(2，)7已知雙曲線的漸近線方程為4x3y90與4x3y150，一條準(zhǔn)線的方程為y，求此雙曲線的方程【解】?jī)蓾u近線的交點(diǎn)即雙曲線中心，故由解得交點(diǎn)為(3,1)，即中心為(3,1)又一條準(zhǔn)線方程為y，說(shuō)明焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸平行于y軸，所以可設(shè)雙曲線方程為1，它的漸近線方程可寫成0，準(zhǔn)線方程為y1，而已知漸近線方程為4x3y90，即4(x3)3(y1)0，另一條漸近線方程為4x3y150，即4(x3)3(y1)0，合并即為0.對(duì)照，得.而已知準(zhǔn)線方程y，即y1.對(duì)照，得.由，解得a4，b3，c5.故所求雙曲線方程為1.教師備選8已知拋物線yx24x8，(1)求將這條拋物線的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)(3，2)時(shí)的拋物線方程；(2)將此拋物線按怎樣的向量a平移，能使平移后的方程是yx2?【解】(1)將拋物線yx24x8配方，得y(x2)212，故拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為P(2，12)，將點(diǎn)(2，12)移到(3，2)時(shí)，其平移向量a(1,10)，于是平移公式為即因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)在拋物線yx24x8上，所以y10(x1)24(x1)8，即yx26x7.所以平移后的方程為yx26x7.(2)法一設(shè)平移向量a(h，k)，則平移公式為將其代入yx24x8，得yk(xh)24(xh)8，化簡(jiǎn)整理，得yx2(2h4)xh24hk8.令解得此時(shí)yx2.所以當(dāng)圖象按向量a(2,12)平移時(shí)，可使函數(shù)的解析式化為yx2.法二將拋物線yx24x8，即y12(x2)2平移到y(tǒng)x2.只需要作變換所以平移對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)為(2,12)43.2平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換課標(biāo)解讀1.了解平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換，能運(yùn)用伸縮變化進(jìn)行簡(jiǎn)單的變換2.體會(huì)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換給圖形帶來(lái)的變化.1橫坐標(biāo)的伸縮變換一般地，由(k0)所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著y軸的伸縮變換(當(dāng)k1時(shí)，表示伸長(zhǎng)；當(dāng)0k1時(shí)，表示壓縮)，即曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的k倍(這里(x，y)是變換前的點(diǎn)，(x，y)是變換后的點(diǎn))2縱坐標(biāo)的伸縮變換一般地，由(k0)所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著x軸的伸縮變換(當(dāng)k1時(shí)，表示伸長(zhǎng)；當(dāng)0k1時(shí)，表示壓縮)，即曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的k倍(這里(x，y)是變換前的點(diǎn)，(x，y)是變換后的點(diǎn))3伸縮變換一般地，設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱為伸縮變換1如果x軸的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，圓x2y24的圖形變?yōu)槭裁磮D形？伸縮變換可以改變圖形的形狀嗎？那平移變換呢？【提示】x2y24的圖形變?yōu)闄E圓：y21.伸縮變換可以改變圖形的形狀，但平移變換僅改變位置，不改變它的形狀2如何理解平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換？【提示】在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行伸縮變換，即改變x軸或y軸的單位長(zhǎng)度，將會(huì)對(duì)圖形產(chǎn)生影響其特點(diǎn)是坐標(biāo)系和圖形發(fā)生了改變，而圖形對(duì)應(yīng)的方程不發(fā)生變化如在下列平面直角坐標(biāo)系中，分別作出f(x，y)0的圖形：(1)x軸與y軸具有相同的單位長(zhǎng)度；(2)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的k倍；(3)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的.第(1)種坐標(biāo)系中的意思是x軸與y軸上的單位長(zhǎng)度一樣，f(x，y)0的圖形就是我們以前學(xué)過(guò)的平面直角坐標(biāo)系中的f(x，y)0的圖形；第(2)種坐標(biāo)系中的意思是如果x軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，此時(shí)f(x，y)0表示的圖形與第(1)種坐標(biāo)系中的圖形是不同的；第(3)種坐標(biāo)系中的意思是如果y軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，x軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，此時(shí)f(x，y)0表示的圖形與第(1)種坐標(biāo)系中的圖形是不同的伸縮變換對(duì)下列曲線進(jìn)行伸縮變換(k0，且k1)(1)ykxb；(2)(xa)2(yb)2r2.