2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1 坐標(biāo)系教案 蘇教版選修4-4.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1 坐標(biāo)系教案 蘇教版選修4-441.1直角坐標(biāo)系課標(biāo)解讀1.掌握在平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法，體會(huì)坐標(biāo)系的作用2.對(duì)具體問題，能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使所刻畫的代數(shù)形式具有更簡(jiǎn)便的結(jié)果.1直線坐標(biāo)系在直線上，取一個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定一個(gè)長度單位和直線的方向，就建立了直線上的坐標(biāo)系，即數(shù)軸數(shù)軸上任意一點(diǎn)P都可以由惟一的實(shí)數(shù)x確定，x稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)2平面直角坐標(biāo)系在平面上，取兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定一個(gè)長度單位和這兩條直線的方向，就建立了平面直角坐標(biāo)系平面上任意一點(diǎn)P都可以由惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)確定，(x，y)稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)3空間直角坐標(biāo)系在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，取這三條直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定一個(gè)長度單位和這三條直線的方向，就建立了空間直角坐標(biāo)系空間中任意一點(diǎn)P都可以由惟一的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)確定，(x，y，z)稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)1建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系一般有哪些規(guī)則？【提示】(1)如果圖形有對(duì)稱中心，可以選擇對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；(2)如果圖形有對(duì)稱軸，可以選擇對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；(3)使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的落在坐標(biāo)軸上2由坐標(biāo)(x，y)怎樣確定點(diǎn)的位置？【提示】在平面直角坐標(biāo)系中，分別過點(diǎn)M(x,0)，N(0，y)作x軸和y軸的垂線，兩條直線的交點(diǎn)P即(x，y)所確定的點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系刻畫點(diǎn)的位置正方形的邊長等于4，試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，表示其頂點(diǎn)與中心的坐標(biāo)【自主解答】法一以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，兩條鄰邊為坐標(biāo)軸，且把第四個(gè)頂點(diǎn)放在第一象限，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(1)所示此時(shí)，其四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4)，中心為M(2,2)法二以正方形的中心為原點(diǎn)，且使兩條坐標(biāo)軸平行于正方形的邊，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(2)所示此時(shí)，正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2，2)、B(2,2)、C(2,2)、D(2，2)，中心為O(0,0)法三以正方形的兩條對(duì)角線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖(3)所示此時(shí)，正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2，0)、B(0,2)、C(2，0)、D(0，2)，中心為O(0,0)(作圖時(shí)只要以圖(2)中的原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓，該圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即是圖(3)中正方形的各個(gè)頂點(diǎn))選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，表示兩條直角邊長都為1的直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)【解】法一以直角三角形的兩條直角邊AC、BC所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖(1)所示的平面直角坐標(biāo)系，則C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)法二以斜邊AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立如圖(2)所示的平面直角坐標(biāo)系則A(，0)，B(，0)，C(0，)建立坐標(biāo)系解決證明問題用解析法證明：等腰三角形底邊延長線上一點(diǎn)，到兩腰的距離之差等于一腰上的高【自主解答】如圖，在ABC中，ABAC，P為BC延長線上一點(diǎn)，PDAB于D，PEAC于E，CFAB于F，以BC所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)A(0，b)，B(a,0)，C(a,0)(a0，b0)，則直線AB的方程為bxayab0，直線AC的方程為bxayab0，取P(x0,0)，使x0a，則點(diǎn)P到直線AB、AC的距離分別為PD，PE.