2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)提升 蘇教版選修2-1.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)提升 蘇教版選修2-11空間向量(1)空間向量的知識(shí)脈絡(luò):向量的概念向量的運(yùn)算基本定理直角坐標(biāo)系向量的坐標(biāo)運(yùn)算應(yīng)用(2)空間向量的概念:定義:具有大小和方向的量稱為向量;向量相等:長(zhǎng)度相等且方向相同(3)空間向量的運(yùn)算:加法法則:平行四邊形法則,三角形法則;減法法則:三角形法則;向量的數(shù)量積:ab|a|b|cos(為a與b的夾角)(4)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算:若a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),則加減法:ab(x1x2,y1y2,z1z2);實(shí)數(shù)與向量積:a(x1,y1,z1);數(shù)量積:abx1x2y1y2z1z2;a的模:|a|.(5)空間向量的夾角及其表示:已知兩非零向量a、b,在空間任取一點(diǎn)O,作a,b,則AOB叫做向量a與b的夾角,記作a,b;且規(guī)定0a,b,顯然有a,bb,a;若a,b,則稱a與b互相垂直,記作ab.令a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),則cosa,b.(6)空間向量平行、垂直的條件:兩向量垂直:abab0;兩向量平行:abba(a為非零向量)(7)空間向量基本定理:如果三個(gè)向量a、b、c不共面,那么對(duì)空間任一向量p,存在惟一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z,使pxaybzc.(8)空間共面向量定理:如果兩個(gè)向量a、b不共線,則向量c與向量a、b共面的充要條件是存在惟一的一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使cxayb.2平面的法向量若向量a所在直線垂直于平面,則稱這個(gè)向量垂直于平面,記作a,如果a,那么向量a叫做平面的法向量3用空間向量處理立體幾何問(wèn)題的常用方法(1)證明空間的平行證明直線與平面平行,可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;證明平面與平面平行,可轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)平面的法向量平行證明直線和平面平行,也可以使用下面的定理:如圖,已知直線a平面,A,Ba,C,D,且C、D、E三點(diǎn)不共線,則a的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使.使用此定理時(shí),我們常設(shè),求,;若,存在即可證明a;若,不存在,則直線a與平面相交圖圖圖(2)證明空間的垂直證明直線與平面垂直,可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量共線;證明平面與平面垂直,可轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)平面的法向量互相垂直(3)求空間的角立體幾何中的角的計(jì)算,均可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的夾角的計(jì)算:異面直線所成角即為異面直線上兩向量的夾角,但要注意向量的夾角范圍是0,而異面直線所成角的范圍是(0,平面的斜線的方向向量與平面法向量的夾角余弦的絕對(duì)值等于該斜線與平面所成角的正弦,由此可求斜線與平面所成的角如圖,設(shè)n1,n2分別是二面角l中平面,的法向量,則n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角(4)求空間的距離兩平行平面間的距離、直線與平面的距離都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離;利用法向量可求點(diǎn)到平面的距離:如圖,設(shè)n是平面的法向量,AB是平面的一條射線,其中A,則點(diǎn)B到平面的距離為.題型一空間向量及其運(yùn)算空間向量的運(yùn)算主要包括空間向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算以及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律與平面向量基本一致主要考查空間向量的共線與共面以及數(shù)量積運(yùn)算,這是用向量法求解立體幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)例1沿著正四面體OABC的三條棱、的方向有大小等于1、2和3的三個(gè)力f1,f2,f3.試求此三個(gè)力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦值解如圖所示,用a,b,c分別代表棱、上的三個(gè)單位向量,則f1a,f22b,f33c,則ff1f2f3a2b3c,|f|2(a2b3c)(a2b3c)|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc144cos606cos6012cos601423625,|f|5,即所求合力的大小為5.且cosf,a,同理可得:cosf,b,cosf,c.跟蹤演練1如圖,在四棱錐SABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論:0;0;0;0,其中正確結(jié)論的序號(hào)是_答案解析容易推出:0,所以正確;又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,SASBSCSD2,所以22cosASB,22cosCSD,而ASBCSD,于是,因此正確,其余三個(gè)都不正確,故正確結(jié)論的序號(hào)是.題型二利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系向量作為工具來(lái)研究幾何,真正把幾何的形與代數(shù)中的數(shù)實(shí)現(xiàn)了有機(jī)結(jié)合;給立體幾何的研究帶來(lái)了極大的便利,利用空間向量可以方便地論證空間中的一些線面位置關(guān)系,如線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直等例2正方體ABCDA1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn),求證:平面AED平面A1FD1.