【自主解答】設(shè)P(x，y)是變換前的點(diǎn)，P(x，y)是變換后的點(diǎn)，由題意，得即(1)由yk(x)b，ykxkb，得直線ykxb經(jīng)過(guò)伸縮變換后的方程為ykxkb，仍然是一條直線當(dāng)b0時(shí)，該直線和原直線重合；當(dāng)b0時(shí)，該直線和原直線平行(2)由(xa)2(yb)2r2，(xka)2(ykb)2(kr)2，得圓(xa)2(yb)2r2經(jīng)過(guò)伸縮變換后的方程為(xka)2(ykb)2(kr)2，它是一個(gè)圓心為(ka，kb)，半徑為|kr|的圓在同一平面直角坐標(biāo)系中，將直線x2y2變成直線2xy4，求滿足圖象變換的伸縮變換【解】設(shè)變換為，代入直線方程2xy4得：2xy4，即xy2，比較系數(shù)得：1，4，即直線x2y2圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍可得到直線2xy4.伸縮變換的應(yīng)用曲線y2sin 3x變換成曲線y3sin 2x，求它的一個(gè)伸縮變換【思路探究】設(shè)代入y3sin 2x，所得式再與y2sin 3x比較即可求、.【自主解答】將變換后的曲線y3sin 2x改成y3sin 2x.設(shè)伸縮變換代入y3sin 2x；得y3sin(2x)即ysin(2x)，與y2sin 3x比較系數(shù)，得即所以伸縮變換為確定一個(gè)伸縮變換，實(shí)際上就是求其變換方法，將新舊坐標(biāo)分清，代入對(duì)應(yīng)的曲線方程，然后比較系數(shù)即可(1)圓x2y2a2經(jīng)過(guò)什么樣的伸縮變換，可以使方程變?yōu)?(0ba)?(2)分析圓x2y2a2的一條弦所在直線和經(jīng)過(guò)該弦中點(diǎn)的直徑所在直線經(jīng)過(guò)上述伸縮變換后的位置關(guān)系【解】(1)橢圓1可以化為x2a2，設(shè)即所以圓x2y2a2經(jīng)過(guò)向著x軸方向上的伸縮變換，伸縮系數(shù)k，可以使方程變?yōu)?.(2)若圓x2y2a2的一條弦所在直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為ykxm，根據(jù)垂徑定理，經(jīng)過(guò)該弦中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為yx.由ykxm，得yxm.所以直線ykxm經(jīng)過(guò)變換，方程可變?yōu)閥xm.由yx，得yx，所以直線yx經(jīng)過(guò)變換，方程可變?yōu)閥x.此時(shí)，兩條直線的斜率乘積是定值.若圓x2y2a2的弦所在直線的方程為xn，則經(jīng)過(guò)其中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為y0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閤n，y0.此時(shí)兩直線依然垂直若圓x2y2a2的弦所在直線的方程為yn，則經(jīng)過(guò)其中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為x0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閥n，x0.此時(shí)兩直線依然垂直(教材第41頁(yè)習(xí)題4.3第8題)對(duì)下列曲線向著x軸進(jìn)行伸縮變換，伸縮系數(shù)k2：(1)x24y216；(2)x2y24x2y10.(xx南京模擬)求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線x2y21變成曲線1.【命題意圖】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換【解】設(shè)變換為代入方程1，得1.與x2y21比較，將其變形為x2y21，比較系數(shù)得3，2.即將圓x2y21上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，可得橢圓1.1直線x4y60按伸縮系數(shù)向著x軸的伸縮變換后，直線的方程是_【答案】x8y602直線2x3y0按伸縮系數(shù)3向著y軸的伸縮變換后，直線的方程是_【答案】2x9y03曲線x2y24按伸縮系數(shù)2向著y軸的伸縮變換后，曲線的方程是_【答案】14ycos x經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線方程變?yōu)開【解析】由，得，代入ycos x，得ycos x，即y3cos x.【答案】y3cos 1在平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程經(jīng)過(guò)伸縮變換后的方程(1)2x3y0；(2)x2y21.【解】由伸縮變換得到(1)將代入2x3y0，得到經(jīng)過(guò)伸縮變換后的方程為xy0，所以，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，直線2x3y0變成直線xy0.(2)將代入x2y21，得1.所以，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，方程x2y21變成1.2伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為曲線C在此變換下變?yōu)闄E圓x21.求曲線C的方程【解】把代入x21，得x2y21，即曲線C的方程為x2y21.3設(shè)F：(x1)2(y1)21在的伸縮變換下變?yōu)閳D形F，求F的方程【解】由得所以(x1)2(y1)21變換為(x1)2(y1)21，即(y1)21，所以F的方程是(y1)21.4雙曲線1經(jīng)過(guò)伸縮變換能化為等軸雙曲線x2y21嗎？【解】雙曲線方程1可以化為()2()21.令則x2y21.所以雙曲線1可以通過(guò)伸縮變換化為等軸雙曲線x2y21，具體步驟是：按伸縮系數(shù)向著y軸進(jìn)行伸縮變換，再將曲線按伸縮系數(shù)向著x軸進(jìn)行伸縮變換5已知G是ABC的重心，經(jīng)過(guò)伸縮系數(shù)k向著x軸(或y軸)的伸縮變換后，得到G和ABC.