2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《直線和圓圓錐曲線》.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料直線和圓，圓錐曲線一直線與圓1,兩點(diǎn)間的距離公式:設(shè),則;2,線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式:設(shè),點(diǎn)分的比為,則 ,3,直線方程的各種形式(1),點(diǎn)斜式:; (2),斜截式:; (3),兩點(diǎn)式:(4),截距式: ;(5),一般式:不同為零);(6)參數(shù)方程:為參數(shù),為傾斜角,表示點(diǎn)與之間的距離)4,兩直線的位置關(guān)系設(shè)(或).則(1),且(或且);(2),(或).5,兩直線的到角公式與夾角公式:(1),到角公式:到的到角為,則,();(2),夾角公式:與的夾角為,則,().6,點(diǎn)到直線的距離:.7,圓的方程(1),標(biāo)準(zhǔn)方程:,其中為圓心坐標(biāo),R為圓半徑;(2),一般方程:,其中,圓心為,半徑為.(3),參數(shù)方程: ,其中圓心為,半徑為R.二圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線定義與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等標(biāo)準(zhǔn)方程(或),(或)(或)參數(shù)方程(或)(或)(或)焦點(diǎn)或或或正數(shù)a,b,c,p的關(guān)系()()離心率準(zhǔn)線(或)(或)(或)漸近線(或)焦半徑(或)(,),(點(diǎn)在左或下支)(或)統(tǒng)一定義到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比等于定值的點(diǎn)的集合,(注:焦點(diǎn)要與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線配對(duì)使用)三解題思想與方法導(dǎo)引.1,函數(shù)與方程思想 2,數(shù)形結(jié)合思想. 3,分類討論思想. 4,參數(shù)法. 5,整體處理例題講解1在平面直角坐標(biāo)系中,方程為相異正數(shù)),所表示的曲線是（ ）2平面上整點(diǎn)(坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn))到直線的距離中的最小值是（ ）A, B, C, D,3過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線,若此直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),弦AB的中垂線與軸交于P點(diǎn),則線段PF的長(zhǎng)等于（ ） A, B, C, D,4若橢圓上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離等于它到右焦點(diǎn)距離的2倍,則P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） A, B, C, D,5過(guò)橢圓中心的弦AB,是右焦點(diǎn),則的最大面積為（ ） A, B, C, D,6已知P為雙曲線上的任意一點(diǎn),為焦點(diǎn),若,則（ ）A, B, C, D,7給定點(diǎn),已知直線與線段PQ(包括P,Q在內(nèi))有公共點(diǎn),則的取值范圍是 .8過(guò)定點(diǎn)作直線交軸于Q點(diǎn),過(guò)Q點(diǎn)作交軸于T點(diǎn), 延長(zhǎng)TQ至P點(diǎn),使,則P點(diǎn)的軌跡方程是 .9已知橢圓與直線交于M,N兩點(diǎn),且,(為原點(diǎn)),當(dāng)橢圓的離心率時(shí),橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍是 .10已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),M是橢圓上一點(diǎn),M到軸的距離為 ,且是和的等比中項(xiàng),則的值等于 .11已知點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn),點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的右分支上,是等邊三角形,則的面積等于 .12若橢圓()和雙曲線有相同的焦點(diǎn) ,P為兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn),則的值為 .13設(shè)橢圓有一個(gè)內(nèi)接,射線OP與軸正向成角,直線AP,BP的斜率適合條件.(1),求證:過(guò)A,B的直線的斜率是定值;(2),求面積的最大值.14已知為常數(shù)且),動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在射線OA,OB上使得 的面積恒為36.設(shè)的重心為G,點(diǎn)M在射線OG上,且滿足.(1),求的最小值;(2),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.15過(guò)拋物線(為不等于2的素?cái)?shù))的焦點(diǎn)F,作與軸不垂直的直線交拋物線于M,N兩點(diǎn),線段MN的垂直平分線交MN于P點(diǎn),交軸于Q點(diǎn).(1),求PQ中點(diǎn)R的軌跡L的方程;(2),證明:L上有無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn),但L上任意整點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均不是整數(shù).