點(diǎn)C到直線AB的距離為CF，則PDPECF.故所需證明命題成立已知ABC中，ABAC，BD、CE分別為兩腰上的高，求證：BDCE.【證明】如圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)B(a,0)，C(a,0)，A(0，h)則直線AC的方程為yxh，即：hxayah0.直線AB的方程為yxh，即：hxayah0.由點(diǎn)到直線的距離公式得：BD，CE.BDCE.建立坐標(biāo)系求軌跡方程如圖411所示，過點(diǎn)P(2,4)有兩條互相垂直的直線l1，l2，l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M滿足的方程圖411【思路探究】法一設(shè)點(diǎn)求斜率斜率積為1整理得方程檢查有無不適合的點(diǎn)結(jié)論法二設(shè)M(x，y)尋求M滿足的條件列方程檢查有無不適合的點(diǎn)結(jié)論法三：O，A，P，B四點(diǎn)共圓PMMO求kOP及OP中點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)斜式寫出OP的垂直平分線方程為所求【自主解答】法一設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2x,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2y)因?yàn)閘1l2，且l1，l2過點(diǎn)P(2,4)，所以kAPkPB1.而kAP(x1)，kPB，所以1(x1)，整理，得x2y50(x1)因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(2,0)，(0,4)，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2)，它滿足方程x2y50.綜上所述，點(diǎn)M滿足的方程是x2y50.法二設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2x,0)，(0,2y)，連接PM.因?yàn)閘1l2，所以PMAB.而PM，AB，所以2，化簡(jiǎn)，得x2y50，即為所求方程法三因?yàn)閘1l2，OAOB，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，所以O(shè)，A，P，B四點(diǎn)共圓，且該圓的圓心為M(x，y)，所以PMMO，所以點(diǎn)M的軌跡為線段OP的垂直平分線因?yàn)閗OP2，OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，所以點(diǎn)M滿足的方程為y2(x1)，化簡(jiǎn)得x2y50.通過建立坐標(biāo)系精確地刻畫集合圖形的位置和物體運(yùn)動(dòng)的軌跡的方法稱為解析法解決此類問題的關(guān)鍵：(1)建立平面直角坐標(biāo)系；(2)設(shè)點(diǎn)(點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng))；(3)列式(方程與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，列出幾何條件，并將幾何條件代數(shù)化)；(4)化簡(jiǎn)(注意變形的等價(jià)性)；(5)證明(若保證等價(jià)變形，則此步驟可以省略)設(shè)圓(x1)2y21的圓心為C，過原點(diǎn)作圓的弦OA，求OA中點(diǎn)B的軌跡方程【解】法一(直接法)：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，由題意，得OB2BC2OC2，如圖所示，即x2y2(x1)2y21，即OA中點(diǎn)B的軌跡方程為(x)2y2(去掉原點(diǎn))法二(幾何法)：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，由題意知CBOA，OC的中點(diǎn)記為M(，0)，則MBOC，故B點(diǎn)的軌跡方程為(x)2y2(去掉原點(diǎn))法三(代入法)：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，由題意得即又因?yàn)?x11)2y1，所以(2x1)2(2y)21，即(x)2y2(去掉原點(diǎn))法四(交點(diǎn)法)：設(shè)直線OA的方程為ykx，當(dāng)k0時(shí)，B為(1,0)；當(dāng)k0時(shí)，直線BC的方程為：y(x1)，直線OA，BC的方程聯(lián)立消去k即得其交點(diǎn)軌跡方程：y2x(x1)0，即(x)2y2(x0,1)，顯然B(1,0)滿足(x)2y2，故(x)2y2(去掉原點(diǎn))為所求(教材第16頁習(xí)題4.1第4題)據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，在A市正東方300 km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)40 km的速度向西北方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心250 km以內(nèi)的地區(qū)將受其影響問：從現(xiàn)在起經(jīng)過多少時(shí)間，臺(tái)風(fēng)將影響A市，持續(xù)時(shí)間多長？(xx鄭州模擬)已知B村位于A村的正西方向1公里處，原計(jì)劃經(jīng)過B村沿著北偏東60的方向埋設(shè)一條地下管線m.但在A村的西北方向400米處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W.根據(jù)初步勘察的結(jié)果，文物管理部門將遺址W周圍100米范圍劃為禁區(qū)試問：埋設(shè)地下管線m的計(jì)劃需要修改嗎？【命題意圖】本題主要考查合理建立直角坐標(biāo)系，并能應(yīng)用其解決實(shí)際問題的能力【解】以A村為原點(diǎn)，直線BA為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系則點(diǎn)B坐標(biāo)為(1 000,0)，點(diǎn)W坐標(biāo)為(200，200)，由題意，管線m的斜率為ktan 30，所以管線m所在的方程為y(x1 000)，化簡(jiǎn)得x3y1 0000，即xy1 0000.