試判斷G是否為ABC的重心【解】設(shè)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，則G(，)經(jīng)過(guò)伸縮系數(shù)k向著x軸的伸縮變換后，得到ABC的三個(gè)頂點(diǎn)及點(diǎn)G的坐標(biāo)分別為A(x1，ky1)、B(x2，ky2)，C(x3，ky3)，G(，k)由于ABC的重心坐標(biāo)為(，)，所以G仍然是ABC的重心同理可證，若伸縮變換向著y軸方向，G同樣也是ABC的重心6已知：ABC經(jīng)過(guò)伸縮變換(k0，且k1)后，得到ABC.求證：ABC和ABC相似，且面積比為k2.【證明】設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則A(kx1，ky1)、B(kx2，ky2)所以AB|k|k|AB.同理可得AC|k|AC，BC|k|BC，所以ABCABC，所以AA，SABC(|k|AB)(|k|AC)sin Ak2(ABAC)sin Ak2SABC.7設(shè)P1、P2是直線l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使PP2，稱為點(diǎn)P分有向線段P1P2所成比設(shè)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，點(diǎn)P分有向線段P1P2所成比為，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，點(diǎn)P1、P2和P分別變?yōu)镻1、P2和P.求證：P1、P2和P三點(diǎn)依然共線，且P分有向線段P1P2所成比等于.【證明】設(shè)P(x0，y0)，由，得(x0x1，y0y1)(x2x0，y2y0)，所以設(shè)給定伸縮變換為則有P1(k1x1，k2y1)、P2(k1x2，k2y2)、P(k1，k2)(k1k1x1，k2k2y1)(，)，(k1x2k1，k2y2k2)(，)，所以.所以P1、P2和P三點(diǎn)依然共線，且P分有向線段P1P2所成比等于.教師備選8在下列平面直角坐標(biāo)系中，分別作出雙曲線1的圖形：(1)x軸與y軸具有相同的單位長(zhǎng)度；(2)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的2倍；(3)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的倍【解】(1)建立平面直角坐標(biāo)系，使x軸與y軸具有相同的單位長(zhǎng)度，雙曲線1的圖形如下：(2)如果x軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，雙曲線1的圖形如下：(3)如果y軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，x軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，雙曲線1的圖形如下：選修44階段歸納提升坐標(biāo)系)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的公式或當(dāng)不能直接使用公式時(shí)，可通過(guò)適當(dāng)變換，化成能使用的形式把下列極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：(1)M(5，)；(2)N(2，)；(3)P(2，)；(4)Q(2，)【解】(1)由題意知x5cos 5()，y5sin 5.所以M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(，)(2)x2cos 200，y2sin 2(1)2.所以N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，2)(3)x2cos 2()，y2sin 2().所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(，)(2)x2cos()2，y2sin()2()1.所以Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)為Q(，1).極坐標(biāo)的應(yīng)用主要應(yīng)用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式解決問(wèn)題，注意極坐標(biāo)系中的和的含義(xx陜西高考)直線2cos 1與圓2cos 相交的弦長(zhǎng)為_【解析】直線2cos 1可化為2x1，即x；圓2cos 兩邊同乘得22cos ，化為直角坐標(biāo)方程是x2y22x.將x代入x2y22x得y2，y.弦長(zhǎng)為2.【答案】伸縮變換變換公式其中P(x，y)為變換前的點(diǎn)，P(x，y)為變換后的點(diǎn)將圓錐曲線C按伸縮變換公式變換后得到雙曲線x2y21，求曲線C的方程【解】設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，通過(guò)伸縮變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x，y)，由得代入x2y21得()2()21，即1為所求綜合檢測(cè)(一)(時(shí)間90分鐘，滿分120分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)把答案填在題中橫線上)1極坐標(biāo)為M(8，)，N(8，)，P(8，)，Q(8，)的四點(diǎn)中，與點(diǎn)A(8，)表示同一點(diǎn)的有_個(gè)【答案】32已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(，3)，其極坐標(biāo)為_【答案】(2，)3曲線的極坐標(biāo)方程4sin 化成直角坐標(biāo)方程為_【答案】x2(y2)244在極坐標(biāo)系中，曲線4sin 和cos 1相交于點(diǎn)A、B，則AB_.【解析】平面直角坐標(biāo)系中，曲線4sin 和cos 1分別表示圓x2(y2)24和直線x1，作圖易知AB2.