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2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3.doc

2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-31離散型隨機(jī)變量的均值一般地,若離散型隨機(jī)變量的分布列為說(shuō)明:(1)均值刻畫的是取值的“中心位置”,這是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征;(2)根據(jù)均值的定義,可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值但反過(guò)來(lái),兩個(gè)不同的分布可以有相同的均值這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律,從而也決定了隨機(jī)變量的均值而均值只是刻畫了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征,并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì)2均值的性質(zhì)若,其中,是常數(shù),是隨機(jī)變量,則也是隨機(jī)變量,且_3常用分布的均值(1)兩點(diǎn)分布:若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布,則_(2)二項(xiàng)分布:若離散型隨機(jī)變量,則_(3)二項(xiàng)分布均值公式的直觀解釋:在一次試驗(yàn)中,試驗(yàn)成功的概率是,則在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,試驗(yàn)成功的平均次數(shù)為注意:兩點(diǎn)分布是特殊的二項(xiàng)分布,若一次試驗(yàn)中,試驗(yàn)成功的概率是,則隨機(jī)變量等于1的概率是,隨機(jī)變量等于0的概率是4離散型隨機(jī)變量的方差一般地,若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱_為隨機(jī)變量的方差,并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差說(shuō)明:(1)描述了1,2,相對(duì)于均值的偏離程度,而是上述偏離程度的加權(quán)平均,刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越?。唬?)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位,而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方5方差的性質(zhì)(1)若,其中,是常數(shù),是隨機(jī)變量,則(2)方差公式的變形:_6常見分布的方差(1)兩點(diǎn)分布:若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布,則(2)二項(xiàng)分布:若離散型隨機(jī)變量,則_參考答案:123456重點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的期望和方差的求解難點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的期望和方差的性質(zhì)的運(yùn)用易錯(cuò)混淆常見分布的期望和方差的相關(guān)公式導(dǎo)致錯(cuò)誤離散型隨機(jī)變量的均值與方差的求解求離散型隨機(jī)變量的均值和方差的步驟:(1)理解的意義,寫出的所有可能取值;(2)求取每個(gè)值時(shí)的概率;(3)寫出的分布列(有時(shí)可以省略);(4)由定義求,根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),某工程施工期間的降水量(單位:mm)對(duì)工期的影響如下表:降水量工期延誤天數(shù)歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量小于300,700,900的概率分別為,求工期延誤天數(shù)的均值與方差【解析】(1)由已知條件和概率的加法公式有:,所以的分布列為故,某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物,為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種(分別稱為品種甲和品種乙)進(jìn)行田間試驗(yàn)選取兩大塊地,每大塊地分成小塊地,在總共小塊地中,隨機(jī)選小塊地種植品種甲,另外小塊地種植品種乙若,在第一大塊地中,種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為,求的分布列、均值和方差【解析】隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3,4,所以的分布列為故,離散型隨機(jī)變量均值與方差的性質(zhì)(1)口袋中有個(gè)形狀和大小完全相同的小球,編號(hào)分別為0,1,2,3,4,從中任取3個(gè)球,以表示取出球的最小號(hào)碼,則ABCD(2)已知是離散型隨機(jī)變量,若,則ABCD或(3)若隨機(jī)變量,則A2B4C8D9【答案】(1)B;(2)C;(3)B【解析】(1)由題易得,所以,故選B(2)因?yàn)槭请x散型隨機(jī)變量,且,所以,解得或(舍去),所以故選C(3)因?yàn)殡S機(jī)變量,所以,故故選B袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上號(hào)的有個(gè)(1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球,用表示所取球的標(biāo)號(hào)(1)求的分布列、均值和方差;(2)若,試求,的值【解析】(1)由題可得的所有可能取值為0,1,2,3,4,所以的分布列為故,(2)因?yàn)?,所以且,解得或【名師點(diǎn)睛】利用公式,將求,的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求,的問(wèn)題,從而可以避免求的分布列的煩瑣的計(jì)算,解題時(shí)可根據(jù)兩者之間的關(guān)系列出等式,進(jìn)行相關(guān)計(jì)算即可二項(xiàng)分布的均值與方差根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料,某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為,購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為,假設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立(1)求該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率;(2)表示該地的200位車主中,甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的車主數(shù),求的均值和方差【解析】設(shè)事件表示“該地的1位車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)”,事件表示“該地的1位車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)”,事件表示“該地的1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種”,事件表示“該地的1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買”,則,相互獨(dú)立(1)由題意知,則(2)易得,則,由題意可得,所以,某種有獎(jiǎng)銷售的飲料,瓶蓋內(nèi)印有“再來(lái)壹瓶”或“謝謝惠顧”字樣,購(gòu)買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“再來(lái)壹瓶”字樣即為中獎(jiǎng),中獎(jiǎng)概率為甲、乙、丙三位同學(xué)每人購(gòu)買了一瓶該飲料(1)求甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率;(2)求中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望和方差【解析】(1)設(shè)甲、乙、丙中獎(jiǎng)的事件分別為、,那么,所以甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率為(2)由題可得的所有可能取值為0,1,2,3,且0,1,2,3,所以中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列為方法一:由分布列可得,方法二:由題易得,故,【名師點(diǎn)睛】若離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,則其均值和方差既可以利用定義求解,也可以代入二項(xiàng)分布的均值和方差的計(jì)算公式求解利用均值、方差進(jìn)行決策某突發(fā)事件,在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為,一旦發(fā)生,將造成萬(wàn)元的損失現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采取,單獨(dú)采取甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為萬(wàn)元和萬(wàn)元,采取相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率分別為和若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采取、聯(lián)合采取或不采取,請(qǐng)確定預(yù)防方案使產(chǎn)生的總費(fèi)用最少【解析】不采取預(yù)防措施時(shí),總費(fèi)用即損失均值為(萬(wàn)元);若單獨(dú)采取甲預(yù)防措施,則預(yù)防措施費(fèi)用為萬(wàn)元,發(fā)生突發(fā)事件的概率為,損失均值為(萬(wàn)元),所以總費(fèi)用為(萬(wàn)元);若單獨(dú)采取乙預(yù)防措施,則預(yù)防措施費(fèi)用為萬(wàn)元,發(fā)生突發(fā)事件的概率為,損失均值為(萬(wàn)元),所以總費(fèi)用為(萬(wàn)元);若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施,發(fā)生突發(fā)事件的概率為,則預(yù)防措施費(fèi)用為(萬(wàn)元),損失均值為(萬(wàn)元),所以總費(fèi)用為(萬(wàn)元)綜合可知,選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施,可使產(chǎn)生的總費(fèi)用最少有甲、乙兩名學(xué)生,經(jīng)統(tǒng)計(jì),他們?cè)诮獯鹜环輸?shù)學(xué)試卷時(shí),各自的成績(jī)?cè)?0分、90分、100分的概率分布大致如下表所示:甲分?jǐn)?shù)概率乙分?jǐn)?shù)概率試分析甲、乙兩名學(xué)生誰(shuí)的成績(jī)好一些【解析】由題易得,因?yàn)椋约住⒁覂扇怂梅謹(jǐn)?shù)的均值相等,但兩人的分?jǐn)?shù)的穩(wěn)定程度不同,甲學(xué)生分?jǐn)?shù)較穩(wěn)定,乙學(xué)生分?jǐn)?shù)波動(dòng)較大,所以甲學(xué)生的成績(jī)好一些【名師點(diǎn)睛】均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”,因此,當(dāng)均值不同時(shí),兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分曉但有時(shí)兩個(gè)隨機(jī)變量即使均值相同,其取值差異也可能很大,此時(shí),我們就要利用方差來(lái)反映隨機(jī)變量取值的集中程度由此來(lái)刻畫兩個(gè)隨機(jī)變量的分布,對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出決策判斷超幾何分布的均值與方差一般地,從含有件次品的件產(chǎn)品中,任取件,其中恰有件次品,則服從參數(shù)為,的超幾何分布,其分布列為,0,1,2,其中,且,求超幾何分布的均值與方差有兩種方法:(1)列出隨機(jī)變量的分布列,利用均值與方差的計(jì)算公式直接求解;(2)利用公式:,某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為世博會(huì)志愿者,若用隨機(jī)變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù),則(1)均值_;(2)方差_(