2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第十六章 平面幾何.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第十六章 平面幾何一、常用定理（僅給出定理，證明請(qǐng)讀者完成）梅涅勞斯定理 設(shè)分別是ABC的三邊BC，CA，AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，若三點(diǎn)共線(xiàn)，則梅涅勞斯定理的逆定理 條件同上，若則三點(diǎn)共線(xiàn)。塞瓦定理 設(shè)分別是ABC的三邊BC，CA，AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，若三線(xiàn)平行或共點(diǎn)，則塞瓦定理的逆定理 設(shè)分別是ABC的三邊BC，CA，AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，若則三線(xiàn)共點(diǎn)或互相平行。角元形式的塞瓦定理 分別是ABC的三邊BC，CA，AB所在直線(xiàn)上的點(diǎn)，則平行或共點(diǎn)的充要條件是廣義托勒密定理 設(shè)ABCD為任意凸四邊形，則ABCD+BCADACBD，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。斯特瓦特定理 設(shè)P為ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，P不同于B，C，則有AP2=AB2+AC2-BPPC.西姆松定理 過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線(xiàn)，則三垂足共線(xiàn)。西姆松定理的逆定理 若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線(xiàn)上的射影共線(xiàn)，則該點(diǎn)在三角形的外接圓上。九點(diǎn)圓定理 三角形三條高的垂足、三邊的中點(diǎn)以及垂心與頂點(diǎn)的三條連線(xiàn)段的中點(diǎn)，這九點(diǎn)共圓。蒙日定理 三條根軸交于一點(diǎn)或互相平行。（到兩圓的冪（即切線(xiàn)長(zhǎng)）相等的點(diǎn)構(gòu)成集合為一條直線(xiàn)，這條直線(xiàn)稱(chēng)根軸）歐拉定理 ABC的外心O，垂心H，重心G三點(diǎn)共線(xiàn)，且二、方法與例題1同一法。即不直接去證明，而是作出滿(mǎn)足條件的圖形或點(diǎn)，然后證明它與已知圖形或點(diǎn)重合。例1 在ABC中，ABC=700，ACB=300，P，Q為ABC內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)，QBC=QCB=100，PBQ=PCB=200，求證：A，P，Q三點(diǎn)共線(xiàn)。證明 設(shè)直線(xiàn)CP交AQ于P1，直線(xiàn)BP交AQ于P2，因?yàn)锳CP=PCQ=100，所以，在ABP，BPQ，ABC中由正弦定理有，由，得。又因?yàn)镻1，P2同在線(xiàn)段AQ上，所以P1，P2重合，又BP與CP僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以P1，P2即為P，所以A，P，Q共線(xiàn)。2面積法。例2 見(jiàn)圖16-1，ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，BC上的點(diǎn)，且BE=DF，BE交DF于P，求證：AP為BPD的平分線(xiàn)。證明 設(shè)A點(diǎn)到BE，DF距離分別為h1,h2，則又因?yàn)镾ABCD=SADF，又BE=DF。所以h1=h2，所以PA為BPD的平分線(xiàn)。3幾何變換。例3 （蝴蝶定理）見(jiàn)圖16-2，AB是O的一條弦，M為AB中點(diǎn)，CD，EF為過(guò)M的任意弦，CF，DE分別交AB于P，Q。求證：PM=MQ。證明 由題設(shè)OMAB。不妨設(shè)。作D關(guān)于直線(xiàn)OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。連結(jié)，則要證PM=MQ，只需證，又MDQ=PFM，所以只需證F，P，M，共圓。因?yàn)?1800-=1800-=1800-。（因?yàn)镺M。AB/）所以F，P，M，四點(diǎn)共圓。所以MDQ。所以MP=MQ。例4 平面上每一點(diǎn)都以紅、藍(lán)兩色之一染色，證明：存在這樣的兩個(gè)相似三角形，它們的相似比為1995，而且每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)同色。證明 在平面上作兩個(gè)同心圓，半徑分別為1和1995，因?yàn)樾A上每一點(diǎn)都染以紅、藍(lán)兩色之一，所以小圓上必有五個(gè)點(diǎn)同色，設(shè)此五點(diǎn)為A，B，C，D，E，過(guò)這兩點(diǎn)作半徑并將半徑延長(zhǎng)分別交大圓于A1，B1，C1，D1，E1，由抽屜原理知這五點(diǎn)中必有三點(diǎn)同色，不妨設(shè)為A1，B1，C1，則ABC與A1B1C1都是頂點(diǎn)同色的三角形，且相似比為1995。4三角法。例5 設(shè)AD，BE與CF為ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)，D，E，F(xiàn)在ABC的邊上，如果EDF=900，求BAC的所有可能的值。解 見(jiàn)圖16-3，記ADE=，EDC=，由題設(shè)FDA=-，BDF=-，由正弦定理：，得，又由角平分線(xiàn)定理有，又，所以，化簡(jiǎn)得，同理，即所以，所以sincos-cossin=sin(-)=0.又-<-<,所以=。所以，所以A=。5向量法。