【答案】25極坐標(biāo)方程表示的曲線是_【答案】橢圓6以(1，)為圓心，且過(guò)極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程是_【答案】2cos 7(xx北京高考)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線sin 2的距離等于_【解析】極坐標(biāo)系中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為(，1)極坐標(biāo)系中直線sin 2對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中直線y2.故所求距離為1.【答案】18已知點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(，)，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為_，球坐標(biāo)為_【解析】設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，柱坐標(biāo)為(，z)，球坐標(biāo)為(r，)，由得由得即所以點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(，)，球坐標(biāo)為(，)【答案】(，)(，)9在極坐標(biāo)系中，曲線2cos 和cos 2的位置關(guān)系是_【答案】相切10極坐標(biāo)方程sin 表示的曲線是_【答案】?jī)蓷l直線11(xx天津高考)已知圓的極坐標(biāo)方程為4cos ，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，則|CP|_.【解析】由4cos 可得x2y24x，即(x2)2y24，因此圓心C的直角坐標(biāo)為(2,0)又點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,2)，因此|CP|2.【答案】212(xx湖南高考)在極坐標(biāo)系中，曲線C1：(cos sin )1與曲線C2：a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，則a_.【解析】(cos sin )1，即cos sin 1對(duì)應(yīng)的普通方程為xy10，a(a>0)對(duì)應(yīng)的普通方程為x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.將(，0)代入x2y2a2得a.【答案】13在同一平面直角坐標(biāo)系中經(jīng)過(guò)伸縮變換后曲線C變?yōu)榍€2x28y21，則曲線C的方程為_【解析】將代入2x28y21，得：2(5x)28(3y)21，即50x272y21.【答案】50x272y2114已知圓的極坐標(biāo)方程2cos ，直線的極坐標(biāo)方程為cos 2sin 70，則圓心到直線的距離為_【解析】將2cos 化為22cos ，即有x2y22x0，亦即(x1)2y21.將cos 2sin 70化為x2y70，故圓心到直線的距離d.【答案】二、解答題(本大題共4小題，共50分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15(本小題滿分12分)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M坐標(biāo)是(2，)，曲線C的方程為2sin()；以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M和極點(diǎn)(1)寫出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)直線l和曲線C相交于兩點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng)【解】(1)直線l過(guò)點(diǎn)M(2，)和極點(diǎn)，直線l的極坐標(biāo)方程是(R)2sin()即2(sin cos )，兩邊同乘以得22(sin cos )，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y0.(2)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1，)，直線l過(guò)點(diǎn)M和原點(diǎn)，直線l的直角坐標(biāo)方程為yx.曲線C的圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑r，圓心到直線l的距離為d，AB2.16(本小題滿分12分)在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€(x5)2(y6)21，求曲線C的方程，并判斷其形狀【解】將代入(x5)2(y6)21，得(2x5)2(2y6)21.化簡(jiǎn)，得(x)2(y3)2.該曲線是以(，3)為圓心，半徑為的圓17(本小題滿分13分)過(guò)拋物線y22px(p>0)的頂點(diǎn)O，作兩垂直的弦OA、OB，求AOB的面積的最小值【解】取O為極點(diǎn)，Ox軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，將拋物線方程化成極坐標(biāo)方程，有2sin22pcos ，設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(1，)，因?yàn)镺AOB，所以A的極坐標(biāo)為(2，)所以1，2.所以SAOBOAOB4p2，當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，因此AOB的面積的最小值為4p2.18(本小題滿分13分)過(guò)曲線的右焦點(diǎn)作一傾斜角為60的直線l，求l被曲線截得的弦長(zhǎng)【解】設(shè)直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B.設(shè)A(1，)，則B(2，)弦長(zhǎng)AB|12|.