點(diǎn)W到該直線m的距離為d|500100100|100(5)因?yàn)?1，所以d100.故管線m不會(huì)穿過禁區(qū)，故該計(jì)劃不需要修改1已知點(diǎn)P(12m，3m)在第三象限，則m的取值范圍是_【解析】第三象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均小于0，即3m.【答案】(3，)2點(diǎn)P(2，3，1)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_【解析】P(x，y，z)關(guān)于平面yOz坐標(biāo)平面對(duì)稱的為點(diǎn)P(x，y，z)，點(diǎn)(2，3，1)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)為(2，3，1)【答案】(2，3，1)3ABC中，B(2,0)，C(2,0)，ABC的周長為10，則A點(diǎn)的軌跡方程是_【解析】BC4，ABAC10BC6BC，A的軌跡為橢圓除去B、C兩點(diǎn)，設(shè)橢圓方程為1，故2a6,2c4，即a3，c2，b232225.故軌跡方程為1(y0)【答案】1(y0)4點(diǎn)(2，3)關(guān)于直線3x4y50對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_【解析】設(shè)所求對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，則解得所求對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(，)【答案】(，)1已知點(diǎn)Q(1,2)，求Q點(diǎn)關(guān)于M(3,4)的對(duì)稱點(diǎn)【解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意知，M是PQ的中點(diǎn)，因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,6)2設(shè)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3，1)，B(8,2)，C(4,6)，求ABC的面積【解】如圖，作直線l：y1，過點(diǎn)B、C向l引垂線，垂足分別為B1、C1，則ABC的面積為SSAC1CS梯形C C1B1BSAB1B17(73)45316.3已知點(diǎn)P(0,4)，求P點(diǎn)關(guān)于直線l：3xy10的對(duì)稱點(diǎn)【解】設(shè)P點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a，b)，由題意得即解之得P點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)4已知一條長為6的線段兩端點(diǎn)A，B分別在x，y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M在線段AB上，且AMMB12，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程【解】如圖，設(shè)A(xA,0)，B(0，yB)，M(x，y)，AB6，6，即xy36，又AMMB12，x，y，即代入得x29y236，即x24y216.得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x24y216.5設(shè)點(diǎn)P是矩形ABCD所在平面上任意一點(diǎn)，試用解析法證明：PA2PC2PB2PD2.【證明】如圖，以(矩形的)頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AB、AD所在直線分別為x軸與y軸建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)B(b,0)、D(0，d)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(b，d)又設(shè)P(x，y)，則PA2PC2x2y2(xb)2(yd)2，PB2PD2(xb)2y2x2(yd)2.比較兩式，可知PA2PC2PB2PD2.6有相距1 400 m的A、B兩個(gè)觀察站，在A站聽到爆炸聲的時(shí)間比在B站聽到時(shí)間早4 s已知當(dāng)時(shí)聲音速度為340 m/s，試求爆炸點(diǎn)所在的曲線【解】由題知：爆炸點(diǎn)P到B的距離比到A的距離多34041 360米即PBPA1 3601 400，PBPA.故P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，且離A近的一支以A、B兩點(diǎn)所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，由題意得，2a1 360,2c1 400，故a680，c700，b27002680227 600，故爆炸點(diǎn)所在曲線為1(x0)7在黃巖島海域執(zhí)行漁政執(zhí)法的漁政310船發(fā)現(xiàn)一艘不明船只從離小島O正東方向80海里的B處，沿東西方向向O島駛來指揮部立即命令在島嶼O正北方向40海里的A處的我船沿直線前往攔截，以東西方向?yàn)閤軸，南北方向?yàn)閥軸，島嶼O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系并標(biāo)出A，B兩點(diǎn)，若兩船行駛的速度相同，在上述坐標(biāo)系中標(biāo)出我船最快攔住不明船只的位置，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)【解】A，B兩點(diǎn)如圖所示，A(0,40)，B(80,0)，OA40(海里)，OB80(海里)我船直行到點(diǎn)C與不明船只相遇，設(shè)C(x,0)，OCx，BCOBOC80x.兩船速度相同，ACBC80x.在RtAOC中，OA2OC2AC2，即402x2(80x)2，解得x30.