2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要 24.排列、組合和二項(xiàng)式定理教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要 24.排列、組合和二項(xiàng)式定理教案 新人教A版.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要 24.排列、組合和二項(xiàng)式定理教案 新人教A版1.兩個(gè)原理.(1)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是排列組合的基礎(chǔ)和核心,既可用來推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式,也可用來直接解題。它們的共同點(diǎn)都是把一個(gè)事件分成若干個(gè)分事件來進(jìn)行計(jì)算。只不過利用分類計(jì)算原理時(shí),每一種方法都可能獨(dú)立完成事件;如需連續(xù)若干步才能完成的則是分步。利用分類計(jì)數(shù)原理,重在分“類”,類與類之間具有獨(dú)立性和并列性;利用分步計(jì)數(shù)原理,重在分步;步與步之間具有相依性和連續(xù)性。比較復(fù)雜的問題,常先分類再分步,分類相加,分步相乘. (2)一個(gè)模型: 影射個(gè)數(shù) 若A有年n個(gè)元素,B有m個(gè)元素,則從A到B能建立個(gè)不同的影射n件不同物品放入m個(gè)抽屜中,不限放法,共有多少種不同放法? (解:種)四人去爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍,有多少種方法?從集合A=1,2,3到集合B=3,4的映射f中滿足條件f(3)=3的影射個(gè)數(shù)是多少?求一個(gè)正整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)(3)含有可重元素的排列問題.對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是:設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1,a2,.an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2nk,且n = n1+n2+nk , 則S的排列個(gè)數(shù)等于. 如:已知數(shù)字3、2、2,求其排列個(gè)數(shù)又例如:數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)?其排列個(gè)數(shù). 2.排列數(shù)中、組合數(shù)中.(1)排列數(shù)公式 ;。如(1)1!+2!+3!+n?。ǎ┑膫€(gè)位數(shù)字為 (答:3);(2)滿足的 (答:8)(2)組合數(shù)公式;規(guī)定,.如已知,求 n,m的值(答:mn2)(3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì):;從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下n-m個(gè)元素,因此從n個(gè)不同元素中取出 n-m個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的,因此是一樣多的就是說從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合.(或者從n+1個(gè)編號(hào)不同的小球中,n個(gè)白球一個(gè)紅球,任取m個(gè)不同小球其不同選法,分二類,一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有)根據(jù)組合定義與加法原理得;在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí),對(duì)于某一元素,只存在取與不取兩種可能,如果取這一元素,則需從剩下的n個(gè)元素中再取m-1個(gè)元素,所以有C,如果不取這一元素,則需從剩余n個(gè)元素中取出m個(gè)元素,所以共有C種,依分類原理有. ;.(4)常用的證明組合等式方法. 裂項(xiàng)求和法. 如:(利用)n.n!=(n+1)!-n! 導(dǎo)數(shù)法. 數(shù)學(xué)歸納法. 倒序求和法. 一般地:已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1,公差為d,a1Ca2Ca3Can1C=(2a1nd)2n-1 遞推法(即用遞推)如:. 構(gòu)造二項(xiàng)式. 如: 證明:這里構(gòu)造二項(xiàng)式其中的系數(shù),左邊為,而右邊.更一般地:ACBD3.解排列組合問題的依據(jù)是:分類相加(每類方法都能獨(dú)立地完成這件事,它是相互獨(dú)立的,一次的且每次得出的是最后的結(jié)果,只需一種方法就能完成這件事),分步相乘(一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立地完成這件事,只有各個(gè)步驟都完成了,才能完成這件事,各步是關(guān)聯(lián)的),有序排列,無序組合如(1)將5封信投入3個(gè)郵筒,不同的投法共有 種(答:);(2)從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái),其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái),則不同的取法共有 種(答:70);(3)從集合和中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則在直角坐標(biāo)系中能確定不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_(答:23);(4)72的正約數(shù)(包括1和72)共有 個(gè)(答:12);(5)的一邊AB上有4個(gè)點(diǎn),另一邊AC上有5個(gè)點(diǎn),連同的頂點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn),以這些點(diǎn)為頂點(diǎn),可以構(gòu)成_個(gè)三角形(答:90); (6)用六種不同顏色把右圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開,允許同一顏色涂不同區(qū)域,但相鄰區(qū)域不能是同一種顏色,則共有 種不同涂法(答:480);(7)同室4人各寫1張賀年卡,然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡,則4張賀年卡不同的分配方式有 種(答:9);(8)是集合到集合的映射,且,則不同的映射共有 個(gè)(答:7);(9)滿足的集合A、B、C共有 組(答:)3.