2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1導(dǎo)數(shù)的概念1.1.1導(dǎo)數(shù)的概念平均變化率教學(xué)案蘇教版選修2.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1導(dǎo)數(shù)的概念1.1.1導(dǎo)數(shù)的概念平均變化率教學(xué)案蘇教版選修2假設(shè)下圖是一座山的剖面示意圖，并在上面建立平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)是出發(fā)點(diǎn)，H是山頂爬山路線用函數(shù)yf(x)表示自變量x表示某旅游者的水平位置，函數(shù)值yf(x)表示此時(shí)旅游者所在的高度設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1，y1)問題1：若旅游者從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則自變量x和函數(shù)值y的改變量x，y分別是多少？提示：xx1x0，yy1y0.問題2：如何用x和y來刻畫山路的陡峭程度？提示：對(duì)于山坡AB，可用來近似刻畫山路的陡峭程度問題3：試想的幾何意義是什么？提示：表示直線AB的斜率問題4：從A到B，從A到C，兩者的相同嗎？的值與山路的陡峭程度有什么關(guān)系？提示：不相同.的值越大，山路越陡峭1一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間x1，x2上的平均變化率為.2平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”在函數(shù)平均變化率的定義中，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)函數(shù)在x1，x2上有意義；(2)在式子中，x2x1>0，而f(x2)f(x1)的值可正、可負(fù)、可為0.(3)在平均變化率中，當(dāng)x1取定值后，x2取不同的數(shù)值時(shí)，函數(shù)的平均變化率不一定相同；同樣的，當(dāng)x2取定值后，x1取不同的數(shù)值時(shí)，函數(shù)的平均變化率也不一定相同求函數(shù)在某區(qū)間的平均變化率例1(1)求函數(shù)f(x)3x22在區(qū)間2,2.1上的平均變化率；(2)求函數(shù)g(x)3x2在區(qū)間2，1上的平均變化率思路點(diǎn)撥求出所給區(qū)間內(nèi)自變量的改變量及函數(shù)值的改變量，從而求出平均變化率精解詳析(1)函數(shù)f(x)3x22在區(qū)間2,2.1上的平均變化率為：12.3.(2)函數(shù)g(x)3x2在區(qū)間2，1上的平均變化率為3.一點(diǎn)通求函數(shù)平均變化率的步驟為：第一步：求自變量的改變量x2x1；第二步：求函數(shù)值的改變量f(x2)f(x1)；第三步：求平均變化率.1函數(shù)g(x)3x在2,4上的平均變化率是_解析：函數(shù)g(x)3x在2,4上的平均變化率為3.答案：32.如圖是函數(shù)yf(x)的圖象，則：(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的平均變化率為_；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的平均變化率為_解析：(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的平均變化率為.(2)由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的平均變化率為.答案：(1)(2)3本例條件不變，分別計(jì)算f(x)與g(x)在區(qū)間1,2上的平均變化率，并比較變化率的大小解：(1)9.(2)3.f(x)比g(x)在1,2上的平均變化率大實(shí)際問題中的平均變化率例2物體的運(yùn)動(dòng)方程為S(位移單位：m；時(shí)間單位：s)，求物體在t1 s到t(1t)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度思路點(diǎn)撥求物體在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度，就是求位移的改變量與時(shí)間的改變量的比值精解詳析物體在1,1t內(nèi)的平均速度為(m/s)即物體在t1 s到t(1t)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為 m/s.一點(diǎn)通平均變化率問題在生活中隨處可見，常見的有求某段時(shí)間內(nèi)的平均速度、加速度、膨脹率、經(jīng)濟(jì)效益等分清自變量和因變量是解決此類問題的關(guān)鍵4圓的半徑r從0.1變化到0.3時(shí)，圓的面積S的平均變化率為_解析：Sr2，圓的半徑r從0.1變化到0.3時(shí)，圓的面積S的平均變化率為0.4.答案：0.45在F1賽車中，賽車位移(單位：m)與比賽時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系S10t5t2，則賽車在20,20.1上的平均速度是多少？解：賽車在20,20.1上的平均速度為210.5(m/s)函數(shù)平均變化率的應(yīng)用例3甲、乙兩人走過的路程s1(t)，s2(t)與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示，試比較兩人的速度哪個(gè)大？