2019-2020年高考數(shù)學總復習 專題8.2 點、直線、平面平行與垂直的判定與性質(zhì)試題(含解析).doc
2019-2020年高考數(shù)學總復習 專題8.2 點、直線、平面平行與垂直的判定與性質(zhì)試題(含解析)【三年高考】1. 【xx江蘇高考,15】如圖,在三棱錐A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,點E,F(xiàn)(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EFAD 求證:(1)EF平面ABC; (2)ADAC【答案】(1)見解析;(2)見解析【解析】試題分析:(1)先由平面幾何知識證明,再由線面平行判定定理得結(jié)論;(2)先由面面垂直性質(zhì)定理得平面,則,再由ABAD及線面垂直判定定理得AD平面ABC,即可得ADAC試題解析:(1)在平面內(nèi),因為ABAD,所以又因為平面ABC,平面ABC,所以EF平面ABC【考點】線面平行判定定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理、面面垂直性質(zhì)定理【名師點睛】垂直、平行關系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型:(1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行;(2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直;(3)證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直2【xx江蘇高考,16】如圖,在直三棱柱中,已知,設的中點為,.求證:(1); (2).【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【解析】試題分析(1)由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面為平行四邊形,因此點為的中點,從而由三角形中位線性質(zhì)得,再由線面平行判定定理得(2)因為直三棱柱中,所以側(cè)面為正方形,因此,又,(可由直三棱柱推導),因此由線面垂直判定定理得,從而,再由線面垂直判定定理得,進而可得試題解析:(1)由題意知,為的中點,又為的中點,因此又因為平面,平面,所以平面(2)因為棱柱是直三棱柱,所以平面因為平面,所以又因為,平面,平面,所以平面又因為平面,所以因為,所以矩形是正方形,因此因為,平面,所以平面又因為平面,所以【考點定位】線面平行判定定理,線面垂直判定定理3【xx江蘇,理16】)如圖,在三棱錐SABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,ASAB.過A作AFSB,垂足為F,點E,G分別是棱SA,SC的中點求證:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析4. 【xx江蘇,理16】如圖在三棱錐中,分別為棱的中點,已知,求證(1)直線平面;(2)平面平面.【答案】證明見解析【解析】試題分析:(1)本題證明線面平行,根據(jù)其判定定理,需要在平面內(nèi)找到一條與平行的直線,由于題中中點較多,容易看出,然后要交待在平面外,在平面內(nèi),即可證得結(jié)論;(2)要證兩平面垂直,一般要證明一個平面內(nèi)有一條直線與另一個平面垂直,由(1)可得,因此考慮能否證明與平面內(nèi)的另一條與相交的直線垂直,由已知三條線段的長度,可用勾股定理證明,因此要找的兩條相交直線就是,由此可得線面垂直.試題解析:(1)由于分別是的中點,則有,又,所以(2)由(1),又,所以,又是中點,所以,又,所以,所以,是平面內(nèi)兩條相交直線,所以,又,所以平面平面5【xx課標1,文6】如圖,在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,Q為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直接AB與平面MNQ不平行的是 A B C D【答案】A【解析】【考點】空間位置關系判斷【名師點睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及空間想象能力,屬容易題證明線面平行的常用方法:利用線面平行的判定定理,使用這個定理的關鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面6【xx課標3,文10】在正方體中,E為棱CD的中點,則( )ABCD【答案】C【解析】根據(jù)三垂線逆定理,平面內(nèi)的線垂直平面的斜線,那也垂直于斜線在平面內(nèi)的射影,A.若,那么,很顯然不成立;B.若,那么,顯然不成立;C.若,那么,成立,反過來時,也能推出,所以C成立,D.若,則,顯然不成立,故選C.【考點】線線位置關系7【xx高考浙江理數(shù)改編】已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m,n滿足 則直線中垂直關系是【答案】【解析】試題分析:由題意知,考點:空間點、線、面的位置關系【思路點睛】解決這類空間點、線、面的位置關系問題,一般是借助長方體(或正方體),能形象直觀地看出空間點、線、面的位置關系8【xx高考新課標2理數(shù)】 是兩個平面,是兩條直線,有下列四個命題:(1)如果,那么.(2)如果,那么.(3)如果,那么.(4)如果,那么與所成的角和與所成的角相等.