解排列組合問題的方法有:一般先選再排,即先組合再排列,先分再排。弄清要完成什么樣的事件是前提,解決這類問題通常有三種途徑 (1)以元素為主,應(yīng)先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素 (2)以位置為主考慮,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置即采用“先特殊后一般”的解題原則.(3)先不考慮附加條件,計(jì)算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù) 前兩種方式叫直接解法,后一種方式叫間接(剔除)解法 注:數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果。如(1)某單位準(zhǔn)備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻,現(xiàn)有編號(hào)為1到6的6種不同花色的石材可選擇,其中1號(hào)石材有微量的放射性,不可用于辦公室內(nèi),則不同的裝飾效果有_種(答:300);(2)某銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼是一個(gè)4位數(shù)碼,某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位個(gè)位上的數(shù)字(如2816)的方法設(shè)計(jì)密碼,當(dāng)積為一位數(shù)時(shí),十位上數(shù)字選0. 千位、百位上都能取0. 這樣設(shè)計(jì)出來的密碼共有_種(答:100);(3)用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字,可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)_個(gè)(答:156);(4)某班上午要上語、數(shù)、外和體育4門課,如體育不排在第一、四節(jié);語文不排在第一、二節(jié),則不同排課方案種數(shù)為_(答:6);(5)四個(gè)不同的小球全部放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒中。恰有兩個(gè)空盒的放法有_種;甲球只能放入第2或3號(hào)盒,而乙球不能放入第4號(hào)盒的不同放法有_種(答:84;96);(6)設(shè)有編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)茶杯和編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)杯蓋,將五個(gè)杯蓋蓋在五個(gè)茶杯上,至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有_種(答:31)(7)在平面直角坐標(biāo)系中,由六個(gè)點(diǎn)(0,0),(1,2),(2,4),(6,3),(1,2),(2,1)可以確定三角形的個(gè)數(shù)為_(答:15)。4.常見的題目類型(1)相鄰問題捆綁法(把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素,然后再與其余“普通元素”全排列,最后再“松綁”,將特殊元素在這些位置上全排列)。如(1)把4名男生和4名女生排成一排,女生要排在一起,不同的排法種數(shù)為_(答:2880);(2)某人射擊槍,命中槍,槍命中中恰好有槍連在一起的情況的不同種數(shù)為_(答:20);(3)把一同排6張座位編號(hào)為1,2,3,4,5,6的電影票全部分給4個(gè)人,每人至少分1張,至多分2張,且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào),那么不同的分法種數(shù)是_(答:144)(2)不相鄰(相間)問題插空法(某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法,即先安排好沒有限制元條件的元素,然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間)。如(1)3人坐在一排八個(gè)座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數(shù)有_種(答:24);(2)某班新年聯(lián)歡晚會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目。如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同的插法種數(shù)為_(答:42)。(3)多排問題單排法。如若2n個(gè)學(xué)生排成一排的排法數(shù)為x,這2 n個(gè)學(xué)生排成前后兩排,每排各n個(gè)學(xué)生的排法數(shù)為y,則x,y的大小關(guān)系為_(答:相等);(4)多元問題分類法。如(1)某化工廠實(shí)驗(yàn)生產(chǎn)中需依次投入2種化工原料,現(xiàn)有5種原料可用,但甲、乙兩種原料不能同時(shí)使用,且依次投料時(shí),若使用甲原料,則甲必須先投放. 那么不同的實(shí)驗(yàn)方案共有_種(答:15);(2)某公司新招聘進(jìn)8名員工,平均分給下屬的甲、乙兩個(gè)部門.其中兩名英語翻譯人員不能同給一個(gè)部門;另三名電腦編程人員也不能同給一個(gè)部門,則不同的分配方案有_種(答:36);(3)9名翻譯中,6個(gè)懂英語,4個(gè)懂日語,從中選撥5人參加外事活動(dòng),要求其中3人擔(dān)任英語翻譯,選撥的方法有_種(答:90);(5)有序問題組合法。