2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3.1 等比數(shù)列教案 新人教B版必修5.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3.1 等比數(shù)列教案 新人教B版必修5教學(xué)分析等比數(shù)列與等差數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的，包括定義、性質(zhì)、通項公式等，兩個數(shù)的等差(等比)中項、兩種數(shù)列在函數(shù)角度下的解釋等，因此在教學(xué)時要充分利用類比的方法，以便于弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別等比數(shù)列是另一個簡單常見的數(shù)列，研究內(nèi)容可與等差數(shù)列類比，這是本節(jié)的中心思想方法本節(jié)首先歸納出等比數(shù)列的定義，導(dǎo)出通項公式，進(jìn)而研究圖象，又給出等比中項的概念，最后是通項公式的應(yīng)用等比數(shù)列概念的引入，可按教材給出的幾個具體的例子，由學(xué)生概括這些數(shù)列的相同特征，從而得到等比數(shù)列的定義也可將幾個等差數(shù)列和幾個等比數(shù)列混在一起給出，由學(xué)生將這些數(shù)列進(jìn)行分類，由此對比地概括等比數(shù)列的定義根據(jù)定義讓學(xué)生分析等比數(shù)列的公比不為0，以及每一項均不為0的特性，加深對概念的理解啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)觀點認(rèn)識通項公式，由通項公式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)進(jìn)而畫出數(shù)列的圖象由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗，等比數(shù)列的研究完全可以放手讓學(xué)生自己解決，充分利用類比思想，教師只需把握課堂的節(jié)奏，真正作為一節(jié)課的組織者、引導(dǎo)者出現(xiàn)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用大量的數(shù)學(xué)思想方法滲透是本章的特色，如類比思想、歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教學(xué)中要充分體現(xiàn)這些重要的數(shù)學(xué)思想方法，所有能力的體現(xiàn)最終歸結(jié)為數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)三維目標(biāo)1通過實例，理解等比數(shù)列的概念；探索并掌握等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)，能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，提高數(shù)學(xué)建模能力；體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系2通過現(xiàn)實生活中大量存在的數(shù)列模型，讓學(xué)生充分感受到數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的模型，體會數(shù)學(xué)是豐富多彩的而不是枯燥無味的，達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的3通過對等比數(shù)列概念的歸納，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度體會探究過程中的主體作用及探究問題的方法，經(jīng)歷解決問題的全過程重點難點教學(xué)重點：掌握等比數(shù)列的定義；理解等比數(shù)列的通項公式及推導(dǎo)教學(xué)難點：靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項公式解決相關(guān)問題，在具體問題中抽象出等比數(shù)列模型及掌握重要的數(shù)學(xué)思想方法課時安排2課時教學(xué)過程第1課時導(dǎo)入新課思路1.(情境引入)將一張厚度為0.044 mm的白紙一次又一次地對折，如果對折1 000次(假設(shè)是可能的)，紙的厚度將是4.410296 m，相當(dāng)于約5.010292個珠穆朗瑪峰的高度和，這可能嗎？但是一位數(shù)學(xué)家曾經(jīng)說過：你如果能將一張報紙對折38次，我就能順著它在今天晚上爬上月球?qū)⒁粡垐蠹垖φ蹠心敲创蟮暮穸葐?？這就是我們今天要解決的問題，讓學(xué)生帶著這大大的疑問來展開新課思路2.(實例導(dǎo)入)先給出四個數(shù)列：1,2,4,8,16，1，1,1，1,1，4,2，1，1,1,1,1,1，由學(xué)生自己去探究這四個數(shù)列，每個數(shù)列相鄰兩項之間有什么關(guān)系？這四個數(shù)列有什么共同點？讓學(xué)生觀察這些數(shù)列與上節(jié)課學(xué)習(xí)的等差數(shù)列有什么不同？由此引入新課推進(jìn)新課 (1)回憶等差數(shù)列的概念及等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)方法.(2)閱讀課本本節(jié)內(nèi)容的3個背景實例，領(lǐng)會三個實例所傳達(dá)的思想，寫出由3個實例所得到的數(shù)列.(3)觀察數(shù)列，它們有什么共同的特征？你能再舉出2個與其特征相同的數(shù)列嗎？(4)類比等差數(shù)列的定義，怎樣用恰當(dāng)?shù)恼Z言給出等比數(shù)列的定義？