課后練習(xí)1已知點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的右支上，是等邊三角形，則的面積是（A） （B） （C） （D）2平面上整點(diǎn)（縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）到直線的距離中的最小值是（A） （B） （C） （D）3若實(shí)數(shù)x, y滿足(x + 5)2+(y 12)2=142，則x2+y2的最小值為 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 4直線橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，該圓上點(diǎn)P，使得PAB面積等于3，這樣的點(diǎn)P共有(A) 1個(gè) (B) 2個(gè) (C) 3個(gè) (D) 4個(gè)5設(shè)a，bR，ab0，那么直線axyb0和曲線bx2ay2ab的圖形是 yyyyxxxx A B C D 6過(guò)拋物線y28(x2)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60o的直線，若此直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中垂線與x軸交于P點(diǎn)，則線段PF的長(zhǎng)等于A B CD7方程表示的曲線是A. 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B. 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C. 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D. 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線8在橢圓中，記左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，短軸上方的端點(diǎn)為B。若該橢圓的離心率是，則= 。9設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1| : |PF2|2 : 1，則三角形PF1F2的面積等于_10在平面直角坐標(biāo)系XOY中，給定兩點(diǎn)M（1，2）和N（1，4），點(diǎn)P在X軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_(kāi)。11若正方形ABCD的一條邊在直線上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上.則該正方形面積的最小值為 .12已知：和：。試問(wèn)：當(dāng)且僅當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí)，對(duì)任意一點(diǎn)P，均存在以P為頂點(diǎn)、與外切、與內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論。13 設(shè)曲線C1:(a為正常數(shù))與C2:y2=2(x+m)在x軸上方公有一個(gè)公共點(diǎn)P。（1）實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；（2）O為原點(diǎn)，若C1與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)0<a<時(shí)，試求OAP的面積的最大值（用a表示）。14已知點(diǎn)和拋物線上兩點(diǎn)使得，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍15一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內(nèi)一定點(diǎn)A，且OAa. 拆疊紙片，使圓周上某一點(diǎn)A/ 剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種拆法，都留下一條直線折痕，當(dāng)A/取遍圓周上所有點(diǎn)時(shí)，求所有折痕所在直線上點(diǎn)的集合16（04，14）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，給定三點(diǎn)，點(diǎn)P到直線BC的距離是該點(diǎn)到直線AB，AC距離的等比中項(xiàng)。（）求點(diǎn)P的軌跡方程；（）若直線L經(jīng)過(guò)的內(nèi)心（設(shè)為D），且與P點(diǎn)的軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，求L的斜率k的取值范圍。17過(guò)拋物線上的一點(diǎn)A（1,1）作拋物線的切線，分別交軸于D，交軸于B.點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)E在線段AC上，滿足;點(diǎn)F在線段BC上，滿足，且，線段CD與EF交于點(diǎn)P.當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程.課后練習(xí)答案1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.90 9.10.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸的長(zhǎng)及焦矩分別為2a、2b、2c，則由其方程知a3，b2，c，故，|PF1|PF2|2a6，又已知PF1|：|PF2|2：1，故可得|PFl|4，|PF2|2在PFlF2中，三邊之長(zhǎng)分別為2，4，2，而2242(2)2，可見(jiàn)PFlF2是直角三角形，且兩直角邊的長(zhǎng)為2和4，故PFlF2的面積411. 