如(1)書架上有3本不同的書,如果保持這些書的相對(duì)順序不便,再放上2本不同的書,有 種不同的放法(答:20);(2)百米決賽有6名運(yùn)動(dòng)A、B、C、D、E、F參賽,每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的速度都不同,則運(yùn)動(dòng)員A比運(yùn)動(dòng)員F先到終點(diǎn)的比賽結(jié)果共有_種(答:360);(3)學(xué)號(hào)為1,2,3,4的四名學(xué)生的考試成績且滿足,則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況有_種(答:15);(4)設(shè)集合,對(duì)任意,有,則映射的個(gè)數(shù)是_(答:);(5)如果一個(gè)三位正整數(shù)形如“”滿足,則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120、363、374等),那么所有凸數(shù)個(gè)數(shù)為_(答:240);(6)離心率等于(其中且)的不同形狀的的雙曲線的個(gè)數(shù)為_(答:26)。(6)選取問題先選后排法。如某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品,每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分,今每次取出一只測(cè)試,直到4只次品全測(cè)出為止,則最后一只次品恰好在第五次測(cè)試時(shí),被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是_(答:576)。(7)至多至少問題間接法。如從7名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選出5人,至少有2名女同學(xué)當(dāng)選的選法有_種(答:596)提醒:亦可分類來求.(8)相同元素分組可采用隔板法。如(1)10個(gè)相同的球各分給3個(gè)人,每人至少一個(gè),有多少種分發(fā)?每人至少兩個(gè)呢?(答:36;15);(2)某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì),每個(gè)車隊(duì)的車都多于4輛且型號(hào)相同,要從這7個(gè)車隊(duì)中抽出10輛車組成一運(yùn)輸車隊(duì),每個(gè)車隊(duì)至少抽1輛車,則不同的抽法有多少種?(答:84)*小球入筐型* 5個(gè)小球放入三個(gè)不同的筐子有多少放法每筐至少一個(gè),有多少放法?小球相同小球不同注意:小球相同還是不同,是至少一個(gè)還是隨便,多元一次方程的不定正整數(shù)(還是非負(fù)整數(shù))解的個(gè)數(shù)(隔板法).如的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個(gè)完全相同的球排成一列,在它們之間形成11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入3塊摸板,把球分成4個(gè)組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為顯然,故()是方程的一組解.反之,方程的任何一組解,對(duì)應(yīng)著惟一的一種在12個(gè)球之間插入隔板的方式 (如圖所示)故方程的解和插板的方法一一對(duì)應(yīng). 即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù).注意:若為非負(fù)數(shù)解的x個(gè)數(shù),即用中等于,有,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 .注:不定方程的解的個(gè)數(shù)方程()的正整數(shù)解有個(gè). 方程()的非負(fù)整數(shù)解有 個(gè). 方程()滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).方程()滿足條件(,)的正整數(shù)解有(9)分組問題:要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組,平均分成n組問題別忘除以n!。如4名醫(yī)生和6名護(hù)士組成一個(gè)醫(yī)療小組,若把他們分配到4所學(xué)校去為學(xué)生體檢,每所學(xué)校需要一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士的不同選派方法有_種(答:37440);(10)“錯(cuò)位問題”及其推廣貝努利裝錯(cuò)箋問題:信封信與個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為.推廣: 個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少有個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為提醒: 在求解排列與組合應(yīng)用問題時(shí),應(yīng)(1)把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題;(2)通過分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理;(3)分析題目條件,避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏;(4)列出式子計(jì)算和作答 5.二項(xiàng)式定理:,其中組合數(shù)叫做第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù);展開式共有n+1項(xiàng),其中第r+l項(xiàng)稱為二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的主要用途是求指定的項(xiàng)(特定項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng))等有關(guān)問題。二項(xiàng)式定理有兩個(gè)特殊形式:在解題時(shí)經(jīng)常用到,且很方便,需熟記。