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)【答案】(1);(2)【解析】方法一:由題意知隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的超幾何分布,的可能取值為0,1,2,因此,故的分布列為012故,方法二:由題意知隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的超幾何分布,直接代入超幾何分布均值和方差的計(jì)算公式可得,【名師點(diǎn)睛】超幾何分布均值公式的直觀解釋:件產(chǎn)品中有件次品,從中任取1件產(chǎn)品,易知平均取到件次品;若從中任取件產(chǎn)品,則平均取到件次品1下面說(shuō)法中正確的是A離散型隨機(jī)變量的均值反映了取值的概率的平均值B離散型隨機(jī)變量的方差反映了取值的平均水平C離散型隨機(jī)變量的均值反映了取值的平均水平D離散型隨機(jī)變量的方差反映了取值的概率的平均值2已知,則的值為A10B7C3D63已知,則,的值分別為A,B,C,D,4隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,若,則方差A(yù)BCD5現(xiàn)有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,任取2件,若表示取到次品的個(gè)數(shù),則_6設(shè)袋中有兩個(gè)紅球一個(gè)黑球,除顏色不同,其他均相同,現(xiàn)有放回的抽取,每次抽取一個(gè),記下顏色后放回袋中,連續(xù)摸三次,表示三次中紅球被摸中的次數(shù)(每個(gè)小球被抽取的概率相同,每次抽取相互獨(dú)立),則方差_7若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,且,則_8假定1500件產(chǎn)品中有100件不合格品,若從中抽取15件進(jìn)行檢查,則15件產(chǎn)品中不合格品數(shù)的均值_9某企業(yè)完成一項(xiàng)工程有三個(gè)方案,甲、乙、丙每個(gè)方案的獲利情況如下表所示:自然狀況方案甲方案乙方案丙概率獲利(萬(wàn)元)概率獲利(萬(wàn)元)概率獲利(萬(wàn)元)巨大成功中等成功不成功為使企業(yè)獲利最大,該企業(yè)應(yīng)選擇哪種方案?10某市為了制定合理的節(jié)電方案,供電局對(duì)居民用電情況進(jìn)行了調(diào)查,通過(guò)抽樣,獲得了某年戶居民每戶的月均用電量(單位:度),將數(shù)據(jù)按照,分成9組,制成了如下圖所示的頻率分布直方圖(1)求頻率分布直方圖中的值并估計(jì)居民月均用電量的中位數(shù);(2)從樣本中月均用電量不低于700度的用戶中隨機(jī)抽取4戶,用表示月均用電量不低于800度的用戶數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望11袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有5個(gè),記上號(hào)的有個(gè)(1,2,3,4,5),現(xiàn)從袋中任取一球,用表示所取球的標(biāo)號(hào)(1)求的分布列、均值和方差;(2)若,試求,的值12已知某離散型隨機(jī)變量服從的分布列如下表,則隨機(jī)變量的方差等于ABCD13甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,約定每局勝者得1分,負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止設(shè)甲在每局中獲勝的概率為,乙在每局中獲勝的概率為,且各局勝負(fù)相互獨(dú)立,則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望ABCD14設(shè)隨機(jī)變量的分布列為,0,1,2,且,則 _15已知是離散型隨機(jī)變量,若,則_16已知集合,則滿足條件的事件的概率為_;集合的元素中含奇數(shù)的個(gè)數(shù)的期望為_17甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn),現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次,記錄如下:甲:82 81 79 78 95 88 93 84乙:92 95 80 75 83 80 90 85(1)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,從平均狀況和方差的角度考慮,你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加合適?請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)若將頻率視為概率,對(duì)學(xué)生甲在今后的三次數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè),記這三次成績(jī)中高于80分的次數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望18某廠有4臺(tái)大型機(jī)器,在一個(gè)月中,一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障,且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的,出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修,每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為(1)問(wèn)該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于?