例6 設(shè)P是ABC所在平面上的一點(diǎn)，G是ABC的重心，求證：PA+PB+PC>3PG.證明 因?yàn)?，又G為ABC重心，所以（事實(shí)上設(shè)AG交BC于E，則，所以）所以，所以又因?yàn)椴蝗簿€(xiàn)，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC>3PG。6解析法。例7 H是ABC的垂心，P是任意一點(diǎn)，HLPA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求證：X，Y，Z三點(diǎn)共線(xiàn)。解 以H為原點(diǎn)，取不與條件中任何直線(xiàn)垂直的兩條直線(xiàn)為x軸和y軸，建立直角坐標(biāo)系，用(xk,yk)表示點(diǎn)k對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，則直線(xiàn)PA的斜率為，直線(xiàn)HL斜率為，直線(xiàn)HL的方程為x(xP-xA)+y(yP-yA)=0.又直線(xiàn)HA的斜率為，所以直線(xiàn)BC的斜率為，直線(xiàn)BC的方程為xxA+yyA=xAxB+yAyB,又點(diǎn)C在直線(xiàn)BC上，所以xCxA+yCyA=xAxB+yAyB.同理可得xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC.又因?yàn)閄是BC與HL的交點(diǎn)，所以點(diǎn)X坐標(biāo)滿(mǎn)足式和式，所以點(diǎn)X坐標(biāo)滿(mǎn)足xxP+yyP=xAxB+yAyB.同理點(diǎn)Y坐標(biāo)滿(mǎn)足xxP+yyP=xBxC+yByC.點(diǎn)Z坐標(biāo)滿(mǎn)足xxP+yyP=xCxA+yCyA.由知，表示同一直線(xiàn)方程，故X，Y，Z三點(diǎn)共線(xiàn)。7四點(diǎn)共圓。例8 見(jiàn)圖16-5，直線(xiàn)l與O相離，P為l上任意一點(diǎn)，PA，PB為圓的兩條切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn)，求證：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)。證明 過(guò)O作OCl于C，連結(jié)OA，OB，BC，OP，設(shè)OP交AB于M，則OPAB，又因?yàn)镺APA，OBPB，OCPC。所以A，B，C都在以O(shè)P為直徑的圓上，即O，A，P，C，B五點(diǎn)共圓。AB與OC是此圓兩條相交弦，設(shè)交點(diǎn)為Q，又因?yàn)镺PAB，OCCP，所以P，M，Q，C四點(diǎn)共圓，所以O(shè)MOP=OQOC。由射影定理OA2=OMOP，所以O(shè)A2=OQOC，所以O(shè)Q=（定值）。所以Q為定點(diǎn)，即直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)。三、習(xí)題精選1O1和O2分別是ABC的邊AB，AC上的旁切圓，O1與CB，CA的延長(zhǎng)線(xiàn)切于E，G，O2與BC，BA的延長(zhǎng)線(xiàn)切于F，H，直線(xiàn)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：PABC。2設(shè)O的外切四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求證：E，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)。3已知兩小圓O1與O2相外切且都與大圓O相內(nèi)切，AB是O1與O2的一條外公切線(xiàn)，A，B在O上，CD是O1與O2的內(nèi)公切線(xiàn)，O1與O2相切于點(diǎn)P，且P，C在直線(xiàn)AB的同一側(cè)，求證：P是ABC的內(nèi)心。4ABC內(nèi)有兩點(diǎn)M，N，使得MAB=NAC且MBA=NBC，求證：5ABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF相交于點(diǎn)H，直線(xiàn)ED和AB相交于點(diǎn)M，直線(xiàn)FD和AC相交于點(diǎn)N，求證：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。6設(shè)點(diǎn)I，H分別是銳角ABC的內(nèi)心和垂心，點(diǎn)B1，C1分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，已知射線(xiàn)B1I交邊AB于點(diǎn)B2(B2B)，射線(xiàn)C1I交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C2，B2C2與BC相交于點(diǎn)K，A1為BHC的外心。試證：A，I，A1三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是BKB2和CKC2的面積相等。7已知點(diǎn)A1，B1，C1，點(diǎn)A2，B2，C2，分別在直線(xiàn)l1,l2上 ，B2C1交B1C2于點(diǎn)M，C1A2交A1C2于點(diǎn)N，B1A2交B2A1于L。求證：M，N，L三點(diǎn)共線(xiàn)。8ABC中，C=900，A=300，BC=1，求ABC的內(nèi)接三角形（三個(gè)頂點(diǎn)分別在三條邊上的三角形）的最長(zhǎng)邊的最小值。9ABC的垂心為H，外心為O，外接圓半徑為R，頂點(diǎn)A，B，C關(guān)于對(duì)邊BC，CA，AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為，求證：三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是OH=2R。