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(30,0)教師備選8學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案如圖，航天器運(yùn)行(按順時(shí)針方向)的軌跡方程為1，變軌(即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為對(duì)稱軸，M(0，)為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為D(8,0)觀測(cè)點(diǎn)A(4,0)，B(6,0)(1)求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；(2)試問：當(dāng)航天器在x軸上方時(shí)，航天器離觀測(cè)點(diǎn)A、B分別為多遠(yuǎn)時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？【解】(1)設(shè)曲線方程為yax2， 點(diǎn)D(8,0)在拋物線上，a，曲線方程為yx2.(2)設(shè)變軌點(diǎn)為C(x，y)，根據(jù)題意可知得4y27y360.y4或y(舍去)，y4.得x6或x6(舍去)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,4)，AC2，BC4.所以當(dāng)航天器離觀測(cè)點(diǎn)A、B的距離分別為2、4時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令41.2極坐標(biāo)系課標(biāo)解讀1.了解極坐標(biāo)系2.會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置3.體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別.1極坐標(biāo)系(1)在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線Ox，同時(shí)確定一個(gè)長度單位和計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向?yàn)檎较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系其中，點(diǎn)O稱為極點(diǎn)，射線Ox稱為極軸(2)設(shè)M是平面上任一點(diǎn)，表示OM的長度，表示以射線Ox為始邊，射線OM為終邊所成的角那么，每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(，)確定一個(gè)點(diǎn)的位置稱為點(diǎn)M的極徑，稱為點(diǎn)M的極角有序?qū)崝?shù)對(duì)(，)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)約定0時(shí)，極角可取任意角(3)如果(，)是點(diǎn)M的極坐標(biāo)，那么(，2k)或(，(2k1)(kZ)都可以看成點(diǎn)M的極坐標(biāo)2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位(如圖412所示)，平面內(nèi)任一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(x，y)與極坐標(biāo)(，)可以互換，圖412公式是：或通常情況下，將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，取0,02.1建立極坐標(biāo)系需要哪幾個(gè)要素？【提示】建立極坐標(biāo)系的要素是：(1)極點(diǎn)；(2)極軸；(3)長度單位；(4)角度單位和它的正方向，四者缺一不可2為什么點(diǎn)的極坐標(biāo)不惟一？【提示】根據(jù)我們學(xué)過的任意角的概念：一是終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差2的整數(shù)倍，所以點(diǎn)(，)還可以寫成(，2k)(kZ)；二是終邊在一條直線上且互為反向延長線的兩角的關(guān)系，所以點(diǎn)(，)的坐標(biāo)還可以寫成(，2k)(kZ)3將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)如何確定和的值？【提示】由2x2y2求時(shí)，不取負(fù)值；由tan (x0)確定時(shí)，根據(jù)點(diǎn)(x，y)所在的象限取得最小正角當(dāng)x0時(shí)，角才能由tan 按上述方法確定當(dāng)x0時(shí)，tan 沒有意義，這時(shí)又分三種情況：(1)當(dāng)x0，y0時(shí)，可取任何值；(2)當(dāng) x0，y0時(shí)，可??；(3)當(dāng)x0，y0時(shí)，可取.極坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)寫出下圖中A、B、C、D、E、F、G各點(diǎn)的極坐標(biāo)(0,02)圖413【自主解答】對(duì)每個(gè)點(diǎn)我們先看它的極徑的長，再確定它的極角，因此這些點(diǎn)的極坐標(biāo)為A，B，C，D，E，F(xiàn)(3，)，G.已知邊長為a的正六邊形ABCDEF，建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo)【解】以正六邊形中心O為極點(diǎn)，OC所在直線為極軸建立如圖所示的極坐標(biāo)系由正六邊形性質(zhì)得：C(a,0)，D(a，)，E(a，)，F(xiàn)(a，)，A(a，)，B(a，)或C(a,0)，D(a，)，E(a，)，F(xiàn)(a，)，A(a，)，B(a，).極坐標(biāo)的對(duì)稱性在極坐標(biāo)系中，求與點(diǎn)M(3，)關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)【自主解答】極坐標(biāo)系中點(diǎn)M(，)關(guān)于極軸對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)為M(，2k)(kZ)，利用這個(gè)規(guī)律可得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)(3,2k)(kZ)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(3，)(限定0，02)(1)點(diǎn)A關(guān)于極軸對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是_；(2)點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是_(3)點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是_【解析】通過作圖如圖可求解為【答案】(1)(3，)(2)(3，)(3)(3，)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(1)把點(diǎn)M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)；(2)把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(，)化成極坐標(biāo)(0，02)【自主解答】(1)x8cos4，y8sin4，因此，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(4,4)(2)2，tan ，又因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限且02，得.因此，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2，)(1)把點(diǎn)A的極坐標(biāo)(2，)化成直角坐標(biāo)；(2)把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(1，)化成極坐標(biāo)(0,02)【解】(1)x2cos ，y2sin 1，故點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(，1)(2)2，tan .又因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限且02，得.因此點(diǎn)P的極坐標(biāo)是(2，).極坐標(biāo)系的應(yīng)用在極坐標(biāo)系中，已知A(3，)，B(1，)，求A、B兩點(diǎn)之間的距離【思路探究】將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，在用兩點(diǎn)間距離公式求解【自主解答】對(duì)于A(3，)，x3cos()；y3sin()，A(，)對(duì)于B(1，)，x1cos ，y1sin ，B(，)AB4，A、B兩點(diǎn)之間的距離為4.有些問題在用極坐標(biāo)表示時(shí)沒有現(xiàn)成的解法，但在直角坐標(biāo)系中卻是一個(gè)常見的問題因此，換一個(gè)坐標(biāo)系，把極坐標(biāo)系中的元素?fù)Q成直角坐標(biāo)系中的元素，問題就可以迎刃而解了如果題目要求用極坐標(biāo)作答，那么解完再用極坐標(biāo)表示就行了在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)：A(4,0)、B(4，)、C(，)(1)求直線AB與極軸所成的角；(2)若A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，求的值【解】(1)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為(0，4)，直線AB在直角坐標(biāo)系中的方程為xy4.故直線AB與x軸所成角為.(2)點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為，代入直線方程得4，解得4(1)(教材第17頁習(xí)題4.1第6題)將下列各點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：(，)，(6，)，(2，)，(5，)，(4，)，(4，)(xx鎮(zhèn)江模擬)已知下列各點(diǎn)的直角坐標(biāo)，求它們的極坐標(biāo)(1)A(3，)；(2)B(2，2)；(3)C(0，2)；(4)D(3,0)【命題意圖】本題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，屬基礎(chǔ)題【解】(1)由題意可知：2，tan ，所以，所以點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2，)(2)4，tan ，又由于為第三象限角，故，所以B點(diǎn)的極坐標(biāo)為(4，)(3)2.為，在y軸負(fù)半軸上，所以點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2，)(4)3，tan 0，故0.所以D點(diǎn)的極坐標(biāo)為(3,0)1點(diǎn)P(2,2)的極坐標(biāo)(0,2)為_【解析】由2，tan 1，P點(diǎn)在第二象限內(nèi)，的極坐標(biāo)為(2，)【答案】(2，)2在極坐標(biāo)系中，與(，)關(guān)于極軸對(duì)稱的點(diǎn)是_【解析】極徑為，極角為，關(guān)于極軸對(duì)稱的角為負(fù)角，故所求的點(diǎn)為(，)【答案】(，)3將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為_【解析】xcos 2cos0，ysin 2sin2，故直角坐標(biāo)為(0，2)【答案】(0，2)4已知A，B的極坐標(biāo)分別是和，則A和B之間的距離等于_【解析】由余弦定理得AB .【答案】1在極坐標(biāo)系中，作出下列各點(diǎn)：A，B，C，D，E(4，0)，F(xiàn)(2.5，)【解】各點(diǎn)描點(diǎn)如下圖2極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是(3，)，求點(diǎn)A關(guān)于過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)【解】極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(，)關(guān)于過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)為(，(2k1)(kZ)，利用此，即可寫出其中一個(gè)為(3，)3已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(2，)，若限定0,02，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)【解】(，)與(，)表示同一點(diǎn)，(2，)與(2，)為同一點(diǎn)的極坐標(biāo)，故點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(2，)4在極坐標(biāo)中，若等邊ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)是A、B(2，)，那么頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是多少？【解】如右圖，由題設(shè)可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)O對(duì)稱，即O是AB的中點(diǎn)又AB4，ABC為正三角形，OC2，AOC，C對(duì)應(yīng)的極角或，即C點(diǎn)極坐標(biāo)為或.5設(shè)有一顆彗星，圍繞地球沿一拋物線軌道運(yùn)行，地球恰好位于該拋物線軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球?yàn)?0(萬千米)時(shí)，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，試建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出彗星此時(shí)的極坐標(biāo)【解】如圖所示，建立極坐標(biāo)系，使極點(diǎn)O位于拋物線的焦點(diǎn)處，極軸Ox過拋物線的對(duì)稱軸，由題設(shè)可得下列四種情形：(1)當(dāng)時(shí)，30(萬千米)；(2)當(dāng)時(shí)，30(萬千米)；(3)當(dāng)時(shí)，30(萬千米)；(4)當(dāng)時(shí)， 30(萬千米)彗星此時(shí)的極坐標(biāo)有四種情形：(30，)，(30，)，(30，)，(30，)6已知A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別是(2，)、(4，)，求A、B兩點(diǎn)間的距離和AOB的面積【解】求兩點(diǎn)間的距離可用如下公式：AB2.SAOB|12sin(12)|24sin()|244.7已知定點(diǎn)P(4，)(1)將極點(diǎn)移至O(2，)處極軸方向不變，求P點(diǎn)的新坐標(biāo)；(2)極點(diǎn)不變，將極軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角，求P點(diǎn)的新坐標(biāo)【解】(1)設(shè)P點(diǎn)新坐標(biāo)為(，)，如圖所示，由題意可知OO2，OP4，POx，OOx，POO.在POO中，242(2)2242cos 1612244，2.又，sinOPO2，OPO.OPP，PPx.POx.P點(diǎn)的新坐標(biāo)為(2，)(2)如圖，設(shè)P點(diǎn)新坐標(biāo)為(，)，則4，.P點(diǎn)的新坐標(biāo)為(4，)教師備選8已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別是A(5，)，B(5，)，C(4，)，試判斷ABC的形狀，并求出它的面積【解】C(4，)，AOB，且AOBO，所以AOB是等邊三角形，AB5，BC ，AC ，ACBC，ABC為等腰三角形，AB邊上的高為45，SABC5.41.3球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系課標(biāo)解讀1.球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系的理解2.球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化.1球坐標(biāo)系與球坐標(biāo)(1)在空間任取一點(diǎn)O作為極點(diǎn)，從O點(diǎn)引兩條互相垂直的射線Ox和Oz作為極軸，再規(guī)定一個(gè)長度單位和射線Ox繞Oz軸旋轉(zhuǎn)所成的角的正方向，這樣就建立了一個(gè)球坐標(biāo)系 (2)設(shè)P是空間一點(diǎn)，用r表示OP的長度，表示以O(shè)z為始邊，OP為終邊的角，表示半平面xOz到半平面POz的角，則有序數(shù)組(r，)就叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo)，其中r0,0，02.圖4142直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)間的關(guān)系若空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，Ox軸及Oz軸，分別與球坐標(biāo)系的極點(diǎn)、Ox軸及Oz軸重合，就可以得到空間中同一點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與球坐標(biāo)(r，)之間的關(guān)系，如圖415所示x2y2z2r2，xrsin_cos_，yrsin_sin_，zrcos_.3柱坐標(biāo)系圖416建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz后，設(shè)P為空間中任意一點(diǎn)，它在xOy平面上的射影為Q，用極坐標(biāo)(，)(0,02)表示點(diǎn)Q在平面xOy上的極坐標(biāo)，這時(shí)點(diǎn)P的位置可以用有序數(shù)組(，z)(zR)表示，把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組(，z)叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo)，記作P(，z)，其中0,02，zR.4直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)之間的關(guān)系1空間直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系有何聯(lián)系和區(qū)別？【提示】柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系都是以空間直角坐標(biāo)系為背景，柱坐標(biāo)系中一點(diǎn)在平面xOy內(nèi)的坐標(biāo)是極坐標(biāo)，豎坐標(biāo)和空間直角坐標(biāo)系的豎坐標(biāo)相同；球坐標(biāo)系中，則以一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離和兩個(gè)角(高低角、極角)刻畫點(diǎn)的位置空間直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系都是空間坐標(biāo)系，空間點(diǎn)的坐標(biāo)都是由三個(gè)數(shù)值的有序數(shù)組組成2在空間的柱坐標(biāo)系中，方程0(0為不等于0的常數(shù))，0，zz0分別表示什么圖形？【提示】在極坐標(biāo)中，方程0(0為不等于0的常數(shù))表示圓心在極點(diǎn)，半徑為0的圓，方程0(0為常數(shù))表示與極軸成0角的射線而在空間的柱坐標(biāo)系中，方程0表示中心軸為z軸，底半徑為0的圓柱面，它是上述圓周沿z軸方向平行移動(dòng)而成的方程0表示與zOx坐標(biāo)面成0角的半平面方程zz0表示平行于xOy坐標(biāo)面的平面，如圖所示常把上述的圓柱面、半平面和平面稱為柱坐標(biāo)系的三族坐標(biāo)面.將點(diǎn)的柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)(1)已知點(diǎn)M的球坐標(biāo)為，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為_(2)設(shè)點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(2，7)，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為_【自主解答】(1)設(shè)M(x，y，z)，則x2sin cos 1，y2sin sin 1，z2cos .即M點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1，)(2)設(shè)M(x，y，z)，則x2cos ，y2sin 1，z7.即M點(diǎn)坐標(biāo)為(，1,7)【答案】(1)(1,1，)(2)(，1,7)(1)已知點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為(4，8)，則它的直角坐標(biāo)為_(2)已知點(diǎn)P的球坐標(biāo)為(4，)，則它的直角坐標(biāo)為_【解析】(1)由變換公式得：x4cos 2，y4sin 2，z8.點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,2，8)(2)由變換公式得：xrsin cos 4sin cos 2，yrsin sin 4sin sin 2，zrcos 4cos 2.它的直角坐標(biāo)為(2,2，2)【答案】(1)(2,2，8)(2)(2,2，2)將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，如圖417建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，Ax為極軸，求點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)以及球坐標(biāo)圖417【思路探究】解答本題根據(jù)空間直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系以及球坐標(biāo)系的意義和聯(lián)系計(jì)算即可【自主解答】點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)為(1,1,1)，設(shè)點(diǎn)C1的柱坐標(biāo)為(，z)，球坐標(biāo)為(r，)，其中0，r0,0，02，由公式及得及得及結(jié)合圖形得，由cos 得tan .點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)為(1,1,1)，柱坐標(biāo)為(，1)，球坐標(biāo)為(，)，其中tan ，0.化點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(x，y，z)為柱坐標(biāo)(，z)或球坐標(biāo)(r，)，需要對(duì)公式以及進(jìn)行逆向變換，得到以及提醒在由三角函數(shù)值求角時(shí)，要先結(jié)合圖形確定角的范圍再求值(1)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,1,1)，求它在柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,1，)，求它的球坐標(biāo)【解】(1)設(shè)M的柱坐標(biāo)為(，z)，則有解之得，.因此，點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為.(2)由坐標(biāo)變換公式，可得r2.由rcos z，得cos ，.又tan 1，(M在第一象限)，從而知M點(diǎn)的球坐標(biāo)為.(教材第17頁習(xí)題4.1第16題)建立適當(dāng)?shù)那蜃鴺?biāo)系或柱坐標(biāo)系表示棱長為3的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)(xx洛陽模擬)結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，如圖418(1)是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個(gè)棱長為的小正方體堆積成的正方體)圖形中的點(diǎn)代表鈉原子，如圖418(2)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz后，試寫出下層鈉原子所在位置的球坐標(biāo)、柱坐標(biāo) (1) (2)圖418【命題意圖】本題以食鹽晶胞為載體，主要考查柱坐標(biāo)系及球坐標(biāo)系在確定空間點(diǎn)的位置中的應(yīng)用【解】下層的原子全部在xOy平面上，它們所在位置的豎坐標(biāo)全是0，所以這五個(gè)鈉原子所在位置的球坐標(biāo)分別為(0,0,0)，(1，0)，(，)，(1，)，(，)；它們的柱坐標(biāo)分別為(0,0,0)，(1,0,0)，(，0)，(1，0)，(，0)1已知點(diǎn)A的柱坐標(biāo)為(1,0,1)，則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為_【解析】由點(diǎn)A的柱坐標(biāo)為(1,0,1)知，1，0，z1，故xcos 1，ysin 0，z1，所以直角坐標(biāo)為(1,0,1)【答案】(1,0,1)2設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1，1，)，則它的球坐標(biāo)為_【解析】由坐標(biāo)變換公式，r2.cos ，.tan 1，.故M的球坐標(biāo)為.【答案】3已知點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為，點(diǎn)B的球坐標(biāo)為，這兩個(gè)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為_【解析】設(shè)P(x y，z)，則xcos1，ysin1，z5，P(1,1,5)設(shè)B(x，y，z)，則xsin cos ，ysinsin，zcos .故B(，)【答案】P(1,1,5)，B(，)4把A(4，2)、B(3，2)兩點(diǎn)的柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，則兩點(diǎn)間的距離為_【解析】點(diǎn)A化為直角坐標(biāo)為A(2，2,2)，點(diǎn)B化為直角坐標(biāo)為B.AB222(22)21264616416()所以AB.【答案】1把下列各點(diǎn)的球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：(1)M；(2)N；(3)P.【解】(1)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，M在xOy平面內(nèi)的射影為M，則OM2 sin2.于是x2cos1，y2sin，z2cos0.故點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1，0)(2)x5sincos0，y5sinsin，z5cos，點(diǎn)N的直角坐標(biāo)為.(3)x9sincos，y9sinsin，z9cos.點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為.2把下列各點(diǎn)的柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：(1)Q；(2)R；(3)S.【解】(1)x0，y5，故點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為Q(0,5，2)(2)x6cos3，y6sin3，故點(diǎn)R的直角坐標(biāo)為R(3,3，4)(3)x8cos4，y8sin4，故點(diǎn)S的直角坐標(biāo)為S(4，4，3)3已知長方體ABCDA1B1C1D1的邊長為AB14，AD6，AA110，以這個(gè)長方體的頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線AB、AD、AA1分別為x、y、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求長方體頂點(diǎn)C1的空間直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)【解】如圖，C1點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x，y，z)分別對(duì)應(yīng)著CD、BC、CC1；C1點(diǎn)的柱坐標(biāo)(，z)分別對(duì)應(yīng)著CA、BAC、CC1；C1點(diǎn)的球坐標(biāo)(r，)分別對(duì)應(yīng)著AC1、BAC、A1AC1.C1點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)為(14,6,10)，C1點(diǎn)的柱坐標(biāo)為(其中tan )，C1點(diǎn)的球坐標(biāo)為(2，)(其中cos ，tan )4在球坐標(biāo)面內(nèi)，方程r1表示空間中的什么曲面？方程表示空間中的什么曲面？【解】方程r1表示球心在原點(diǎn)的單位球面；方程表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，半頂角為的圓錐面，中心軸為z軸5在球坐標(biāo)系中，求兩點(diǎn)P，Q的距離【解】將P，Q兩點(diǎn)球坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)：P：x3sincos，y3sinsin，z3cos，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.Q：x3sincos，y3sinsin，z3cos，Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.|PQ| ，即P、Q的距離為.6建立適當(dāng)?shù)闹鴺?biāo)系，表示棱長為3的正四面體各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)【解】以正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)B為極點(diǎn)O，選取以O(shè)為端點(diǎn)且與BD垂直的射線Ox為極軸，在面BCD上建立極坐標(biāo)系過O點(diǎn)與面BCD垂直的線為z軸過A作AA垂直于平面BCD，垂足為A，則BA，AA，ABx，則A(，)，B(0,0,0)，C(3，0)，D(3，0)7一個(gè)圓形體育館，自正東方向起，按逆時(shí)針方向等分為十六個(gè)扇形區(qū)域，順次記為一區(qū)，二區(qū)，十六區(qū)，我們?cè)O(shè)圓形體育場(chǎng)第一排與體育館中心的距離為200 m，每相鄰兩排的間距為1 m，每層看臺(tái)的高度為0.7 m，現(xiàn)在需要確定第九區(qū)第四排正中的位置A，請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把點(diǎn)A的坐標(biāo)求出來【解】以圓形體育館中心O為極點(diǎn)，選取以O(shè)為端點(diǎn)且過正東入口的射線Ox為極軸，在地面上建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)A與體育場(chǎng)中軸線Oz的距離為203 m，極軸Ox按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度為2.8 m，因此點(diǎn)A的柱坐標(biāo)為(203，2.8)教師備選8如圖建立球坐標(biāo)系，正四面體ABCD的邊長為1，求A、B、C、D的球坐標(biāo)(其中O是BCD的中心)【解】O是BCD的中心，OCODOB，AO.C(，0)，D(，)，B(，)，A(，0,0)