其中正確的命題有 (填寫所有正確命題的編號)【答案】考點: 空間中的線面關系.9【xx高考山東文數(shù)改編】已知直線a,b分別在兩個不同的平面,內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的(在充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件中選填)【答案】充分不必要條件【解析】試題分析:“直線和直線相交”“平面和平面相交”,但“平面和平面相交”“直線和直線相交”,所以“直線和直線相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件考點:1.充要條件;2.直線與平面的位置關系.【名師點睛】充要條件的判定問題,是高考??碱}目之一,其綜合性較強,易于和任何知識點結(jié)合.本題涉及直線與平面的位置關系,突出體現(xiàn)了高考試題的基礎性,能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、空間想象能力等.10【xx高考新課標文數(shù)】如圖,四棱錐中,平面,為線段上一點,為的中點(I)證明平面;(II)求四面體的體積.【答案】()見解析;()【解析】試題分析:()取的中點,然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形,從而得到,由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證;()由條件可知四面體的高,即點到底面的距離為棱的一半,由此可順利求得結(jié)果試題解析:()由已知得,取的中點,連接,由為中點知,. .3分又,故,四邊形為平行四邊形,于是.因為平面,平面,所以平面. .6分()因為平面,為的中點,所以到平面的距離為. .9分取的中點,連結(jié).由得,.由得到的距離為,故,所以四面體的體積. .12分考點:1、直線與平面間的平行與垂直關系;2、三棱錐的體積【技巧點撥】(1)證明立體幾何中的平行關系,常常是通過線線平行來實現(xiàn),而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關系來推證;(2)求三棱錐的體積關鍵是確定其高,而高的確定關鍵又推出頂點在底面上的射影位置,當然有時也采取割補法、體積轉(zhuǎn)換法求解11.【xx高考北京文數(shù)】(本小題14分)如圖,在四棱錐中,平面,(I)求證:;(II)求證:;(III)設點E為AB的中點,在棱PB上是否存在點F,使得平面?說明理由.【答案】()見解析;()見解析;(III)存在.理由見解析.【解析】試題分析:()利用線面垂直判定定理證明;()利用面面垂直判定定理證明;(III)取中點,連結(jié),則,根據(jù)線面平行定理則平面.試題解析:(I)因為平面,所以又因為,所以平面(II)因為,所以因為平面,所以所以平面所以平面平面(III)棱上存在點,使得平面證明如下:取中點,連結(jié),又因為為的中點,所以又因為平面,所以平面 考點:空間垂直判定與性質(zhì);空間想象能力,推理論證能力【名師點睛】平面與平面垂直的性質(zhì)的應用:當兩個平面垂直時,常作的輔助線是在其中一個面內(nèi)作交線的垂線,把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直,進而可以證明線線垂直(必要時可以通過平面幾何的知識證明垂直關系),構(gòu)造(尋找)二面角的平面角或得到點到面的距離等.12【xx高考山東文數(shù)】(本小題滿分12分)在如圖所示的幾何體中,D是AC的中點,EFDB.(I)已知AB=BC,AE=EC.求證:ACFB;(II)已知G,H分別是EC和FB的中點.求證:GH平面ABC.【答案】()證明:見解析;()見解析.【解析】試題分析:()根據(jù),知與確定一個平面,連接,得到,從而平面,證得.()設的中點為,連,在,中,由三角形中位線定理可得線線平行,證得平面平面,進一步得到平面.試題解析:()證明:因,所以與確定一個平面,連接,因為為的中點,所以;同理可得,又因為,所以平面,因為平面,。()設的中點為,連,在中,是的中點,所以,又,所以;在中,是的中點,所以,又,所以平面平面,因為平面,所以平面.考點:1.平行關系;2.垂直關系.【名師點睛】本題主要考查直線與直線垂直、直線與平面平行.此類題目是立體幾何中的基本問題.解答本題,關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉(zhuǎn)化,通過嚴密推理,給出規(guī)范的證明.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想等.13.【xx高考北京,文18】如圖,在三棱錐中,平面平面,為等邊三角形,且,分別為,的中點(I)求證:平面;(II)求證:平面平面;(III)求三棱錐的體積【解析】()因為分別為,的中點,所以.又因為平面,所以平面.()因為,為的中點,所以.又因為平面平面,且平面,所以平面.所以平面平面.()在等腰直角三角形中,所以.所以等邊三角形的面積.又因為平面,所以三棱錐的體積等于.又因為三棱錐的體積與三棱錐的體積相等,所以三棱錐的體積為. 【xx年高考命題預測】縱觀xx各地高考試題,考查的重點及難點穩(wěn)定,高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行與垂直的性質(zhì)和判定作為考察重點.在難度上也始終以中等偏難為主,在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低,重點在對圖形及幾何體的認識上,實現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化,是知識深化和拓展的重點,因而在這部分知識點上命題,將是重中之重.