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2019-2020年高一數(shù)學(xué)上 第一章：1.7.2反證法1960年9月周總理接見英國記者，當(dāng)記者提到“一個(gè)國家向外擴(kuò)張，是由于人口過多”時(shí)，周總理指出：“我們不同意這種看法。英國人口在第一次大戰(zhàn)前是4500萬，不算太多，但英國在一個(gè)很長的時(shí)期內(nèi)曾是日不落的殖民帝國。美國面積略小于中國，而美國人口只有中國的1/3，但美國的軍事基地遍于全球，美國駐外軍人達(dá)150萬。中國人口雖多，卻沒有一兵一卒駐在外國領(lǐng)土上，更沒在外國建立軍事基地?？梢娨粋€(gè)國家是否向外擴(kuò)張，并不取決于它的人口多少，而取決于它的社會(huì)制度?！敝芸偫碛玫木褪欠醋C駁斥法，你說人口多要擴(kuò)張，我說人口少照樣擴(kuò)張，可見不在人口多少，而在制度不同。反證法推證問題模式框圖反證法的理論根據(jù)是：原命題為真，則它的逆否命題也為真.在直接證明原命題有困難時(shí)，就可轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題成立.用反證法證明命題的一般步驟是第一步：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；第二步：從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；第三步：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.例1用反證法證明若，則證明：假設(shè)不大于，則或者，或者，因?yàn)?，所以這些都與已知條件矛盾所以例2 若為實(shí)數(shù)，且 求證：中至少有一個(gè)大于0.證明：假設(shè)都小于0，則與假設(shè)矛盾。由以上兩個(gè)例題可以看出：反證法證明命題，作出假設(shè)后，可把假設(shè)當(dāng)成已知條件之一，和原來的條件合并在一起，作為推理的基礎(chǔ)進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾，推理時(shí)，導(dǎo)致的矛盾可以是多種多樣的，可以是與已知條件矛盾，可以是與公理定理矛盾，可以是自相矛盾，也可以是與假設(shè)矛盾。例3 求證：在一個(gè)三角形內(nèi)不可能有兩個(gè)角是直角已知：在ABC中求證：不可能有A=90，B=90證明：假設(shè)有可能A=90，B=90則A+B+C=90+90+C180這與A+B+C=180矛盾假設(shè)錯(cuò)誤，故三角形內(nèi)不可能有兩個(gè)角是直角.評(píng)析 這是采用否定敘述的命題，直接證明困難，不等式對(duì)于我們來說就不如等式問題容易理解和運(yùn)用，因此，用反證法把不等式問題轉(zhuǎn)化為等式問題，從而問題得證.例4證明：是無理數(shù)。證明：假設(shè)不是無理數(shù)，為有理數(shù)，故可設(shè)：綜上，不是有理數(shù)，故是無理數(shù)。練習(xí)：已知是一組勾股數(shù),求證: 不可能都是奇數(shù).課時(shí)小結(jié)本節(jié)重點(diǎn)研究了反證法證題的一般步驟及反證法證明命題的應(yīng)用。對(duì)于反證法的熟練掌握還需在今后隨著學(xué)習(xí)的深入，逐步加強(qiáng)和提高。什么樣的命題宜用反證法進(jìn)行證明，這還需要不斷的探索和總結(jié)，總的來說不易用直接證法去證明的命題可嘗試反證法對(duì)于結(jié)論是否定形式的命題，宜用反證法對(duì)于證明結(jié)論是“惟一”或“必然”的命題，宜用反證法對(duì)于證明結(jié)論是“至少”，或“至多”的命題，宜用反證法有些命題的證明，可利用的公理、定理較少或者難以與已知條件相溝通，宜用反證法