解：經(jīng)過(guò)M、N兩點(diǎn)的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3x上，設(shè)圓心為S（a，3a），則圓S的方程為：對(duì)于定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，經(jīng)過(guò)M，N，P三點(diǎn)的圓S必與X軸相切于點(diǎn)P，即圓S的方程中的a值必須滿足解得 a=1或a=7。即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為，而過(guò)點(diǎn)M，N，的圓的半徑大于過(guò)點(diǎn)M，N，P的圓的半徑，所以，故點(diǎn)P（1，0）為所求，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1。12.解：設(shè)正方形的邊AB在直線上，而位于拋物線上的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為、，則CD所在直線的方程將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得令正方形邊長(zhǎng)為則在上任取一點(diǎn)（6，,5），它到直線的距離為.、聯(lián)立解得或13.利用極坐標(biāo)解決：以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為-（1）顯知此平行四邊形ABCD必為菱形，設(shè)A，則B代入（1）式相加：由于該菱形必與單位圓相切，故原點(diǎn)到AB的距離為1，從而，14. 解：(1)由 消去y得： 設(shè)，問(wèn)題(1)化為方程在x(a，a)上有唯一解或等根 只需討論以下三種情況： 10得：，此時(shí)xpa2，當(dāng)且僅當(dāng)aa2a，即0a1時(shí)適合； 2f (a)f (a)0，當(dāng)且僅當(dāng)ama； 3f (a)0得ma，此時(shí)xpa2a2，當(dāng)且僅當(dāng)aa2a2a，即0a1時(shí)適合 f (a)0得ma，此時(shí)xpa2a2，由于a2a2a，從而ma 綜上可知，當(dāng)0a1時(shí)，或ama； 當(dāng)a1時(shí)，ama (2)OAP的面積 0a，故ama時(shí)，0a， 由唯一性得 顯然當(dāng)ma時(shí)，xp取值最小由于xp0，從而yp取值最大，此時(shí)， 當(dāng)時(shí)，xpa2，yp，此時(shí) 下面比較與的大?。?令，得 故當(dāng)0a時(shí)，此時(shí) 當(dāng)時(shí)，此時(shí) 15.解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為顯然，故由于，所以從而，消去，注意到得：由解得：或當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，均滿足是題意故點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是或16.解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則有A(a，0)設(shè)折疊時(shí)，O上點(diǎn)A/()與點(diǎn)A重合，而折痕為直線MN，則 MN為線段AA/的中垂線設(shè)P(x，y)為MN上任一點(diǎn)，則PA/PA5分即10分 可得：1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分平方后可化為1，即所求點(diǎn)的集合為橢圓圓1外(含邊界)的部分20分17. 解：（）直線AB、AC、BC的方程依次為。點(diǎn)到AB、AC、BC的距離依次為。依設(shè)，即，化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡方程為圓S： （）由前知，點(diǎn)P的軌跡包含兩部分圓S： 與雙曲線T：因?yàn)锽（1，0）和C（1，0）是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，所以點(diǎn)B和點(diǎn)C在點(diǎn)P的軌跡上，且點(diǎn)P的軌跡曲線S與T的公共點(diǎn)只有B、C兩點(diǎn)。的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，由，解得，且知它在圓S上。直線L經(jīng)過(guò)D，且與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)，所以，L的斜率存在，設(shè)L的方程為（i）當(dāng)k=0時(shí)，L與圓S相切，有唯一的公共點(diǎn)D；此時(shí)，直線平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個(gè)公共點(diǎn)，所以L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。.10分（ii）當(dāng)時(shí)，L與圓S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。這時(shí)，L與點(diǎn)P的軌跡恰有3個(gè)公共點(diǎn)只能有兩種情況：情況1：直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)B或點(diǎn)C，此時(shí)L的斜率，直線L的方程為。代入方程得，解得。表明直線BD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)B、E；直線CD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)C、F。