特別提醒:項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)、奇數(shù)項(xiàng)與奇次項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)與偶次項(xiàng)的區(qū)別分別是不同的兩個(gè)概念,但當(dāng)二項(xiàng)式的兩個(gè)項(xiàng)的系數(shù)都為1時(shí),系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)。如在的展開式中,第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為,第項(xiàng)的系數(shù)為;而的展開式中的系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù);當(dāng)n的數(shù)值不大時(shí)往往借助楊輝三角直接寫出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù);審題時(shí)要注意區(qū)分所求的是項(xiàng)還是第幾項(xiàng)?求的是系數(shù)還是二項(xiàng)式系數(shù)?注意展開式的逆用,注意展開式中的項(xiàng)是否去首、少尾;必須關(guān)注n是正整數(shù),r是非負(fù)整數(shù)(r=0的情形容易忽視),且rn。如(1)的展開式中常數(shù)項(xiàng)是_(答:14);(2)的展開式中的的系數(shù)為_ (答:330);(3)數(shù)的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個(gè)數(shù)是_(答:3);(4)展開后所得的的多項(xiàng)式中,系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有_項(xiàng)(答:7);(5)若的值能被5整除,則的可取值的個(gè)數(shù)有_個(gè)(答:5);(6)若二項(xiàng)式按降冪展開后,其第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng),則 的取值范圍是 (答:); (7)函數(shù)的最大值是_(答:1024).(8) 已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q求和:a1Ca2Ca3Can1C解:a1Ca2Ca3Can1Ca1Ca1qCa1q2Ca1qnCa1(CqCq2CqnC)a1(1q)n6、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì):(1)對(duì)稱性:與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即;(2)增減性與最大值:當(dāng)時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)C的值逐漸增大,當(dāng)時(shí),C的值逐漸減小,且在中間取得最大值。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)(第1項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)(第和1項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等并同時(shí)取最大值。如(1)在二項(xiàng)式的展開式中,系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為_(答:426);(2)在的展開式中,第十項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),則_(答:17,18或19)。(3)二項(xiàng)式系數(shù)的和:;。如(1)如果,則 (答:128);(2)化簡(答:)7、賦值法:應(yīng)用“賦值法”可求得二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為、“奇數(shù) (偶次)項(xiàng)”系數(shù)和為,以及“偶數(shù) (奇次)項(xiàng)”系數(shù)和為。(4)F(x)=(ax+b)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為f(1);奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為;偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為;.證明組合恒等式或二項(xiàng)展開式系數(shù)求和時(shí)通常用構(gòu)造法和賦值法:構(gòu)造一個(gè)相應(yīng)的二項(xiàng)展開式,再對(duì)該二項(xiàng)展開式進(jìn)行賦值,或者構(gòu)造同一問題的不同解法,通過變更問題解決。如(1)已知,則等于_(答:);(2),則_(答:xx);(3)設(shè),則_(答:)。8、系數(shù)最大項(xiàng)的求法:系數(shù)若就是二項(xiàng)式系數(shù),利用二項(xiàng)式系數(shù)的最大值性質(zhì)來求,否則設(shè) 的系數(shù)為 ,那么 為最大的必要而不充分的條件是:且(若比商的話,注意的正負(fù))如(1)求的展開式中,系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)。(答:系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為,系數(shù)最大的項(xiàng)為)(2)二項(xiàng)式的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)是( ) A.第2n+1項(xiàng) B. 第2n+2項(xiàng) C. 第2n項(xiàng) D第2n+1項(xiàng)或2n+2項(xiàng)注:若通過系數(shù)絕對(duì)值來求時(shí),注意系數(shù)的正負(fù)9、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用:二項(xiàng)式定理的主要應(yīng)用有近似計(jì)算、證明整除性問題或求余數(shù)、應(yīng)用其首尾幾項(xiàng)進(jìn)行放縮證明不等式。如(1)(0.998)5精確到0.001近似值為_(答:0.990);(2)被4除所得的余數(shù)為_(答:0);(3)今天是星期一,10045天后是星期_(答:二);(4)求證:能被64整除;(5)求證: