2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 圓的方程 2.3.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教案 新人教B版必修2.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 圓的方程 2.3.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教案 新人教B版必修2教學(xué)分析本節(jié)內(nèi)容是學(xué)習(xí)圓的起始課，由于圓是學(xué)生比較熟悉的曲線，在初中已學(xué)習(xí)了圓的幾何性質(zhì)，所以學(xué)習(xí)本節(jié)的難度不大教材利用兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并討論了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系在教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自己探究，避免教師直接給出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程三維目標(biāo)1使學(xué)生掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的圓心、半徑，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生能用解析法研究幾何問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想，注意培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力2會(huì)用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)，形成用代數(shù)方法處理幾何問題的能力，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣，培養(yǎng)學(xué)生分析、概括的思維能力重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課時(shí)安排1課時(shí)導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)1.如左下圖，已知隧道的截面是半徑為4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛一輛寬為2.7 m，高為3 m的貨車能不能安全駛?cè)脒@個(gè)隧道？如右上圖，以某一截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓的直徑AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，問題可以轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，這就需要建立圓的方程為此我們學(xué)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)計(jì)2.同學(xué)們，我們知道直線可以用一個(gè)方程表示，那么，圓可以用一個(gè)方程表示嗎？圓的方程怎樣來求呢？這就是本堂課的主要內(nèi)容，教師板書本節(jié)課題：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推進(jìn)新課討論結(jié)果：(1)平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是圓的半徑(2)只要圓心和半徑確定了，就可以確定一個(gè)圓(3)如果點(diǎn)M在C上，則|CM|r，反之，如果|CM|r，則點(diǎn)M在C上如下圖所示由兩點(diǎn)間的距離公式，得x，y滿足的等式，r.兩邊平方，得(xa)2(yb)2r2.顯然，C上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)適合方程；如果平面上一點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)適合方程，可得|CM|r，則點(diǎn)M在C上因此方程是以點(diǎn)C(a，b)為圓心，r為半徑的圓的方程，叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程特別地，如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)(如下圖)，這時(shí)a0，b0，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是x2y2r2.(4)容易看出，如果點(diǎn)M1(x1，y1)在圓外，則點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑r，即(x1a)2(y1b)2>r2.如果點(diǎn)M2(x2，y2)在圓內(nèi)，則點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑r，即(x2a)2(y2b)2<r2.如果點(diǎn)M3(x3，y3)在圓上，則點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑r，即(x3a)2(y3b)2r2.思路1例1根據(jù)下列條件，求圓的方程：(1)圓心在點(diǎn)C(2,1)，并過點(diǎn)A(2，2)；(2)圓心在點(diǎn)C(1,3)，并與直線3x4y60相切；(3)過點(diǎn)(0,1)和點(diǎn)(2,1)，半徑為.分析：圓心和半徑是圓的兩要素，只要確定圓心坐標(biāo)和半徑就可以寫出圓的方程解：(1)所求圓的半徑r|CA|5.因?yàn)閳A的圓心為(2,1)，所以所求圓的方程為(x2)2(y1)225.