(5)類比等差中項的概念，你能說出什么是等比中項嗎？它與等差中項有什么不同？(6)你能舉出既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的例子嗎？(7)類比等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程，你能推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項公式嗎？(8)類比等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)的關(guān)系，你能說明等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系嗎？活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶等差數(shù)列概念的學(xué)習(xí)過程，指導(dǎo)學(xué)生閱讀并分析教科書中給出的3個實例引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列的共同特點：對于數(shù)列，從第2項起，每一項與前一項的比都等于2；對于數(shù)列，從第2項起，每一項與前一項的比都等于3；對于數(shù)列，從第2項起，每一項與前一項的比都等于.也就是說，這些數(shù)列有一個共同的特點：從第2項起，每一項與前一項的比都等于同一常數(shù)，這里仍是后項比前項，而不是前項比后項，具有這樣特點的數(shù)列我們稱之為等比數(shù)列讓學(xué)生類比等差數(shù)列給出等比數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示，顯然q0，上面的三個數(shù)列都是等比數(shù)列，公比依次是2,3，.給出等比數(shù)列的定義后，讓學(xué)生嘗試用遞推公式描述等比數(shù)列的定義，即a1a，an1anq(n1,2,3，)再讓學(xué)生思考既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列的數(shù)列存在嗎？學(xué)生思考后很快會舉出1,1,1，既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列，其公比為1，公差為0.教師可再提出：常數(shù)列都是等比數(shù)列嗎？讓學(xué)生充分討論后可得出0,0,0，是常數(shù)列，但不是等比數(shù)列至此，學(xué)生已經(jīng)清晰了等比數(shù)列的概念，比如，從等比數(shù)列定義知，等比數(shù)列中的任意一項不為零，公比可以為正，可以為負(fù)，但不能為0.類比等差中項的概念，我們可得出等比中項的概念：如果三個數(shù)x，G，y組成等比數(shù)列，則G叫做x和y的等比中項如果G是x和y的等比中項，那么，即G2xy，G.因此同號的兩個數(shù)的等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)，一個正數(shù)和一個負(fù)數(shù)沒有等比中項顯然，在一個等比數(shù)列中，從第2項起，每一項(有窮數(shù)列末項除外)都是它的前一項與后一項的等比中項；反之，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等比中項，那么這個數(shù)列是等比數(shù)列課件演示：不完全歸納法得到等差數(shù)列通項公式的過程：a2a1d，a3a2d(a1d)da12d，a4a3d(a12d)da13d，歸納得到ana1(n1)d.類比這個過程，可得等比數(shù)列通項公式的歸納過程如下：a2a1q，a3a2q(a1q)qa1q2，a4a3q(a1q2)qa1q3，歸納得到ana1qn1.這樣做可以幫助學(xué)生體會歸納推理對于發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)結(jié)論的作用這個結(jié)論的正確性可用后面的數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明，現(xiàn)在我們先承認(rèn)它下面我們再類比等差數(shù)列，探究推導(dǎo)等比數(shù)列通項公式的其他方法：an是等比數(shù)列，q，q，q，q.把以上n1個等式兩邊分別乘到一起，即疊乘，則可得到qn1，于是得到ana1qn1.對于通項公式，教師引導(dǎo)學(xué)生明確這樣幾點：(1)不要把公式錯誤地寫成ana1qn.(2)對公比q，要和等差數(shù)列的公差一樣，強(qiáng)調(diào)“從第2項起，每一項與它的前一項的比”，不要把相鄰兩項的比的次序顛倒，且公比q可以為正，可以為負(fù)，但不能為0.(3)在等比數(shù)列a，aq，aq2，aq3，中，當(dāng)a0時，一切項都等于0；當(dāng)q0時，第二項以后的項都等于0，這不符合等比數(shù)列的定義因此等比數(shù)列的首項和公比都不能為0.(4)類比等差數(shù)列中d0，d0時的情況，若q0，則相鄰兩項符號同號，若q0，則各項符號異號；若q1，則等比數(shù)列為非零常數(shù)列；若q1，則為如2，2,2，2，這樣的數(shù)列；若|q|1，則數(shù)列各項的絕對值遞減最后讓學(xué)生完成下表，從定義、通項公式比較等差數(shù)列、等比數(shù)列的異同，加深概念的理解等差數(shù)列等比數(shù)列定義從第2項起，每一項與它前一項的差都是同一個常數(shù)從第2項起，每一項與它前一項的比都是同一個常數(shù)首項、公差(公比)取值有無限制沒有任何限制首項、公比都不能為0通項公式ana1(n1)dana1qn1討論結(jié)果：(1)(3)略(4)等比數(shù)列定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列(5)并不是所有的兩個數(shù)都有等比中項(6)除0外的常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列(7)(8)略例1由下面等比數(shù)列的通項公式，求首項與公比(1)an2n；(2)an10n.