2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 圓的方程 2.3.3 直線與圓的位置關(guān)系教案 新人教B版必修2.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 圓的方程 2.3.3 直線與圓的位置關(guān)系教案 新人教B版必修2教學(xué)分析教材通過兩個(gè)例題介紹了用代數(shù)方法研究直線和圓的位置關(guān)系，值得注意的是在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比例1的兩種解法，使學(xué)生真正體會(huì)到解法2(幾何法)的簡便三維目標(biāo)1掌握直線與圓的位置關(guān)系及其判定方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力2能解決與直線和圓的位置關(guān)系有關(guān)的問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)：求圓的切線方程課時(shí)安排1課時(shí)導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)1.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線、圓的方程，那么如何用方程來討論直線與圓的位置關(guān)系呢？教師點(diǎn)出課題設(shè)計(jì)2.早晨起來，站在海邊上向東方觀看：太陽從海平面上緩緩升起如果把遠(yuǎn)處的海平面抽象成直線，把太陽抽象成圓，那么其中呈現(xiàn)直線與圓的什么位置關(guān)系？今天，我們用方程來討論，教師點(diǎn)出課題推進(jìn)新課討論結(jié)果：(1)相離、相切、相交如下圖所示(2)方法一：根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)方法二：根據(jù)圓心到直線距離d與半徑r的大小關(guān)系如下表所示：直線與圓的位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系相交兩個(gè)d<r相切只有一個(gè)dr相離沒有d>r (3)方法一，判斷直線l與圓的位置關(guān)系，就是看由它們的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)；方法二，可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系思路1例1已知圓的方程是x2y22，直線方程是yxb，當(dāng)b為何值時(shí)，圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)？只有一個(gè)公共點(diǎn)？沒有公共點(diǎn)？解法一：所求曲線公共點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為b為何值時(shí)，方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解；有兩組相同實(shí)數(shù)解；無實(shí)數(shù)解的問題代入，整理，得2x22bxb220，方程的根的判別式(2b)242(b22)4(b2)(b2)當(dāng)2<b<2時(shí)，>0，方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解，因此直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)b2或b2時(shí)，0，方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解，因此直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)b<2或b>2時(shí)，<0，方程組沒有實(shí)數(shù)解，因此直線與圓沒有公共點(diǎn)以上分別就是直線與圓相交、相切、相離的三種情況(如下圖)解法二：圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)、無公共點(diǎn)的問題，可以轉(zhuǎn)化為b取何值時(shí)圓心到直線的距離小于半徑、等于半徑、大于半徑的問題圓的半徑r，圓心O(0,0)到直線yxb的距離為d.當(dāng)d<r，即2<b<2時(shí)，圓與直線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)dr，|b|2，即b2或b2時(shí)，圓與直線相切，直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)d>r，|b|>2，即b<2或b>2時(shí)，圓與直線相離，圓與直線無交點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：解法一稱為代數(shù)法，解法二稱為幾何法幾何法是判定直線與圓的位置關(guān)系的最優(yōu)解法代數(shù)法步驟：將直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組；利用消元法，得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二次方程；求出其判別式的值；比較與0的大小關(guān)系，若>0，則直線與圓相交；若0，則直線與圓相切；若<0，則直線與圓相離幾何法步驟：把直線方程化為一般式，求出圓心和半徑；利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離；作判斷：當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)dr時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓相交變式訓(xùn)練判斷下列直線與圓(x1)2(y1)21的位置關(guān)系：(1)xy20；(2)x2y10.解：已知圓的圓心為C(1,1)，半徑r1.(1)點(diǎn)C到直線xy20的距離為d1.又r1，所以d1>r，可知直線與圓相離(2)點(diǎn)C到直線x2y10的距離為d2.因?yàn)閐2<r，所以此直線與圓相交例2已知圓的方程是x2y2r2，求過圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程(如下圖)解法一：如果x00，且y00，則直線OM的方程為yx，從而過點(diǎn)M的圓的切線的斜率為，因此所求圓的切線方程為yy0(xx0)，化簡，得x0xy0yxy.因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在圓上，所以xyr2.所以，過圓x2y2r2上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程為x0xy0yr2.如果x00或y00，我們?nèi)菀昨?yàn)證，過點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程也可以表示為x0xy0yr2的形式因此，所求的切線方程為x0xy0yr2.解法二：設(shè)P(x，y)為所求切線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)P與M不重合時(shí)，OPM為直角三角形，OP為斜邊，所以O(shè)P2OM2MP2，即x2y2xy(xx0)2(yy0)2.整理得x0xy0yr2.可以驗(yàn)證，當(dāng)P與M重合時(shí)同樣適合上式，故所求的切線方程是x0xy0yr2.解法三：設(shè)P(x，y)為所求切線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M不在坐標(biāo)軸上時(shí)，由OMMP得kOMkMP1，即1，整理得x0xy0yr2.可以驗(yàn)證，當(dāng)點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上時(shí)，P與M重合，同樣適合上式，故所求的切線方程是x0xy0yr2.點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓相切問題的關(guān)鍵是如何利用圓的切線性質(zhì)，即圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑解法一是利用圓的切線性質(zhì)，求出切線斜率，從而得切線方程；解法二是利用圓的切線性質(zhì)，得到直角三角形，由勾股定理解決；解法三是利用圓的切線性質(zhì)，得兩直線垂直，由斜率關(guān)系解決解法一是通法，以后常用解法一來解決直線與圓相切的問題變式訓(xùn)練1直線 xym0與圓x2y22x20相切，則實(shí)數(shù)m等于()A.或 B或3C3或 D3或3解析：圓x2y22x20的圓心為(1,0)，半徑為，因?yàn)橹本€xym0為圓的切線，因此圓心(1,0)到直線的距離為圓的半徑.從而d，解得m2，m或m3.答案：C2求過點(diǎn)M(3,1)，且與圓(x1)2y24相切的直線l的方程解：設(shè)切線方程為y1k(x3)，即kxy3k10，因?yàn)閳A心(1,0)到切線l的距離等于半徑2，所以2，解得k.所以切線方程為y1(x3)，即3x4y130.當(dāng)過點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為x3，圓心(1,0)到此直線的距離等于半徑2，故直線x3也符合題意所以直線l的方程是3x4y120或x3.3設(shè)直線mxy20與圓x2y21相切，求實(shí)數(shù)m的值解：已知圓的圓心為O(0,0)，半徑r1，則O到已知直線的距離d .由已知得dr，即1，解得m.思路2例3已知直線l：3xy60和圓心為C的圓x2y22y40，判斷直線l與圓的位置關(guān)系，如果相交，求它們交點(diǎn)的坐標(biāo)解法一：由直線與圓的方程得消去y得x23x20.(3)24121>0，直線與圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)解法二：圓的方程可化為x2(y1)25，其圓心的坐標(biāo)為(0,1)，半徑長為.圓心到直線的距離為d<.直線與圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)由x23x20得x12，x21.當(dāng)x12時(shí)，y16320；當(dāng)x21時(shí)，y26313，得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)、(1,3)點(diǎn)評(píng)：利用幾何法判斷比利用代數(shù)方法要快但求交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)仍需聯(lián)立方程直線與圓的位置關(guān)系的判定：法一：看由它們的方程組成的方程組有解的個(gè)數(shù)；法二：可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系變式訓(xùn)練1直線l：3x4y60與圓x2y24的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D不確定解析：圓心(0,0)到直線l的距離d<r2，則直線l與圓相交，有2個(gè)交點(diǎn)答案：C2若過點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x2)2y21有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為()A， B，)C， D，)解析：數(shù)形結(jié)合的方法如下圖所示，CABBAD30，直線l的傾斜角的取值范圍為0，30150，180)直線l的斜率的取值范圍為， 答案：C例4已知過點(diǎn)M(3，3)的直線l被圓x2y24y210所截得的弦長為4，求直線l的方程分析：利用幾何圖形的性質(zhì)，半弦長、半徑與圓心到直線的距離所構(gòu)成的直角三角形求解解：將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，得x2(y2)225.所以圓心為(0，2)，半徑為r5.因?yàn)橹本€l被圓截得的弦長是4，所以弦心距為，即圓心到所求直線l的距離為.因?yàn)橹本€過點(diǎn)(3，3)，所以可設(shè)所求直線l的方程為y3k(x3)，即kxy3k30.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得到圓心到直線l的距離d.兩邊平方整理得，2k23k20，解得k，k2.所以所求的直線方程為y3(x3)或y32(x3)，即x2y90或2xy30.點(diǎn)評(píng)：本題解法突出了適當(dāng)?shù)乩脦缀涡再|(zhì)，有助于簡化運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)圖形在解題中的輔助作用，加強(qiáng)了形與數(shù)的結(jié)合變式訓(xùn)練1過直線yx上的一點(diǎn)作圓(x5)2(y1)22的兩條切線l1，l2，當(dāng)直線l1，l2關(guān)于yx對(duì)稱時(shí)，它們之間的夾角為()A30 B45 C60 D90解析：如下圖，過圓心O作OA垂直于直線yx，垂足為A(3,3)易知過點(diǎn)A向圓所引兩條切線是關(guān)于直線yx對(duì)稱的又|OA|2，|OC|，OAC30，即兩切線l1與l2間夾角為60.答案：C2已知一圓C的圓心為(2，1)，且該圓被直線l：xy10截得的弦長為2，求該圓的方程及過弦的兩端點(diǎn)的切線方程分析：通過弦長與圓半徑的關(guān)系可以求出圓的半徑，得到圓的方程，其他問題易解解：設(shè)圓C的方程是(x2)2(y1)2r2(r>0)，如下圖則弦長p2，其中d為圓心到直線xy10的距離，p22.r24.圓的方程為(x2)2(y1)24.由解得弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1)、(0，1)過弦兩端點(diǎn)的該圓的切線方程是y1和x0.知能訓(xùn)練1已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x3y0上，且被直線yx截得的弦長為2，求圓C的方程答案：(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.2圓x2y22上的點(diǎn)到直線3x4y250的距離的最小值為()A5 B5 C3 D.答案：A3以M(4,3)為圓心的圓與直線2xy50相離，那么圓M的半徑r的取值范圍是()A0<r<2 B0<r< C0<r<2 D0<r<答案：C4若經(jīng)過兩點(diǎn)A(1,0)、B(0,2)的直線l與圓(x1)2(ya)21相切，則a_.答案：45若直線3x4ym0與圓x2y22x4y40沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y2)21.因?yàn)橹本€3x4ym0與圓(x1)2(y2)21沒有公共點(diǎn)，因此圓心(1，2)到直線3x4ym0的距離大于圓的半徑(r1)故1 |m5|5 m10或m0.答案：(，0)(10，)6從點(diǎn)P(4,5)向圓(x2)2y24引切線，求切線方程解：把點(diǎn)P(4,5)代入(x2)2y24，得(42)25229>4，所以點(diǎn)P在圓(x2)2y24外設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y5k(x4)，即kxy54k0.又圓心坐標(biāo)為(2,0)，r2.因?yàn)閳A心到切線的距離等于半徑，即2，k.所以切線方程為21x20y160.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)還有一條切線是x4.7圓x2y28內(nèi)有一點(diǎn)P0(1,2)，AB為過點(diǎn)P0且傾斜角為的弦(1)當(dāng)135時(shí)，求AB的長；(2)當(dāng)AB的長最短時(shí)，求直線AB的方程解：(1)當(dāng)135時(shí)，直線AB的斜率為ktan1351，所以直線AB的方程為y2(x1)，即yx1.弦心距d，半徑r2，弦長|AB|22.(2)當(dāng)AB的長最短時(shí)，OP0AB，因?yàn)閗OP02，所以kAB，直線AB的方程為y2(x1)，即x2y50.(1)已知直線l：yxb與曲線C：y有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)若關(guān)于x的不等式 >xb解集為R，求實(shí)數(shù)b的取值范圍解：(1)如下圖，方程yxb表示斜率為1，在y軸上截距為b的直線l；方程y 表示單位圓在x軸上及其上方的半圓，當(dāng)直線過B點(diǎn)時(shí)，它與半圓交于兩點(diǎn)，此時(shí)b1，直線記為l1；當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，b，直線記為l2.直線l要與半圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，必須滿足l在l1與l2之間(包括l1但不包括l2)，所以1b<，即所求的b的取值范圍是1，)(2)不等式>xb恒成立，即半圓y在直線yxb上方，當(dāng)直線l過點(diǎn)(1,0)時(shí)，b1，所以所求的b的取值范圍是(，1)1判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法：幾何法和代數(shù)法2求切線方程本節(jié)練習(xí)B2,3,4題本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)以例題教學(xué)為主，突出了圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用滲透了數(shù)形結(jié)合的思想在設(shè)計(jì)過程中，考慮到高考要求，例題的難度有所增加，在實(shí)際教學(xué)中可選擇應(yīng)用備選習(xí)題1圓(x1)2(y)21的切線方程中有一個(gè)是()Axy0 Bxy0 Cx0 Dy0解析：圓心為(1，)，半徑為1，故此圓必與y軸(x0)相切答案：C2圓x22xy24y30上到直線xy10的距離為的點(diǎn)共有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)答案：C3已知圓x24x4y20的圓心是點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線xy10的距離是_答案：4已知圓C的圓心與點(diǎn)P(2,1)關(guān)于直線yx1對(duì)稱直線3x4y110與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|6，則圓C的方程為_解析：設(shè)圓心為C(a，b)，則由 C(0，1)設(shè)C半徑為r，點(diǎn)C到直線3x4y110的距離為d，則d3.r2()2d29918.x2(y1)218.答案：x2(y1)2185直線l：2mxy8m30和圓C：(x3)2(y6)225.(1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C總相交；(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長度以及此時(shí)直線l的方程(1)證明：設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則有d，整理可得4(d21)m212md290，為使上面關(guān)于m的方程有實(shí)數(shù)解，需要12216(d21)(d29)0，解得0d，可得d<5.故不論m為何實(shí)數(shù)值，直線l與圓C總相交；(2)解：由(1)可知0d，即d的最大值為.根據(jù)平面幾何知識(shí)可知：當(dāng)圓心到直線l的距離最大時(shí)，直線l被圓C截得的線段長度最短所以當(dāng)d時(shí)，線段(即弦長)的最小長度為22.將d代入可求得m，代入直線l的方程得直線與圓C截得最短線段時(shí)的方程為x3y50.