(2)因?yàn)橹本€3x4y60是所求圓的切線，所以圓心(1,3)到這條直線的距離等于半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，有r3.所以，所求圓的方程為(x1)2(y3)29.(3)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，則圓的方程為(xa)2(yb)25.已知圓過點(diǎn)(0,1)，(2,1)，代入圓的方程，得解得或因此，所求圓的方程為(x1)2(y1)25，或(x1)2(y3)25.點(diǎn)評(píng)：求圓的方程時(shí)，關(guān)鍵是確定圓心坐標(biāo)和半徑變式訓(xùn)練1求以C(4，6)為圓心，半徑等于3的圓的方程解：將圓心C(4，6)、半徑等于3代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得所求圓的方程為(x4)2(y6)29.2.已知兩點(diǎn)M1(4,9)和M2(6,3)求以M1M2為直徑的圓的方程解：根據(jù)已知條件，圓心C(a，b)是M1M2的中點(diǎn)，那么它的坐標(biāo)為a5，b6.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得圓的半徑r|CM1|.因此，所求圓的方程是(x5)2(y6)210.例2求過點(diǎn)A(6,0)，B(1,5)，且圓心在直線l：2x7y80上的圓的方程(如下圖)分析：由題意得，圓心在線段AB的垂直平分線m上，又在直線l上，所以圓心是直線m與l的交點(diǎn)將直線l和m的方程聯(lián)立，解方程組，可以求出圓心坐標(biāo)，再由圓心和圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出圓的半徑解法一：直線AB的斜率k1，所以AB的垂直平分線m的斜率為1.AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為x，y，因此，直線m的方程為y1(x)，即xy10.又圓心在直線l上，所以圓心是直線m與直線l的交點(diǎn)解方程組得所以圓心坐標(biāo)為C(3,2)，又半徑r|CA|，則所求圓的方程是(x3)2(y2)213.解法二：設(shè)所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2.由題意，得解得所以所求圓的方程為(x3)2(y2)213.點(diǎn)評(píng)：解法一是利用圓的幾何性質(zhì)，求出圓心坐標(biāo)和半徑，直接寫出圓的方程，此法稱為直接法解法二是設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，列方程解出圓心坐標(biāo)和半徑，此法稱為待定系數(shù)法變式訓(xùn)練1. xx山東高考，文11若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x3y0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A(x3)2(y)21 B(x2)2(y1)21C(x1)2(y3)21 D(x)2(y1)21解析：設(shè)圓心C(a，b)，由條件可得b1，1，解得a2或a.圓心在第一象限a2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)21.選B.答案：B2ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是A(5,1)，B(7，3)，C(2，8)，求它的外接圓的方程分析：從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2入手，要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可用待定系數(shù)法確定a、b、r三個(gè)參數(shù)另外可利用直線AB與AC垂直平分線的交點(diǎn)確定圓心，從而得半徑，圓的方程可求解法一：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，因?yàn)锳(5,1)，B(7，3)，C(2，8)都在圓上，它們的坐標(biāo)都滿足方程(xa)2(yb)2r2，于是解此方程組得所以ABC的外接圓的方程為(x2)2(y3)225.解法二：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(6，1)，斜率為2，所以線段AB的垂直平分線的方程為y1(x6)，即x2y80.同理，線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，斜率為3，所以線段AC的垂直平分線的方程為y(x)，即x3y70.解由組成的方程組得x2，y3，所以圓心坐標(biāo)為(2，3)，半徑r5，所以ABC的外接圓的方程為(x2)2(y3)225.例3趙州橋的跨度是37.02 m，圓拱高約為7.2 m，求這座圓拱橋的拱圓方程(精確到0.01 m)解：左下圖是拱橋的示意圖以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，x軸通過AB建立直角坐標(biāo)系如右下圖根據(jù)已知條件，B，C的坐標(biāo)分別為(18.51,0)，(0,7.2)，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(0，b)，則圓的方程為x2(yb)2r2.下面用待定系數(shù)法求b和r2的值因?yàn)锽，C都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足這個(gè)方程，于是得到方程組解得因此，圓拱橋的拱圓的方程近似為x2(y20.19)2750.21.點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系本題中由于圓心位置不確定，所以建立坐標(biāo)系時(shí)，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)能使圓心位置落在坐標(biāo)軸上變式訓(xùn)練1.