活動：本例的目的是讓學(xué)生熟悉等比數(shù)列的概念及通項公式，可由學(xué)生口答或互相提問解：(1)an22n1，a12，q2.(2)an1010n1，a110，q10.點評：可通過通項公式直接求首項，再求公比如(1)中，a1212，a2224，q2. 變式訓(xùn)練設(shè)a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，其公比為2，則的值為()A. B. C. D1答案：A解析：由題意，知a2a1q2a1，a3a1q24a1，a4a1q38a1，.例2(教材本節(jié)例3)活動：本例是等比數(shù)列通項公式的靈活運(yùn)用，可讓學(xué)生自己完成點評：解完本例后，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察a5，a10，a15，a20的規(guī)律 變式訓(xùn)練已知an為等比數(shù)列，a32，a2a4，求an的通項公式解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q0.a2，a4a3q2q，2q.解得q1，q23.當(dāng)q時，a118.an18()n1233n.當(dāng)q3時，a1，an3n123n3.例3已知數(shù)列an滿足a11，an12an1.(1)求證：數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，數(shù)列an不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，要求an的表達(dá)式，通過轉(zhuǎn)化an1是等比數(shù)列來求解解：(1)證明：an12an1，an112(an1)a11，故a110，則有2.an1是等比數(shù)列(2)由(1)知an1是以a112為首項，以2為公比的等比數(shù)列，an122n1，即an2n1.點評：教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解后反思如本題(1)，不能忽視對an10的說明，因為在等比數(shù)列an中，an0，且公比q0，否則解題會出現(xiàn)漏洞 變式訓(xùn)練已知數(shù)列l(wèi)gan是等差數(shù)列，求證：an是等比數(shù)列證明：lgan是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則lgan1lgand，即10d(常數(shù))an是等比數(shù)列1已知等比數(shù)列an滿足a1a23，a2a36，則a7等于()A64 B81 C128 D2432在等比數(shù)列中，已知首項為，末項為，公比為，則項數(shù)為()A3 B4 C5 D6答案：1A解析：由a1a23，a2a36，知q2，a11.所以a7a1q664.2B解析：設(shè)等比數(shù)列為an又a1，q，an，qn1，即()n1.n13，n4，即項數(shù)為4.1讓學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容：等比數(shù)列的概念和等比數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)及簡單的應(yīng)用，等比數(shù)列的證明方法可讓學(xué)生對比小結(jié)等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識，對比各自性質(zhì)的異同，讓學(xué)生用列表的形式給出2教師點出，通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，在掌握知識的同時，我們還學(xué)到了探究新問題的方法，提高了我們解決問題的能力，進(jìn)一步明確了學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷探究問題全過程的意義，必須領(lǐng)悟凝練數(shù)學(xué)思想方法課本習(xí)題23 A組1；習(xí)題23 B組1.設(shè)計感想本教案設(shè)計將類比思想貫穿整節(jié)課始終，等差數(shù)列和等比數(shù)列具有極其相似的特點，比較它們的結(jié)構(gòu)和運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)用類比的方法，可使很多相關(guān)性質(zhì)得以類比和遷移；讓學(xué)生體會到：有些看似陌生的知識并不都是高不可攀的事情，通過我們的努力，也可以做一些看似數(shù)學(xué)家才能完成的事本教案設(shè)計加強(qiáng)了實際背景的教學(xué)，等比數(shù)列有著非常廣泛的實際應(yīng)用：如產(chǎn)品規(guī)格設(shè)計的問題；儲蓄，分期付款的有關(guān)計算等等教學(xué)時不是簡單地告訴學(xué)生等比數(shù)列的定義及通項公式的內(nèi)容，而是通過實際問題創(chuàng)設(shè)一些數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，去探索其意義本教案設(shè)計突出了數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)是思維的體操，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力及創(chuàng)造能力的載體新課程倡導(dǎo)強(qiáng)調(diào)過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