高考對這部分知識的考查側(cè)重以下幾個方面: 1從命題形式來看,涉及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變.除保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型外,還嘗試開發(fā)了“多選填空”、“完型填空”、“構(gòu)造填空”等題型,并且這種命題形式正在不斷完善和翻新;解答題則設計成幾個小問題,此類考題往往以多面體為依托,第一小問考查線線、線面、面面的位置關系,后面幾問考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關系,其解題思路也都是“作證求”,強調(diào)作圖、證明和計算相結(jié)合.2從內(nèi)容上來看,主要是:考查直線和平面的各種位置關系的判定和性質(zhì),這類試題一般難度不大,多為選擇題和填空題與解答題的第一步; 3從能力上來看,著重考查空間想象能力,即空間形體的觀察分析和抽象的能力,要求是“四會”:會畫圖根據(jù)題設條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面),作出的圖形要直觀、虛實分明;會識圖根據(jù)題目給出的圖形,想象出立體的形狀和有關線面的位置關系;會析圖對圖形進行必要的分解、組合;會用圖對圖形或其某部分進行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a術;考查邏輯思維能力、運算能力和探索能力.從高考試題來看,線線垂直的判定、線面垂直的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)、線面角等是高考的熱點,題型既有選擇題、填空題又有解答題,難度中等偏高,客觀題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì),考查線面角的概念及求法;而主觀題不僅考查以上內(nèi)容,同時還考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題的能力直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)和判定作為考查重點,題型既有選擇題、填空題又有解答題,在難度上也始終以中等偏難為主,在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低,重點在對圖形及幾何體的認識上,實現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化,示知識深化和拓展的重點,因而在這部分知識點上命題,將是重中之重.預測xx年高考,將以多面體為載體,第一問以線面平行與垂直,面面平行與垂直為主要考查點,第二問可能給出一個角,求點的位置或設置一個探索性命題,突出考查空間想象能力和邏輯推理能力,以及分析問題、解決問題的能力復習建議;證明空間線面平行與垂直,是必考題型,解題時要由已知想性質(zhì),由求證想判定,即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證明思路. 【xx年高考考點定位】高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行與垂直的性質(zhì)和判定作為考察重點.)考題既有選擇題,填空題,又有解答題;在考題上的特點為:熱點問題為平面的基本性質(zhì),考察線線、線面和面面關系的論證,此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主,考查邏輯思維能力、運算能力和探索能力.【考點1】空間點、直線、平面之間的位置關系【備考知識梳理】1平面概述:(1)平面的兩個特征:無限延展 平的(沒有厚度);(2)平面的畫法:通常畫平行四邊形來表示平面;(3)平面的表示:用一個小寫的希臘字母、等表示,如平面、平面;用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示,如平面AC.2三公理三推論:公理1:若一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi),則該直線上所有的點都在這個平面內(nèi):A,B,A,B公理2:如果兩個平面有一個公共點,那么它們還有其他公共點,且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線.公理3:經(jīng)過不在同一直線上的三點,有且只有一個平面.推論一:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面.推論二:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.推論三:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面3空間直線:(1)空間兩條直線的位置關系:相交直線有且僅有一個公共點;平行直線在同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點.相交直線和平行直線也稱為共面直線.異面直線的畫法常用的有下列三種:(2)平行直線:在平面幾何中,平行于同一條直線的兩條直線互相平行,這個結(jié)論在空間也是成立的.即公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(3)異面直線定理:連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線,和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線.