2019-2020年高中數(shù)學(xué) 6.1不等式的性質(zhì)（第二課時） 大綱人教版必修.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 6.1不等式的性質(zhì)（第二課時） 大綱人教版必修課 題6.1.2 不等式的性質(zhì)(二)教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識點1.不等式的性質(zhì)定理1，定理2，定理3及其推論.2.不等式性質(zhì)定理1，定理2，定理3及其推論的證明方法.(二)能力訓(xùn)練要求1.掌握不等式性質(zhì)定理1、2、3及推論的證明，初步理解證明不等式的邏輯推理方法.2.理解定理3是移項法則的依據(jù).3.能運用不等式性質(zhì)定理及推論解決一些簡單的問題.(三)德育滲透目標(biāo)通過對不等式性質(zhì)定理的掌握，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)變的解題能力和思考問題嚴(yán)謹(jǐn)周密的習(xí)慣.教學(xué)重點掌握不等式性質(zhì)定理1、2、3及推論，注意每個定理的條件.理解不等式的性質(zhì)，是不等式變形的理論依據(jù).教學(xué)難點1.理解定理1、定理2的證明，即“abba和ab，bcac”的證明.這兩個定理證明的依據(jù)是實數(shù)大小的比較與實數(shù)運算的符號法則.2.定理3的推論，即“ab，cdacbd”是同向不等式相加法則的依據(jù).但兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能得出一般結(jié)論.教學(xué)方法引導(dǎo)啟發(fā)結(jié)合法即在教師引導(dǎo)下，由學(xué)生利用已學(xué)過的有關(guān)知識，順利完成定理的證明過程及定理的簡單應(yīng)用.教具準(zhǔn)備幻燈片兩張.第一張：記作.1.2 Aa>ba-b>0a=ba-b=0a<ba-b<01.比較兩實數(shù)大小的依據(jù)：2.比較兩實數(shù)大小的方法：作差變形判斷差值的符號得出結(jié)論.3.已知x，y均為正數(shù)，設(shè)M，N=，試比較M和N的大小.第二張：記作.1.2 B不等式的三條基本性質(zhì)(初中)(1) 若ab，則acbc，acbc；（2）若ab，c0，則acbc，；(3)若ab，c0，則acbc，.教學(xué)過程.課題導(dǎo)入(一)打出投影片6.1.2 A，讓學(xué)生解決下面問題：師請同學(xué)們回顧一下，我們比較兩實數(shù)大小的理論依據(jù)是什么?生我們比較兩實數(shù)大小的理論依據(jù)是三個“等價”關(guān)系，即a>ba-b>0a=ba-b=0a<ba-b<0師我們用“作差法”比較兩實數(shù)的大小，其一般步驟是什么?生用“作差法”比較兩實數(shù)的大小，一般分三步.即：第一步：作差并化簡，其化簡目標(biāo)應(yīng)是n個因式之積或完全平方或常數(shù)的形式.第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時進(jìn)行討論.第三步：得出結(jié)論.師已知x，y均為正數(shù)，設(shè)m，n，試比較M和N的大小.分析：在此題中，變形過程較靈活，既要通分，又要進(jìn)行因式分解，使同學(xué)們正確運用完全平方公式.生MN（）x，y均為正數(shù)x0，y0，xy0，xy0，（xy）20MN0即MN.(二)打出投影片6.1.2 B，使學(xué)生熟練口述初中已學(xué)過的不等式的三條基本性質(zhì).師請同學(xué)們回顧初中我們學(xué)過的不等式的基本性質(zhì)是什么?生(口述)不等式的基本性質(zhì)是：基本性質(zhì)1 不等式兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變.基本性質(zhì)2 不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變.基本性質(zhì)3 不等式兩邊都乘(或除以)同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.師我們不僅從文字上理解不等式基本性質(zhì)，更重要的是我們要理解掌握其數(shù)學(xué)含義，即(1)若ab，則acbc，acbc；(2)若ab，c0，則acbc，；(3)若ab，c0，則acbc，.