得新知的體驗，不再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，必須讓學(xué)生追求過程的體驗，學(xué)生的思維能力就是在這種過程的體驗中逐漸提高的(設(shè)計者：張曉君)第2課時導(dǎo)入新課思路1：(類比導(dǎo)入)等差數(shù)列具有豐富而重要的性質(zhì)，通過復(fù)習(xí)等差數(shù)列的性質(zhì)，由學(xué)生猜想并證明等比數(shù)列的性質(zhì)這樣既復(fù)習(xí)了舊知識，同時又讓學(xué)生經(jīng)歷了知識的發(fā)現(xiàn)過程，這種引入符合新課程理念思路2：讓學(xué)生先完成本節(jié)的思考與討論及探索與研究，借助學(xué)生的探究，師生共同歸納出相關(guān)性質(zhì)，自然地引入新課(這種從課本上的練習(xí)題入手的方法，其好處是：直截了當(dāng)，節(jié)省課堂時間，教師也比較輕松，只是學(xué)生的思維活動層次較第一種弱一些，但也是一種不錯的導(dǎo)入選擇)推進(jìn)新課 (1)回憶上節(jié)課等比數(shù)列的概念，等比中項、通項公式的概念.(2)回憶怎樣證明一個數(shù)列是等比數(shù)列？(3)類比等差數(shù)列的圖象與一次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，探究等比數(shù)列的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象之間的關(guān)系.(4)類比等差數(shù)列的性質(zhì)，你能探究出等比數(shù)列有哪些重要結(jié)論？活動：教師引導(dǎo)學(xué)生對上一節(jié)課的探究做一簡要回顧，借以熟悉等比數(shù)列的有關(guān)概念，為進(jìn)一步探究做好必要的準(zhǔn)備，然后讓學(xué)生借助信息技術(shù)或用描點作圖畫出課本“探究”中(2)(3)要求的圖象(如圖)，說說通項公式為an2n1的數(shù)列的圖象和函數(shù)y2x1的圖象的關(guān)系然后交流、討論，歸納出二者之間的關(guān)系事實上，等比數(shù)列的通項公式可整理為anqn，而yqx(q1)是一個不為零的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)qx的乘積從圖象上看，表示數(shù)列qn中的各項的點是函數(shù)yqx的圖象上的孤立點和等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列中蘊(yùn)涵著許多重要的性質(zhì)，類比等差數(shù)列的探究方法，教師與學(xué)生一起探究就任一等差數(shù)列an，計算a7a10，a8a9和a10a40，a20a30，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題，在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？在等差數(shù)列an中，我們已經(jīng)探究了，若mnpq(m、n、p、qN*)，則amanapaq，那么我們可以類比猜想：對于等比數(shù)列an，若mnps(m、n、p、sN*)，則amanapas.讓學(xué)生對此給出證明證明：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則有amana1qm1a1qn1aqmn2，apasa1qp1a1qs1aqps2，mnps，有amanapas.經(jīng)過這個證明過程，我們得到了等比數(shù)列的一個重要性質(zhì)，即等比數(shù)列an中，若mnps(m，n，p，sN*)，則有amanapas.結(jié)合等比中項，我們很容易有這樣的結(jié)論：(1)與首末兩項等距離的兩項之積等于首末兩項的積；(2)與某一項距離相等的兩項之積等于這一項的平方結(jié)合上節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，教師與學(xué)生一起探究歸納可得到等比數(shù)列以下重要結(jié)論：1等比數(shù)列的判斷方法(1)anan1q(n2，q是不等于零的常數(shù)，an10)an是等比數(shù)列(2)aan1an1(n2，an1，an，an10)an是等比數(shù)列(3)ancqn(c、q均是不為零的常數(shù))an是等比數(shù)列2主要性質(zhì)(1)當(dāng)q1，a10或0q1，a10時，an是遞增數(shù)列；當(dāng)q1，a0或0q1，a10時，an是遞減數(shù)列，當(dāng)q1時，an是常數(shù)列；當(dāng)q0時，an是擺動數(shù)列(2)anamqnm(m、nN*)(3)當(dāng)mnpq(m、n、p、qN*)時，有amanapaq.(4)當(dāng)數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列時，數(shù)列l(wèi)gan是公差為lgq的等差數(shù)列(5)數(shù)列an中，公比q1，則連續(xù)取相鄰兩項的和(或差)構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列學(xué)習(xí)等比數(shù)列時，時刻與等差數(shù)列進(jìn)行對比，學(xué)會用類比、方程的思想解決問題討論結(jié)果：(1)讓學(xué)生默寫(2)有3種證明方法，比較常用的方法是：aan1an1(n2，an1，an，an10)an是等比數(shù)列(3)等比數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)(4)最常用的是活動中的第3個性質(zhì)例1一個等比數(shù)列的第3項和第4項分別是12和18，求它的第1項和第2項活動：本例是課本上例題3，由題意知a312，a418，求a1，a2.