證明如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則E(1,1,)、D1(0,0,1)、F(0,0)、A(1,0,0)(1,0,0),(1,1,),(0,1)設(shè)m(x1,y1,z1),n(x2,y2,z2)分別是平面AED和A1FD1的一個(gè)法向量,由令y11,得m(0,1,2)又由令z21,得n(0,2,1)mn(0,1,2)(0,2,1)0,mn,故平面AED平面A1FD1.跟蹤演練2如圖,已知在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBC,D為AB的中點(diǎn),ACBCBB1.求證:(1)BC1AB1;(2)BC1平面CA1D.證明如圖,以C1為原點(diǎn),分別以C1A1,C1B1,C1C所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ACBCBB12,則A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2)(1)由于(0,2,2),(2,2,2),因此0440,因此,故BC1AB1.(2)取A1C的中點(diǎn)E,連結(jié)DE,由于E(1,0,1),所以(0,1,1),又(0,2,2),所以,又ED和BC1不共線,所以EDBC1,又DE平面CA1D,BC1平面CA1D,故BC1平面CA1D.題型三利用空間向量求空間角1求異面直線所成的角設(shè)兩異面直線的方向向量分別為n1、n2,那么這兩條異面直線所成的角為n1,n2或n1,n2,cos|cosn1,n2|.2求斜線與平面所成的角如圖,設(shè)平面的法向量為n1,斜線OA的方向向量為n2,斜線OA與平面所成的角為,則sin|cosn1,n2|.3求二面角的大小如圖,設(shè)平面、的法向量分別為n1、n2.因?yàn)閮善矫娴姆ㄏ蛄克傻慕?或其補(bǔ)角)就等于平面、所成的銳二面角,所以cos|cosn1,n2|.例3如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB4,ACBC3,D為AB的中點(diǎn)(1)求點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離;(2)若AB1A1C,求二面角A1CDC1的平面角的余弦值解(1)由ACBC,D為AB的中點(diǎn),得CDAB,又CDAA1,AA1ABA,故CD面A1ABB1,所以點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離為CD.(2)如圖,過(guò)D作DD1AA1交A1B1于D1,在直三棱柱中,易知DB,DC,DD1兩兩垂直,以D為原點(diǎn),射線DB,DC,DD1分別為x軸,y軸,z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)直三棱柱的高為h,則A(2,0,0),A1(2,0,h),B1(2,0,h),C(0,0),C1(0,h),從而(4,0,h),(2,h),由,有8h20,h2.故(2,0,2),(0,0,2),(0,0)設(shè)平面A1CD的法向量為m(x1,y1,z1),則m,m,即取z11,得m(,0,1)設(shè)平面C1CD的法向量為n(x2,y2,z2),則n,n,即取x21,得n(1,0,0),所以cosm,n.所以二面角A1CDC1的平面角的余弦值為.跟蹤演練3如圖,正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直,M是CE與AD的交點(diǎn),ACBC,且ACBC.(1)求證:AM平面EBC;(2)求直線AB與平面EBC所成角的大??;(3)求二面角AEBC的大小(1)證明四邊形ACDE是正方形,EAAC,平面ACDE平面ABC,EA平面ABC.可以以點(diǎn)A為原點(diǎn),以過(guò)A點(diǎn)平行于BC的直線為x軸,分別以AC和AE所在直線為y軸和z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)EAACBC2,則A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2)M是正方形ACDE的對(duì)角線的交點(diǎn),M(0,1,1)(0,1,1),(0,2,0)(0,0,2)(0,2,2),(2,2,0)(0,2,0)(2,0,0),0,0.AMEC,AMCB.又ECCBC,AM平面EBC.(2)解AM平面EBC,為平面EBC的一個(gè)法向量(0,1,1),(2,2,0),cos,.,60.直線AB與平面EBC所成的角為30.(3)解設(shè)平面EAB的法向量為n(x,y,z),則n且n,n0且n0.即取y1,x1.n(1,1,0)又為平面EBC的一個(gè)法向量,且(0,1,1),cosn,.設(shè)二面角AEBC的平面角為,由圖可知為銳角,則cos|cosn,|,60.二面角AEBC等于60.空間向量的引入為空間幾何問(wèn)題的解決提供了新的思路,作為解決空間幾何問(wèn)題的重要工具,對(duì)空間向量的考查往往滲透于立體幾何問(wèn)題解決的過(guò)程之中,成為高考必考的熱點(diǎn)之一1高考對(duì)本章的考查重點(diǎn)是空間線面之間的位置關(guān)系的證明與探究;空間中的線線角、線面角以及二面角的求解;空間中簡(jiǎn)單的點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)面距的求解給出位置關(guān)系、角度或距離探求點(diǎn)的存在性問(wèn)題在近幾年考查中已有體現(xiàn)題目主要以解答題的形式給出,兼顧傳統(tǒng)的立體幾何的求解方法,主要考查空間向量在解決立體幾何中的應(yīng)用,滲透空間向量的基本概念和運(yùn)算2空間向量的引入為解決空間幾何問(wèn)題提供了一種新的思路,它使空間幾何體也具備了“數(shù)字化”的特征,從而把空間線面關(guān)系的邏輯推理證明與空間角、距離的求解變成了純粹的數(shù)字運(yùn)算問(wèn)題,降低了思維的難度,成為高考必考的熱點(diǎn)考查的重點(diǎn)是結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征考查空間角與距離的求解,其中二面角是歷年高考命題的熱點(diǎn),多為解答題3對(duì)利用向量處理平行和垂直問(wèn)題的考查,主要解決立體幾何中有關(guān)垂直和平行判斷的一些命題對(duì)于垂直,主要利用abab0進(jìn)行證明對(duì)于平行,一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明二是對(duì)利用向量處理角度問(wèn)題的考查,利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角),其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量的夾角,而求兩個(gè)向量的夾角則可以利用公式cos進(jìn)行計(jì)算