推理模式:與是異面直線.異面直線所成的角:定義:設是兩條異面直線,經(jīng)過空間中任一點作直線,把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角)范圍:.4直線和平面的位置關系(1)直線在平面內(nèi)(無數(shù)個公共點);(2)直線和平面相交(有且只有一個公共點);(3)直線和平面平行(沒有公共點)用兩分法進行兩次分類.它們的圖形分別可表示為如下,符號分別可表示為,.5兩個平面的位置關系有兩種:兩平面相交(有一條公共直線)、兩平面平行(沒有公共點)【規(guī)律方法技巧】1求異面直線所成角的方法(1)平移法:即選點平移其中一條或兩條直線使其轉(zhuǎn)化為平面角問題,這是求異面直線所成角的常用方法(2)補形法:即采用補形法作出平面角2證明共面問題的兩種途徑(1)首先由條件中的部分線(或點)確定一個平面,再證其他線(或點)在此平面內(nèi);(2)將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證明這兩個平面重合3證明共線問題的兩種途徑:(1)先由兩點確定一條直線,再證其他點都在這條直線上;(2)直接證明這些點都在同一條特定直線上4證明共點問題的常用方法:先證其中兩條直線交于一點,再證其他直線經(jīng)過該點【考點針對訓練】1.已知l 是直線,、是兩個不同的平面,下列命題中的真命題是 (填所有真命題的序號) 若l,l,則 若,l,則l若l,則l 若l,l/,則 【答案】2已知m ,n是兩條不同的直線,是三個不同的平面,則下列命題錯誤的是若,則;若,則;若,則;若,則【答案】【解析】若,則或與相交,所以錯誤;若,則或,所以錯誤;若,則,所以正確;若,則或,所以錯誤故填.【考點2】直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)【備考知識梳理】1. 線面平行的判定定理:如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.推理模式:2.線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行.推理模式:3.兩個平面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面,那么這兩個平面平行.定理的模式:推論:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線,那么這兩個平面互相平行.推論模式:4.兩個平面平行的性質(zhì)(1)如果兩個平面平行,那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面;(2)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行.易錯點:1直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內(nèi)”這一關鍵條件2面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交線”這一條件3如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行,易誤認為這兩個平面平行,實質(zhì)上也可以相交【規(guī)律方法技巧】1. 證明線線平行的方法:(1)平行公理;(2)線面平行的性質(zhì)定理;(3)面面平行的性質(zhì)定理;(4)向量平行.要注意線面、面面平行的性質(zhì)定理的成立條件.2.線面平行的證明方法:(1)線面平行的定義;(2)線面平行的判斷定理;(3)面面平行的性質(zhì)定理;(4)向量法:證明這條直線的方向向量和這個平面內(nèi)的一個向量互相平行;證明這個直線的方向向量和這個平面的法向量相互垂直. 線面平行的證明思考途徑:線線平行線面平行面面平行. 證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線;利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì),或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行;3.面面平行的證明方法:反證法:假設兩個平面不平行,則它們必相交,在導出矛盾;面面平行的判斷定理;利用性質(zhì):垂直于同一直線的兩個平面平行;平行于同一平面的兩個平面平行;平行于同一個平面的兩個平面平行.;向量法:證明兩個平面的法向量平行.4.兩個平面平行的性質(zhì)有五條:(1)兩個平面平行,其中一個平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個平面,這個定理可簡記為:“面面平行,則線面平行”.用符號表示是:,則.(2)如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行,這個定理可簡記為:“面面平行,則線線平行”.用符號表示是:,則.(3)一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面,它也垂直于另一個平面.這個定理可用于證線面垂直.用符號表示是:,則.(4)夾在兩個平行平面間的平行線段相等(5)過平面外一點只有一個平面與已知平面平行5.證明空間線面平行需注意以下幾點:由已知想性質(zhì),由求證想判定,即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路.立體幾何論證題的解答中,利用題設條件的性質(zhì)適當添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一.明確何時應用判定定理,何時應用性質(zhì)定理,用定理時要先申明條件再由定理得出相應結(jié)論.關鍵在于對題目中的條件的思考和分析,掌握做此類題的一般技巧和方法,以及如何巧妙進行平行之間的轉(zhuǎn)化.6“升降維”思想直線是一維的,平面是二維的,立體空間是三維的.運用降維的方法把立體空間問題轉(zhuǎn)化為平面或直線問題進行研究和解題,可以化難為易,化新為舊,化未知為已知,從而使問題得到解決.運用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣,可以立易解難,溫舊知新,從已知探索未知,是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力,是“學會學習”的重要方法.平面圖形的翻折問題的分析與解決,就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運用的過程.7反證法:反證法是立體幾何中常用的間接證明方法.其步驟是:否定結(jié)論;進行推理;導出矛盾;肯定結(jié)論用反證法證題要注意:宜用此法否;命題結(jié)論的反面情況有幾種. 【考點針對訓練】1.如圖所示的長方體中,底面是邊長為的正方形,為與的交點, 是線段的中點()求證:平面;()求三棱錐的體積【解析】()連接,如圖,、分別是、的中點,是矩形,四邊形是平行四邊形,平面,平面,平面;()連接,正方形的邊長為2,則,又在長方體中,且,平面,又平面,又 ,平面,即為三棱錐的高,.2如圖,在四棱錐中,已知底面為矩形,平面,點為棱的中點,求證:(1)平面;(2)平面平面.【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【解析】(1) 連接BD與AC相交于點O,連結(jié)OE 因為四邊形ABCD為矩形,所以O為BD中點因為E為棱PD中點,所以PBOE 因為PB平面EAC,OE平面EAC,所以直線PB平面EAC (2) 因為PA平面PDC,CD平面PDC,所以 PACD因為四邊形ABCD為矩形,所以ADCD因為 PAADA,PA,AD平面PAD,所以 CD平面PAD 因為CD平面ABCD,所以 平面PAD平面ABCD OPABCDE【考點3】直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【備考知識梳理】1線線垂直判斷線線垂直的方法:所成的角是直角,兩直線垂直;垂直于平行線中的一條,必垂直于另一條.三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條斜線垂直,那麼它也和這條斜線的射影垂直.推理模式: .注意:三垂線指都垂直內(nèi)的直線其實質(zhì)是:斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理要考慮的位置,并注意兩定理交替使用.2線面垂直:定義:如果一條直線和一個平面相交,并且和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線和平面互相垂直其中直線叫做平面的垂線,平面叫做直線的垂面,直線與平面的交點叫做垂足.直線與平面垂直記作:.直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面.直線和平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行.3面面垂直兩個平面垂直的定義:相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面.兩平面垂直的判定定理:(線面垂直面面垂直)如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直.兩平面垂直的性質(zhì)定理:(面面垂直線面垂直)若兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面.【規(guī)律方法技巧】1.證明線線垂直的方法:(1)異面直線所成的角為直角;(2)線面垂直的性質(zhì)定理;(3)面面垂直的性質(zhì)定理;(4)三垂線定理和逆定理;(5)勾股定理;(6)向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質(zhì)定理的成立條件.解題過程中要特別體會平行關系性質(zhì)的傳遞性,垂直關系的多樣性.2.線面垂直的證明方法:(1)線面垂直的定義;(2)線面垂直的判斷定理;(3)面面垂直的性質(zhì)定理;(4)向量法:證明這個直線的方向向量和這個平面的法向量相互平行.線面垂直的證明思考途徑:線線垂直線面垂直面面垂直.3.面面垂直的證明方法:定義法;面面垂直的判斷定理;向量法:證明兩個平面的法向量垂直.解題時要由已知相性質(zhì),由求證想判定,即分析法和綜合法相結(jié)合尋找證明思路,關鍵在于對題目中的條件的思考和分析,掌握做此類題的一般技巧和方法,以及如何巧妙進行垂直之間的轉(zhuǎn)化.4.證面面垂直,關鍵是考慮證哪條線垂直哪個面.這必須結(jié)合條件中各種垂直關系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮;條件中告訴我們某種位置關系,就要聯(lián)系到相應的性質(zhì)定理.已知兩平面互相垂直,我們就要兩平面互相垂直的性質(zhì)定理;在垂直關系的證明中,線線垂直是問題的核心,可以根據(jù)已知的平面圖形通過計算的方式(如勾股定理)證明線線垂直,也可以根據(jù)已知的垂直關系證明線線垂直,其中要特別重視兩個平面垂直的性質(zhì)定理,這個定理已知的是兩個平面垂直,結(jié)論是線面垂直5.