已知圓的方程為(x3)2(y4)225.設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A10B20C30D40解析：圓心記作M(3,4)，半徑為5.記E(3,5)則過E(3,5)的最長(zhǎng)弦AC為圓的直徑，最短弦BD的中點(diǎn)為E.如下圖所示，SABCDACBD10220.答案：B2下圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB20 m，拱高OP4 m，在建造時(shí)每隔4 m需用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2的長(zhǎng)度(精確到0.01 m)解：建立坐標(biāo)系如圖，圓心在y軸上，由題意，得P(0,4)，B(10，0)設(shè)圓的方程為x2(yb)2r2，因?yàn)辄c(diǎn)P(0,4)和B(10,0)在圓上，所以解得所以這個(gè)圓的方程是x2(y10.5)214.52.設(shè)點(diǎn)P2(2，y0)，由題意y0>0，代入圓方程，得(2)2(y010.5)214.52，解得y010.514.3610.53.86(m)即支柱A2P2的長(zhǎng)度約為3.86 m.思路2例4圓(x1)2(y2)29關(guān)于直線xy0對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析：圓心(1，2)關(guān)于直線xy0的對(duì)稱點(diǎn)是(2,1)，則對(duì)稱圓的方程是(x2)2(y1)29.答案：(x2)2(y1)29點(diǎn)評(píng)：圓關(guān)于點(diǎn)或直線對(duì)稱的圓，其半徑不變，只是圓心位置發(fā)生了變化本題利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)求得對(duì)稱圓的圓心變式訓(xùn)練1圓x2(y3)27關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程是_答案：x2(y3)272圓x2y24與圓(xa)2y24關(guān)于直線x6對(duì)稱，則a_.答案：123直線l與圓(x1)2(y2)25a(a<3)相交于兩點(diǎn)A，B，弦AB的中點(diǎn)為(0,1)，則直線l的方程為_解析：圓心為(1,2)弦中點(diǎn)與圓心連線的斜率為1，由圓的性質(zhì)知，弦AB所在直線即l的斜率為k1.故l的方程為xy10.答案：xy10例5寫出圓心為A(2，3)，半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程，并判斷點(diǎn)M1(5，7)，M2(5，1)是否在這個(gè)圓上解：圓的方程為(x2)2(y3)225.(52)2(73)225，點(diǎn)M1在圓上(52)2(13)253>25，點(diǎn)M2在圓外點(diǎn)評(píng)：本題要求首先根據(jù)坐標(biāo)與半徑大小寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后給一個(gè)點(diǎn)，判斷該點(diǎn)與圓的關(guān)系，這里體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想，根據(jù)圓的坐標(biāo)及半徑寫方程從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標(biāo)滿足方程來看點(diǎn)在不在圓上從代數(shù)到幾何變式訓(xùn)練1經(jīng)過圓(x1)2y21的圓心C，且與直線xy0垂直的直線方程是_解析：圓心(1,0)與直線xy0垂直的直線斜率為1，所求的方程為yx1.答案：xy102已知兩點(diǎn)P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2為直徑的圓的方程，并判斷點(diǎn)M(6,9)，Q(5,3)是在圓上、圓外，還是圓內(nèi)？解：由已知條件可得圓心坐標(biāo)為C(5,6)，半徑為r|P1P2|.所以以P1P2為直徑的圓的方程為(x5)2(y6)210.因?yàn)閨CM|r，|CQ|3<r，點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)Q在圓內(nèi)1已知圓C與圓(x1)2y21關(guān)于直線yx對(duì)稱，則圓C的方程是()A(x1)2y21 Bx2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21解析：圓C與圓(x1)2y21關(guān)于直線yx對(duì)稱，其半徑不變，只求出圓心即可，而關(guān)于直線yx對(duì)稱，則橫、縱坐標(biāo)交換位置，并取相反數(shù)，由圓(x1)2y21的圓心為(1,0)，知對(duì)稱的圓心為(0，1)答案：C2以點(diǎn)(2，1)為圓心且與直線3x4y50相切的圓的方程為()A(x2)2(y1)23 B(x2)2(y1)23C(x2)2(y1)29 D(x2)2(y1)29解析：r3.答案：C3已知直線5x12ya0與圓x22xy20相切，則a的值為_解析：圓的方程可化為(x1)2y21，所以圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑為1.由已知可得1|5a|13，所以a的值為18或8.答案：18或84已知圓(x2)2y28的圓心是點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線xy10的距離是_解析：由已知得圓心為P(2,0)，由點(diǎn)P到直線距離公式，得d.答案：5.已知圓C：(x1)2(y)24(a為實(shí)數(shù))上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l：xy20的對(duì)稱點(diǎn)都在圓C上，則a_.