師自然界中的等量關(guān)系是相對的，而不等關(guān)系是絕對的，不等量關(guān)系比等量關(guān)系的存在更具有普遍性，所以不等關(guān)系的研究具有重要的意義，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.我們將在前面學(xué)過的一元一次不等式、一元二次不等式和含絕對值的不等式的解法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的重要性質(zhì).講授新課師課本中定理1定理3的證明，都是以實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系為依據(jù)，并直接運用實數(shù)運算的符號法則(如：正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)，同號相乘得正，異號相乘得負(fù))來確定差的符號.定理1 如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.師此定理分前、后兩部分，讓兩個學(xué)生在理解實數(shù)運算的符號法則基礎(chǔ)上板演證明過程.生甲（證明定理1的前半部分）abab0由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，得（ab）0ba0即ba.生乙(證明定理1的后半部分)baba0由負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，得（ba）0ab0即ab.師生共析定理1說明，把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向；定理1的作用是把用“”（或“”)連結(jié)的不等式等價地轉(zhuǎn)化為用“”(或“”)連結(jié)的不等式，即abba.注釋：同向不等式在兩個不等式中，如果每一個的左邊都大于(或小于)右邊，這兩個不等式就是異同向不等式.例如a22a1，3a252a是同向不等式.異向不等式如果一個不等式的左邊大于(或小于)右邊，而另一個不等式的左邊小于(或大于)右邊，這兩個不等式就是異向不等式.例如a232a，a2a5是異向不等式.定理2 如果ab，且bc，那么ac.師同學(xué)們對定理2是容易理解的，但對它進(jìn)行證明，卻是比較困難的.為克服同學(xué)們出現(xiàn)下面兩種問題：一是同學(xué)們可能認(rèn)為沒有必要進(jìn)行證明；二是同學(xué)們不知道如何證明.我們可以先回答下面問題：“如果ab，則與誰大?”大家可能有如下答案(學(xué)生思考并回答)：學(xué)生甲：“若ab，則”；學(xué)生乙：“若ab，則”，很顯然，學(xué)生甲、乙的答案是錯誤的，他們考慮問題都不全面.引導(dǎo)學(xué)生做出正確答案：“當(dāng)a、b同號，即ab0或0ab時有；當(dāng)a、b異號，即a0b時有”.這就告訴我們，任何一個命題要判斷其真假，我們不能只看其表，必固其根本.因此，我們掌握定理2的證明是非常必要的.生(在教師指導(dǎo)下讓學(xué)生完成證明過程)ab，bcab0，bc0.根據(jù)兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)，得（ab）（bc）0ac0即ac.師生共析運用定理1、可將定理2改寫為：如果ab，bc，那么ac，即ab，bcac；定理2是不等式的傳遞性(ab且bcac），它是“放縮”不等式的依據(jù).定理3 如果ab，那么acbc.師在引導(dǎo)學(xué)生證明定理1，定理2的基礎(chǔ)上，使學(xué)生明確定理3的實質(zhì)是：“在ab的條件下，比較ac與bc的大小.”這樣學(xué)生就可運用實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系順利完成定理3的證明過程.生甲ab ab0（ac）（bc）ab0即acbc生乙ab ab0abcc0(利用互為相反的兩個數(shù)和是零)（ac）（bc）0即acbc.師生共析定理3說明，不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向.利用定理3，可以得出：“如果abc，那么acb”.這是因為：abcab（b）c（b）acb.也就是說：“不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊.”顯然，定理3的逆命題也成立.想一想：如果ab，是否有acbc？生答案是肯定的.