證明線面垂直,就考慮證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線;而證明異面的線線垂直,很多題都要通過線面垂直來證明;對相交直線垂直的證明,一般考慮用平面幾何里的方法.常見的有以下幾種,若是等腰三角形,則底邊上的中線與底邊垂直;若是錐形、菱形(正方形),則對角線互相垂直;若是矩形,則鄰邊互相垂直;有時還用到以下結(jié)論:如下圖,在矩形中,若,則;若告訴了線段的長度,或者是告訴了邊與邊之間的關系,則用勾股定理.6在解決直線與平面垂直的問題過程中,要注意直線與平面垂直定義,判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用,即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化注意以下幾點:由已知想性質(zhì),由求證想判定,即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路.立體幾何論證題的解答中,利用題設條件的性質(zhì)適當添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一.明確何時應用判定定理,何時應用性質(zhì)定理,用定理時要先申明條件再由定理得出相應結(jié)論.三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高,在證明線線垂直時應優(yōu)先考慮.應用時常需先認清所觀察的平面及它的垂線,從而明確斜線、射影、面內(nèi)直線的位置,再根據(jù)定理由已知的兩直線垂直得出新的兩直線垂直.另外通過計算證明線線垂直也是常用的方法之一.7面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù)我們要作一個平面的一條垂線,通常是先找這個平面的一個垂面,在這個垂面中,作交線的垂線即可每一垂直的判定就是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直最終達到目的.例如:有兩個平面垂直時,一般要用性質(zhì)定理,在一個平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.8.易錯點:(1)證明線面垂直時,易忽視面內(nèi)兩條線為相交線這一條件(2)面面垂直的判定定理中,直線在面內(nèi)且垂直于另一平面易忽視(3)面面垂直的性質(zhì)定理在使用時易忘面內(nèi)一線垂直于交線而盲目套用造成失誤【考點針對訓練】1.已知三棱錐的四個頂點均在半徑為1的球面上,且滿足,則三棱錐的側(cè)面積的最大值為_.【答案】2【解析】由,可知PA,PB,PC兩兩垂直,又三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為1的球面上,故則由基本不等式可得,即,則三棱錐P-ABC的側(cè)面積則三棱錐的側(cè)面積的最大值為22.如圖4,在邊長為的菱形中,點,分別是邊,的中點,沿將翻折到,連接,得到如圖5的五棱錐,且(1)求證:平面;(2)求四棱錐的體積【解析】(1)點,分別是邊,的中點,. 菱形的對角線互相垂直,. . ,.平面,平面,平面. 平面. (2)設,連接,為等邊三角形.,.在R t中,在中,. ,平面,平面,平面.梯形的面積為,四棱錐的體積. 【兩年模擬詳解析】1. 【蘇北三市(連云港、徐州、宿遷)xx屆高三年級第三次調(diào)研考試】如圖,在四棱錐中,底面是矩形,點在棱上(異于點,),平面與棱交于點.(1)求證:;(2)若平面平面,求證:.【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】 解:(1) 因為是矩形,所以又因為平面,平面,所以平面又因為平面,平面平面,所以(2)因為是矩形,所以又因為平面平面,平面平面,平面,所以平面又平面,所以 又由(1)知,所以2. 【xx學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研(二)】如圖,在四面體中,平面平面,分別為,的中點,.(1)求證:平面;(2)若為上任一點,證明平面.【答案】(1)見解析(2)見解析(2)連,因為,分別為,的中點,所以,又平面,平面,所以平面,同理可證平面,且,平面,平面,所以平面平面,又為上任一點,所以平面,所以平面.3. 【南京市、鹽城市xx屆高三年級第一次模擬】(本小題滿分14分)如圖,在直三棱柱中,,分別是,的中點(1)求證:平面;(2)求證:平面平面【答案】()詳見解析()詳見解析【解析】證明:(1)因為,分別是,的中點,所以, .2分又因為在三棱柱中,所以. .4分又平面,平面,所以平面. .6分(2)在直三棱柱中,底面,又底面,所以. .8分又,所以, .10分又平面,且,所以平面. .12分又平面,所以平面平面 .14分(注:第(2)小題也可以用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面,類似給分)4. 【鎮(zhèn)江市xx屆高三年級第一次模擬】在長方體中,(1)求證:平面;(2)求證:平面【答案】()詳見解析()詳見解析(2)連結(jié)B1E設ABa,則在BB1E中,BEB1E,BB12a所以 ,所以B1EBE 8分由ABCDA1B1C1D1為長方體,則A1B1平面BB1C1C,平面BB1C1C,所以A1B1BE 10分因B1EA1B1= B1,B1E平面A1B1E,A1B1平面A1B1E,則BE平面A1B1E12分 又因為A1E平面A1B1E, 所以A1EBE 同理A1EDE又因為BE 平面BDE,DE 平面BDE,所以A1E平面BDE 14分5. 【xx年第二次全國大聯(lián)考江蘇卷】(本小題滿分14分)在如圖所示的幾何體中,, 分別為的中點. (I)求證: (II)求證:平面.