解析：圓心C(1，)由題意知圓心C在直線l上即120，解得a2.答案：26已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2，2)，且圓心在直線l：xy10上，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：(1)利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2，只要能構(gòu)造三個(gè)方程求出a、b、r便可(2)確定一個(gè)圓只需確定圓心位置與半徑大小圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2，2)，由于圓心C與A，B兩點(diǎn)的距離相等，所以圓心C在線段AB的垂直平分線m上，又圓心C在直線l上，因此圓心C是直線l與直線m的交點(diǎn)，半徑長(zhǎng)等于|CA|或|CB|.解法一：設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，將點(diǎn)A(1,1)和B(2，2)代入得又圓心在l：xy10上，所以ab10.聯(lián)立方程組解得a3，b2，r5.所以所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y2)225.解法二：因?yàn)锳(1,1)和B(2，2)，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，直線AB的斜率為kAB3，故線段AB的垂直平分線方程為y(x)，即x3y30.由解得因此圓心C的坐標(biāo)為(3，2)，半徑r|AC|5，所以所求的圓的方程為(x3)2(y2)225.已知直線l1：mxy0，l2：xmym20，且l1l2.求證：對(duì)mR，l1與l2的交點(diǎn)P在一個(gè)定圓上證明：l1與l2分別過定點(diǎn)(0,0)、(2,1)，且兩直線垂直，l1與l2的交點(diǎn)必在以(0,0)、(2,1)為一條直徑的圓上圓心為(1，)，半徑為，(x1)2(y)2()2.本節(jié)課學(xué)習(xí)了：1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：直接法和待定系數(shù)法；3判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；本節(jié)練習(xí)B1,2題圓是學(xué)生比較熟悉的曲線，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程既是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，為此本節(jié)布設(shè)了由淺入深的學(xué)習(xí)環(huán)境，先讓學(xué)生熟悉圓心、半徑與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之間的關(guān)系，逐步理解三個(gè)參數(shù)的重要性，自然形成待定系數(shù)法的解題思路，在突出重點(diǎn)的同時(shí)突破了難點(diǎn)利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由淺入深的解決問題，并通過圓的方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)另外，為了培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，在例題中，設(shè)計(jì)了由特殊到一般的學(xué)習(xí)思路，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力在問題的設(shè)計(jì)中，利用一題多解的探究，縱向挖掘知識(shí)深度，橫向加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神，并且使學(xué)生的有效思維量加大，隨時(shí)對(duì)所學(xué)知識(shí)和方法產(chǎn)生有意注意，能力與知識(shí)的形成相伴而行，這樣的設(shè)計(jì)不但突出了重點(diǎn)，更使難點(diǎn)的突破水到渠成備選習(xí)題1寫出下列各圓的方程；(1)圓心在原點(diǎn)，半徑是3；答案：x2y29.(2)圓心在點(diǎn)C(3,4)，半徑是；答案：(x3)2(y4)25.2圓(x2)2(y3)22的圓心和半徑分別是()A(2，3)、 B(2，3)、2C(2,3)、1 D(2,3)、答案：A3點(diǎn)P(m2,5)與圓x2y224的位置關(guān)系是()A在圓外 B在圓內(nèi) C在圓上 D不確定答案：A4直線x2y2k0與2xyk0的交點(diǎn)在圓x2y225上，求k的值答案：55圓(x3)2(y4)21關(guān)于直線xy0對(duì)稱的圓的方程是()A(x3)2(y4)21B(x4)2(y3)21C(x4)2(y3)21D(x3)2(y4)21解析：與圓心(3，4)關(guān)于直線xy0對(duì)稱的點(diǎn)是(4，3)，于是，與已知圓關(guān)于直線xy0對(duì)稱的圓的方程是(x4)2(y3)21.選B.答案：B6求下列圓的方程：(1)圓心在直線y2x上且與直線y1x相切于點(diǎn)(2，1)；(2)圓心在點(diǎn)(2，1)，且截直線yx1所得弦長(zhǎng)為2.解：(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，2a)，由題意知圓與直線y1x相切于點(diǎn)(2，1)，所以，解得a1.所以所求圓心坐標(biāo)為(1，2)，半徑r.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y2)22.(2)設(shè)圓的方程為(x2)2(y1)2r2(r>0)，由題意知圓心到直線yx1的距離為d.又直線yx1被圓截得弦長(zhǎng)為2，所以r2d22，即r2.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.