這是由于：abab0（ac）（bc）ab0即acbc.定理3推論 如果ab，且cd，那么acbd.師定理3的推論是同向不等式相加，要多次運用定理3然后由定理2證出，靈活變形，選出恰當(dāng)方法.生甲ab，cdab0，cd0（ac）（bd）（ab）（cd）0(兩個正數(shù)的和仍為正數(shù))acbd.生乙abacbc又cdbcbd由不等式的性質(zhì)定理2，得acbd.師生共析對于定理3的推論，很明顯，它可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加.這就是說，兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向.評述：定理3是不等式移項法則的基礎(chǔ)；定理3的推論是同向不等式相加法則的依據(jù)，但兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能作出一般的結(jié)論.例如：“53且42有5432”；“83且42有8432”；“64且3有634（5）”.課本例3已知ab，cd，求證acbd.師不等式的性質(zhì)運用時較為靈活，熟練掌握其性質(zhì)是解決不等式問題的關(guān)鍵.分析：思路一：證明“acbd”，實際是根據(jù)已知條件比較ac與bd的大小，所以以實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系為依據(jù)，直接運用實數(shù)運算的符號法則來確定差的符號，最后達(dá)到證題目的.生ab，cdab0，dc0（ac）（bd）（ab）（dc）0(兩個正數(shù)的和仍為正數(shù))故acbd.思路二：我們已熟悉不等式的性質(zhì)中的定理1定理3及推論，所以運用不等式的性質(zhì)，加以變形，最后達(dá)到證明目的.生cd cd又aba（c）b（d）acbd.課堂練習(xí)1.判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)如果ab，那么acbc；(2)如果ab，那么.分析：從不等式性質(zhì)定理找依據(jù)，與性質(zhì)定理相違的為假，與定理相符的為真.答案：(1)真.因為推理符號定理3.(2)假.由不等式的基本性質(zhì)2，3(初中)可知，當(dāng)c0時，.即不等式兩邊同乘以一個數(shù)，必須明確這個數(shù)的正負(fù).2.回答下列問題：（1)如果ab，cd，能否斷定ac與bd誰大誰小?舉例說明；(2)如果ab，cd，能否斷定a2c與b2d誰大誰小?舉例說明.答案：(1)不能斷定.例如：21，132113；而21，10.2110.異向不等式作加法沒定論.(2)不能斷定.例如ab，c1d1a2ca2，b2b2d，其大小不定.a1b時a2cb23.而a21b時a2c0b23.3.求證：(1)如果ab，cd，那么adbc；(2)如果ab，那么c2ac2b.證明：(1)(2)ab2a2bc2ac2b.4.已和abcd0，且，求證：adbc.證明：（ab）d（cd）b.又abcd0ab0，cd0，bd0且11abcd 即adbc.評述：此題中，不等式性質(zhì)和比例定理聯(lián)合使用，使式子形與形之間的轉(zhuǎn)換更迅速.這道題不僅有不等式性質(zhì)應(yīng)用的信息，更有比例的信息，因此這道題既要重視性質(zhì)的運用技巧，也要重視比例定理的應(yīng)用技巧.課時小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)定理1定理3及其推論，理解不等式性質(zhì)的反對稱性(abba、傳遞性(ab，bcac)、可加性(abacbc)、加法法則（ab，cdacbd），并記住這些性質(zhì)的條件，尤其是字母的符號及不等式的方向，要搞清楚這些性質(zhì)的主要用途及其證明的基本方法.課后作業(yè)(一)課本P習(xí)題6.1 4.（1）、（2）(二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P不等式性質(zhì)定理4及其推論，定理5及其證明方法.2.預(yù)習(xí)提綱：(1)預(yù)習(xí)定理4及其推論，理解不等式性質(zhì)的可積性、乘法法則、乘方法則.(2)預(yù)習(xí)定理5，掌握用反證法證明不等式的開方法則.板書設(shè)計6.1.2 不等式的性質(zhì)(二)一、不等式的性質(zhì) 二、不等式性質(zhì)的證明 課時小結(jié)定理1 例題 定理2 課后作業(yè)定理3 課堂練習(xí) 推論