故當(dāng)時(shí)，L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。情況2：直線L不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和C（即），因?yàn)長(zhǎng)與S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以L與雙曲線T有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。即方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，消去y并化簡(jiǎn)得該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是或解方程得，解方程得。綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。18.解一：過(guò)拋物線上點(diǎn)A的切線斜率為：切線AB的方程為的坐標(biāo)為是線段AB的中點(diǎn). 設(shè)、，則由知，得EF所在直線方程為：化簡(jiǎn)得當(dāng)時(shí)，直線CD的方程為：聯(lián)立、解得，消去，得P點(diǎn)軌跡方程為： 當(dāng)時(shí)，EF方程為：方程為：，聯(lián)立解得也在P點(diǎn)軌跡上.因C與A不能重合，所求軌跡方程為 解二：由解一知，AB的方程為故D是AB的中點(diǎn). 令則因?yàn)镃D為的中線，而是的重心. 設(shè)因點(diǎn)C異于A，則故重心P的坐標(biāo)為消去得故所求軌跡方程為 例題答案：1,D 令,得,令得,由此可見(jiàn),曲線必過(guò)四個(gè)點(diǎn):,從結(jié)構(gòu)特征看,方程表示的曲線是以這四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形,易知它是非正方形的菱形.2,B ,當(dāng)(可取)時(shí), (其中為平面上任意整點(diǎn)).3,A 此拋物線的焦點(diǎn)與原點(diǎn)重合,得直線AB的方程為,因此A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足方程:.由此求得弦AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),進(jìn)而求得其中垂線方程為,令,得P點(diǎn)的橫坐標(biāo),即PF=.4,C 設(shè),又橢圓的右準(zhǔn)線為,而,且,得,又,得,代入橢圓方程得.5,A (1)當(dāng)軸時(shí),;(2)當(dāng)AB與軸不垂直時(shí),設(shè)AB的方程為,由消去得.設(shè),則,.6,A 由,得,.7, 設(shè)線段PQ上任意一點(diǎn)且令,則=,故,由得,解得.8, 設(shè)直線的方程為,則Q點(diǎn)坐標(biāo)為,直線QT的方程為 ,所以T點(diǎn)坐標(biāo)為,從而P點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)P的坐標(biāo)為,則,消去可得P點(diǎn)軌跡方程為.9, 由,可得 由得,即,將,代入得,即,因?yàn)?得,得,有,解得.10, 延長(zhǎng)NM與橢圓的右準(zhǔn)線:相交于D,設(shè),則,因,得,又,得,故.11, 設(shè)點(diǎn)C在軸上方,由是等邊三角形得直線AB的斜率,又直線 過(guò)點(diǎn),故方程為,代入雙曲線方程,得點(diǎn)B的坐標(biāo)為,同理可得C的坐標(biāo)為,所以的面積為.12, 不妨設(shè)P為第一象限的一點(diǎn),則,.得,于是.13,:(1)證明:易知直線OP的方程為,將此方程代入,可求得交點(diǎn)P(1, .由題意可設(shè)直線PA,PB的方程分別為和,分別與橢圓方程聯(lián)立,可求得A,B的橫坐標(biāo)分別為,.從而,所以(定值).(2)不妨設(shè)直線AB的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,并消去得+,有 =點(diǎn)P到戰(zhàn)線AB的距離,所以=,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),.14,解(1),以O(shè)為原點(diǎn),的平分線為軸建立直角坐標(biāo)系,則可設(shè).于是的重心的坐標(biāo)為 , =.又已知得,于是,且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故.(2),設(shè),則由得,=b),得,代入,并整理得,這就是所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.15,解:(1)拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè)的直線方程為.由得,設(shè)M,N的橫坐標(biāo)分別為則,得,而,故PQ的斜率為,PQ的方程為.代入得.設(shè)動(dòng)點(diǎn)R的坐標(biāo),則,因此,故PQ中點(diǎn)R的軌跡L的方程為.(2),顯然對(duì)任意非零整數(shù),點(diǎn)都是L上的整點(diǎn),故L上有無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn).反設(shè)L上有一個(gè)整點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離為整數(shù)m,不妨設(shè),則,因?yàn)槭瞧嫠財(cái)?shù),于是,從可推出,再由可推出,令,則有,由,得,于是,即,于是,得,故,有,但L上的點(diǎn)滿足,矛盾!因此,L上任意點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不為整數(shù).