(2)已知1名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力,每月需支付給每位工人1萬(wàn)元的工資,每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修,能使該廠產(chǎn)生5萬(wàn)元的利潤(rùn),否則將不產(chǎn)生利潤(rùn)若該廠現(xiàn)有2名工人,求該廠每月獲利的均值19【xx四川理】同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí),就說(shuō)這次試驗(yàn)成功,則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是_20【xx山東理】甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng),每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ),在一輪活動(dòng)中,如果兩人都猜對(duì),則“星隊(duì)”得3分;如果只有一個(gè)人猜對(duì),則“星隊(duì)”得1分;如果兩人都沒(méi)猜對(duì),則“星隊(duì)”得0分已知甲每輪猜對(duì)的概率是,乙每輪猜對(duì)的概率是;每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響,各輪結(jié)果亦互不影響假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng),求:(1)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率;(2)“星隊(duì)”兩輪得分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望1C【解析】離散型隨機(jī)變量的均值反映了取值的平均水平,它的方差反映了的取值的離散程度故選C2A【解析】由題意得,解得故選A3C【解析】由題意可得,解得,故選C4B【解析】設(shè),所以,解得,所以,故選B5【解析】由題意得,隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,所以(或)6【解析】每次取球時(shí),取到紅球的概率為、黑球的概率為,所以服從二項(xiàng)分布,即,所以7【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,所以,則,解得8【解析】易知服從超幾何分布,故9方案甲的平均獲利最大,應(yīng)選擇方案甲【解析】用,分別表示甲、乙、丙三個(gè)方案的獲利金額,則采用方案甲的平均獲利為萬(wàn)元;采用方案乙的平均獲利為萬(wàn)元;采用方案丙的平均獲利為萬(wàn)元,顯然,即,所以方案甲的平均獲利最大,應(yīng)選擇方案甲10(1),中位數(shù)為度,(2)分布列見解析,【解析】(1),解得設(shè)中位數(shù)是度,前5組的頻率之和為,而前4組的頻率之和為,所以,解得,故居民月均用電量的中位數(shù)為度(2)200戶居民月均用電量在度的戶數(shù)是8,月均用電量在度的戶數(shù)是4故隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,所以隨機(jī)變量的分布列為01234故11(1)分布列見解析,;(2),或,【解析】(1)的可能取值為0,1,2,3,4,5,且,所以的分布列為012345故,(2)由,可得,解得,又,所以當(dāng)時(shí),解得;當(dāng)時(shí),解得綜上,或,12B【解析】由可得,所以,=,故選B(或)13B【解析】依題意知,的所有可能取值為2,4,6,設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?,則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得一分,此時(shí),該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響,從而有,故故選B14【解析】易知,所以,解得,所以15【解析】由,可得,求解可得16【解析】由題意,無(wú)滿足條件的事件,故所求概率為;集合的元素中含奇數(shù)個(gè)數(shù)的可能情況為,對(duì)應(yīng)概率分別為,故數(shù)學(xué)期望為17(1)甲,理由見解析;(2)分布列見解析,【解析】(1)甲參加比較合適理由如下:,因?yàn)?,所以甲的成?jī)比較穩(wěn)定,派甲參加比較合適(2)“甲同學(xué)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中成績(jī)高于80分”為事件,則,隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,且,所以,故的分布列為0123所以(或)18(1);(2)萬(wàn)元【解析】(1)設(shè)“機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)”為事件,則設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為,則,故的分布列為01234設(shè)該廠有名工人,則“每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修”為,這個(gè)互斥事件的和事件,則01234因?yàn)?,所以至少?名工人,才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于(2)設(shè)該廠獲利為萬(wàn)元,則的所有可能取值為18,13,8,故的分布列為18138所以,故該廠獲利的均值為萬(wàn)元19【解析】同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,可能的結(jié)果有(正正),(正反),(反正),(反反),所以在1次試驗(yàn)中成功的概率為,所以,故20(1);(2)分布列見解析,【解析】(1)記事件:“甲第一輪猜對(duì)”,記事件:“乙第一輪猜對(duì)”,記事件:“甲第二輪猜對(duì)”,記事件:“乙第二輪猜對(duì)”,記事件:“星隊(duì)至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”由題意,由事件的獨(dú)立性與互斥性,可得,所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為(2)由題意,隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3,4,6由事件的獨(dú)立性與互斥性,得,所以隨機(jī)變量的分布列為012346所以數(shù)學(xué)期望

注意事項(xiàng)

本文(2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3.doc)為本站會(huì)員(tia****nde)主動(dòng)上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請(qǐng)立即通知裝配圖網(wǎng)(點(diǎn)擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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