思路點(diǎn)撥要比較兩人的速度，其實(shí)就是比較兩人走過的路程對(duì)時(shí)間的平均變化率，通過平均變化率的大小關(guān)系得出結(jié)論精解詳析在t0處s1(t0)s2(t0)，但<，所以在單位時(shí)間內(nèi)乙的速度比甲的速度大，因此，在如圖所示的整個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中乙的速度比甲的速度大一點(diǎn)通平均變化率的絕對(duì)值反映函數(shù)在給定區(qū)間上變化的快慢，平均變化率的絕對(duì)值越大，函數(shù)在區(qū)間上的變化率越快；平均變化率的絕對(duì)值越小，函數(shù)在區(qū)間上的變化率越慢6.汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖所示在時(shí)間段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分別為，則三者的大小關(guān)系是_解析：kOA，kAB，kBC，由圖象知：kOA<kAB<kBC，所以>>.答案：>>7A、B兩機(jī)關(guān)開展節(jié)能活動(dòng)，活動(dòng)開始后，兩機(jī)關(guān)每天的用電情況如圖所示，其中W1(t)、W2(t)分別表示A、B兩機(jī)關(guān)的用電量與時(shí)間第t天的關(guān)系，則下列說法一定正確的是_(填序號(hào))兩機(jī)關(guān)節(jié)能效果一樣好；A機(jī)關(guān)比B機(jī)關(guān)節(jié)能效果好；A機(jī)關(guān)在0，t0上的用電平均變化率比B機(jī)關(guān)在0，t0上的用電平均變化率大；A機(jī)關(guān)與B機(jī)關(guān)自節(jié)能以來用電量總是一樣大解析：由圖可知，在t0時(shí)，W1(0)>W2(0)，當(dāng)tt0時(shí)，W1(t0)W2(t0)，所以<，且>.故只有正確答案：1求函數(shù)在指定區(qū)間上的平均變化率應(yīng)注意的問題(1)平均變化率的公式中，分子是區(qū)間兩端點(diǎn)間的函數(shù)值的差，分母是區(qū)間兩端點(diǎn)間的自變量的差(2)平均變化率公式中，分子、分母中被減數(shù)同時(shí)為右端點(diǎn)，減數(shù)同為左端點(diǎn)2一次函數(shù)的平均變化率一次函數(shù)ykxb(k0)在區(qū)間m，n上的平均變化率為k.由上述計(jì)算可知，一次函數(shù)ykxb，在區(qū)間m，n上的變化率與m，n的值無關(guān)，只與一次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，且其平均變化率等于一次項(xiàng)的系數(shù)3平均變化率的幾何意義(1)平均變化率表示點(diǎn)(x1，f(x1)，(x2，f(x2)連線的斜率，是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”(2)平均變化率的大小類似函數(shù)的單調(diào)性，可說明函數(shù)圖象的陡峭程度對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(一)一、填空題1函數(shù)f(x)x21在區(qū)間1,1.1上的平均變化率為_解析：2.1.答案：2.12函數(shù)f(x)2x4在區(qū)間a，b上的平均變化率為_解析：2.答案：23某人服藥后，人吸收藥物的情況可以用血液中藥物的濃度c(單位：mg/mL)來表示，它是時(shí)間t(單位：min)的函數(shù)，表示為cc(t)，下表給出了c(t)的一些函數(shù)值：t/min0102030405060708090c(t)/(mg/mL)0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服藥后3070 min這段時(shí)間內(nèi)，藥物濃度的平均變化率為_解析：0.002.答案：0.0024.如圖所示物體甲、乙在時(shí)間0到t1范圍內(nèi)路程的變化情況，則在0到t0范圍內(nèi)甲的平均速度_乙的平均速度，在t0到t1范圍內(nèi)甲的平均速度_乙的平均速度(填“等于”、“大于”或“小于”)解析：由圖可知，在0，t0上，甲的平均速度與乙的平均速度相同；在t0，t1上，甲的平均速度大于乙的平均速度答案：等于大于5函數(shù)yx32在區(qū)間1，a上的平均變化率為21，則a_.解析：a2a121.解之得a4或a5.又a>1，a4.答案：4二、解答題6已知函數(shù)f(x)2x21.求函數(shù)f(x)在區(qū)間2,2.01上的平均變化率解：函數(shù)f(x)在區(qū)間2,2.01上的平均變化率為8.02.7求函數(shù)ysin x在0到之間和到之間的平均變化率，并比較它們的大小解：在0到之間的平均變化率為；在到之間的平均變化率為.2<1，>，函數(shù)ysin x在0到之間的平均變化率為，在到之間的平均變化率為，故在0到之間的平均變化率較大8已知?dú)馇虻谋砻娣eS(單位：cm2)與半徑r(單位：cm)之間的函數(shù)關(guān)系是S(r)4r2.求：(1)氣球表面積S由10 cm2膨脹到20 cm2時(shí)的平均膨脹率即氣球膨脹過程中半徑的增量與表面積增量的比值；(2)氣球表面積S由30 cm2膨脹到40 cm2時(shí)的平均膨脹率解：根據(jù)函數(shù)的增量來證明由S(r)4r2，r>0，把r表示成表面積S的函數(shù)：r(S).(1)當(dāng)S由10 cm2膨脹到20 cm2時(shí)，氣球表面積的增量S201010(cm2)，氣球半徑的增量rr(20)r(10)()0.37(cm)所以氣球的平均膨脹率為0.037.(2)當(dāng)S由30 cm2膨脹到40 cm2時(shí)，氣球表面積的增量S()0.239(cm2)所以氣球的平均膨脹率為0.023 9.