【解析】()證明:因,所以與確定一個平面,連接,因為為的中點,所以;同理可得,又因為,所以平面,因為平面,6分()設的中點為,連,在中,是的中點,所以,又,所以;在中,是的中點,所以,又,所以平面平面,因為平面,所以平面.14分6. 【xx年第一次全國大聯(lián)考江蘇卷】(本小題滿分14分)如圖,在三棱柱中,已知分別為線段的中點,且.求證:(1)平面平面;(2)平面.【解析】證明:(1)因為,且為線段的中點,所以.又,平面,平面,所以平面,6分因為平面,所以平面平面.8分(2)取中點,連結(jié),因為為線段的中點,為中點,所以,且.在三棱柱中,且.又為線段的中點,故,且.所以,且,于是四邊形是平行四邊形,從而.12分又平面,平面,故平面14分7. 【xx學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研(一)】如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面是菱形,與交于點,是棱上一點,且平面(1)求證:是中點;(2)若,求證:(1)連接,因為平面,平面,平面平面,所以. 4分因為側(cè)面是菱形,所以是中點, 5分所以,E是AB中點.7分(2)因為側(cè)面是菱形,所以,9分又,面,所以面,12分因為平面,所以14分8. 【xx年高考原創(chuàng)押題預測卷01(江蘇卷)】(本小題滿分14分)在正三棱柱中,,點D是BC的中點,點在上,且(1)求證: 平面;(2)求證:平面平面【答案】(1)詳見解析 (2)詳見解析【解析】(1) 記,連接.四邊形為矩形,是的中點,又是的中點,.3分又平面,平面,平面.6分(2)是正三角形,是的中點,.平面平面,平面平面,平面,平面.9分【或利用平面,證明平面.】平面,.,是中點,10分,又,平面,平面.12分又平面,平面平面14分9. 【xx年高考原創(chuàng)押題預測卷02(江蘇卷)】(本小題滿分14分)如圖,四棱錐的底面是矩形,平面分別是的中點,且.()求證:平面;()求證:平面平面. 【解析】證明:(1)取的中點,連則,-(2分)又,所以,所以四邊形是平行四邊形,-(3分)則平面.-(6分)(2)因平面,故-(8分)又因為,故平面;-(10分)因為,所以平面,-(12分)又平面,所以平面平面.-(14分)10. 【南京市xx屆高三年級第三次模擬考試】6已知,是兩個不同的平面,l,m是兩條不同直線,l,m給出下列命題:lm; l; ml; lm其中正確的命題是 (填寫所有正確命題的序號)【答案】【解析】試題分析:,l l lm,命題正確;,l l、m可平行,可相交,可異面,命題錯誤;m,l lm l與可平行,l可在內(nèi),l可與相交,命題錯誤; l、lm命題正確.11【江蘇省揚州中學xx學年第二學期質(zhì)量檢測】如圖,已知直三棱柱中, ,分別是棱,中點(1)求證:平面;(2)求證:平面; 【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(2)證明:取的中點,連結(jié),因為,分別是棱,中點,所以,. 又因為,所以,.所以四邊形是平行四邊形 所以. 因為平面,平面, 所以平面. 12【南京市、鹽城市xx屆高三年級第二次模擬考試】如圖,在三棱錐PABC中,平面PAB平面ABC,PAPB,M,N分別為AB,PA的中點(1)求證:PB平面MNC;(2)若ACBC,求證:PA平面MNC.(第16題圖)【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【解析】(1)因為M,N分別為AB,PA的中點,所以MNPB 因為MN平面MNC,PB平面MNC, 所以PB平面MNC. (2)因為PAPB,MNPB,所以PAMN. 因為ACBC,AMBM,所以CMAB. 因為平面PAB平面ABC,CM平面ABC,平面PAB平面ABCAB,所以CM平面PAB 因為PA平面PAB,所以CMPA 因為PAMN,MN平面MNC,CM平面MNC,MNCMM,所以PA平面MNC. 13【江蘇省蘇中三市xx屆高三第二次調(diào)研測試】如圖,在正方體中,分別為棱的中點求證:(1)平面; (2)平面平面【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【解析】(1)在正方體中,因為分別為棱的中點,所以又,故,所以四邊形為平行四邊形從而,又平面平面,所以平面; (2)連結(jié),在正方形中,又分別為棱的中點,故所以在正方體中,平面,又平面,所以平面, 而平面,所以平面又平面,所以平面平面14【江蘇省揚州中學xx屆高三4月質(zhì)量監(jiān)測】如圖,斜三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)面AA1C1C底面ABC,側(cè)面AA1C1C是菱形,A1AC60,E、F分別是A1C1、AB的中點求證:(1)EF平面BB1C1C; (2)平面CEF平面ABC【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【解析】ABCOMFE證明:(1)取BC中點M,連接FM,C1M,在ABC中,因為F,M分別為BA、BC的中點,所以AC,因為E為A1C1的中點,ACA1C1,所以FMEC1,且FM=EC1從而四邊形EFMC1為平行四邊形,所以EFC1M,又因為C1M平面BB1C1C,EF平面BB1C1C,因此EF平面BB1C1C;(2)在平面AA1C1C內(nèi),作A1OAC,O為垂足,因為A1AC=60,所以AO=從而O為AC的中點所以OCA1E,且OC=A1E,因而ECA1O,因為側(cè)面AA1C1C底面ABC,交線為AC,A1OAC,所以A1O底面ABC因而A1OAB所以ECAB,ECAC,而ABAC=A,所以EC底面ABC,又因為EC平面EFC,所以平面CEF平面ABC15【江蘇省南京市xx屆高三年級第三次學情調(diào)研適應性測試數(shù)學】如圖,在四棱錐EABCD中,底面ABCD是正方形,AC與BD交于點O,EC底面ABCD,F(xiàn)為BE的中點.(1)求證:DE/平面ACF;(2)若ABCE,在線段EO上是否存在點G,使得CG平面BDE?若存在,請證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.【答案】(1)詳見解析(2)EO的中點【解析】(1)證明:連接OF由四邊形ABCD是正方形可知,點O為BD的中點又F為BE的中點,所以OF/DE 又OF平面ACF,DE平面ACF所以DE/平面ACF (2) 解:在線段EO上存在點G,使CG平面BDE,證明如下:取EO的中點G,連接CG,在四棱錐EABCD中ABCE,COABCE,所以CGEO 又由EC底面ABCD,BD底面ABCD,所以ECBD 由四邊形ABCD是正方形可知,ACBD又ACECC所以BD平面ACE ,而BD平面BDE 所以,平面ACE平面BDE,且平面ACE平面BDEEO因為CGEO,CG平面ACE,所以CG平面BDE16【南京市xx屆高三年級第三次模擬考試】如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D為棱BC上一點 (1)若ABAC,D為棱BC的中點,求證:平面ADC1平面BCC1B1;(2)若A1B平面ADC1,求的值 【答案】(1)詳見解析(2)1【解析】(1)因為ABAC,點D為BC中點,所以ADBC 因為ABCA1B1C1 是直三棱柱,所以BB1平面ABC因為AD平面ABC,所以BB1AD 因為BCBB1B,BC平面BCC1B1,BB1平面BCC1B1,所以AD平面BCC1B1 因為AD平面ADC1,所以平面ADC1平面BCC1B1 (2)連結(jié)A1C,交AC1于O,連結(jié)OD,所以O為AC1中點 因為A1B平面ADC1,A1B平面A1BC,平面ADC1平面A1BCOD,所以A1BOD因為O為AC1中點,所以D為BC中點,所以1 17【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市xx屆高三教學情況調(diào)研(二)數(shù)學試題】在直三棱柱中, 是的中點(1)求證:平面;(2)若點在線段上,且,求證:平面【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【解析】(1)連結(jié),設交于點,連結(jié)四邊形是矩形,是的中點 在中, ,分別是,的中點, 又平面,平面,平面 (2),是的中點,又在直三棱柱中,底面?zhèn)让妫痪€為,平面,平面 平面, , , ,從而=,所以+=+=, 又,平面,平面平面 18【江蘇省蘇北三市xx屆高三最后一次模擬考試】如圖,在直三棱柱中,已知,分別為的中點,求證:(1)平面平面;(2)平面.【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(2)取中點,連結(jié),.由于,分別為,的中點,所以且故且.則四邊形為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面. 由于分別為,的中點,所以.又,分別為,的中點,所以.則.又平面,平面,所以平面. 由于,所以平面平面.由于平面,所以平面. 【一年原創(chuàng)真預測】1. 下列四個命題:如果平面平面,那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面 如果平面平面,那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面 如果平面平面,平面平面,那么平面如果平面不垂直于平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面其中正確的有【答案】【解析】對于,若平面平面,則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面,甚至可能平行于平面,其余選項均是正確的.【入選理由】本題考察空間直線和平面的位置關系等基礎知識,意在考察學生空間想象能力. 線面的平行與垂直,是立體幾何的主體內(nèi)容,也是高考考查的重點與難點,一般選擇題多考查線面位置關系的判定與性質(zhì),一般難度不大,故選此題.2. 如圖,在三棱錐中,、分別是、的中點(I)證明:平面平面; (II)若,求三棱錐的體積【解析】(I)證明:E、F分別是AC、BC的中點,同理,,;(II)解:取的中點,連結(jié)、,,在等腰直角三角形中,是斜邊的中點,同理,,是等邊三角形,.【入選理由】本題考查空間圖形平行與垂直的證明、三棱錐的體積等基礎知識,意在考查學生空間想象能力、邏輯推理能力,及幾何體體積的計算能力.本題常規(guī)題型,符合高考要求,故選此題.3.如圖,已知矩形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直,且分別為的中點(I)求證:平面;(II)求證:平面平面【解析】(I)取的中點,連接在中,又在梯形中,又 平面平面又平面,平面(II)平面平面,平面平面,在矩形中平面,又在和中,又平面,平面平面平面【入選理由】本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理等基本知識理解和應用,意在考查學生的空間想象力和推理論證能力, 高考對立體幾何的考查,主要以柱體、錐體或其組合體為載體,考查線面位置關系的判定與證明,特別是解答題的第一問,主要考查線面位置關系的判定與性質(zhì),一般難度不大,故選此題.