和等差數(shù)列一樣，這是屬于基本量運(yùn)算的題目，其基本量為a1，q.教師引導(dǎo)學(xué)生探究，由等比數(shù)列的通項公式列出方程組，求得通項公式，再由通項公式求得數(shù)列的任意項這個過程可以幫助學(xué)生再次體會通項公式的作用及其與方程之間的聯(lián)系解：設(shè)這個等比數(shù)列的第1項是a1，公比是q，那么a1q212，a1q318.，得q，把代入，得a1.因此，a2a1q8.答：這個數(shù)列的第1項和第2項分別是與8.點評：通過本題讓學(xué)生體會方程思想 變式訓(xùn)練在等比數(shù)列an中，a5a76，a2a105，則等于() A或 B. C. D.或答案：D解析：a5a7a2a10，由得或或.例2(1)在等比數(shù)列an中，已知a15，a9a10100，求a18；(2)在等比數(shù)列bn中，b43，求該數(shù)列前七項之積；(3)在等比數(shù)列an中，a22，a554，求a8.活動：本例三個小題屬基本概念題，讓學(xué)生合作交流完成，充分讓學(xué)生思考探究，展示將問題與所學(xué)的性質(zhì)聯(lián)系到一起的思維過程解：(1)a1a18a9a10，a1820.(2)b1b2b3b4b5b6b7(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.bb1b7b2b6b3b5，前七項之積為(32)33372 187.(3)a5是a2與a8的等比中項，542a8(2)a81 458.另解：a8a5q3a5541 458.點評：通過本例，讓學(xué)生熟悉公式，善于聯(lián)想，善于將解題過程簡化 變式訓(xùn)練已知等比數(shù)列an中，a1a315，且a1a2a3a445.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn11log2，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.由題意得解得q2，a13，an32n1.(2)由(1)得a2n1322n，bn11log2112n.數(shù)列bn是首項為9，公差為2的等差數(shù)列從而Snn210n.例3三個正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于15，如果它們分別加上1,3,9，就成為等比數(shù)列，求此三個數(shù)活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意，因為所求三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和已知，故可設(shè)這三個數(shù)為ad，a，ad，再根據(jù)已知條件尋找關(guān)于a、d的兩個方程，通過解方程組即可獲解解：設(shè)所求三個數(shù)為ad，a，ad，則由題設(shè)得解此方程組，得a5，d2.所求三個數(shù)為3,5,7.點評：此類問題要注意設(shè)未知數(shù)的技巧若設(shè)所求三個數(shù)為a，b，c，則列出三個方程求解，運(yùn)算過程將過于繁雜因此在計算過程中，應(yīng)盡可能地少設(shè)未知數(shù)例4根據(jù)下圖中的框圖，寫出所打印數(shù)列的前5項，并建立數(shù)列的遞推公式，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？活動：本題是給出數(shù)列的前幾項要求寫出數(shù)列的遞推公式這種題型難度較大但本題用程序框圖給出了數(shù)列的前5項，而遞推公式就包含在程序框圖中，這就大大降低了題目的難度教學(xué)時教師可引導(dǎo)學(xué)生回顧程序框圖，引導(dǎo)學(xué)生思考如何判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列解：若將打印出來的數(shù)依次記為a1(即A)，a2，a3，可知a11，a2a1，a3a2.于是，可得遞推公式由于，因此，這個數(shù)列是等比數(shù)列其通項公式是an()n1.點評：通過本題讓學(xué)生明確，要證明一個數(shù)列是等比數(shù)列，只需證明對于任意正整數(shù)n，是一個常數(shù)即可，同時也再一次體會到能夠用框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)來描述數(shù)列1已知等比數(shù)列an中，a1a2a37，a1a2a38，求an.2某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年，剩留的這種物質(zhì)是原來的84%，這種物質(zhì)的半衰期為多長？(精確到1年)答案：1解：a1a3a，a1a2a3a8.a22.從而解之，得或當(dāng)a11時，q2，當(dāng)a14時，q.an2n1或an4()n123n(nN*)點評：本例解答中易產(chǎn)生的錯誤是在求得a11，a34或a14，a31后，由a3a1q2分別得出q2或q.求得an2n1或an(2)n1或an4()n1或an4()n1.教師引導(dǎo)學(xué)生尋找產(chǎn)生這一錯誤的原因是忽視了由于a22，a10，必有q0這一隱含條件2解：設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過n年，剩留量是an，由條件可得，數(shù)列an是一個等比數(shù)列，其中a10.84，q0.84.設(shè)an0.5，則0.84n0.5.兩邊取對數(shù)，得nlg0.84lg0.5，用計算器算得n4.答：這種物質(zhì)的半衰期大約為4年點評：本例是一道應(yīng)用題，反映的是等比數(shù)列通項公式的基本量運(yùn)算問題在解題過程中，用對數(shù)的知識解方程可以幫助學(xué)生回顧對數(shù)的性質(zhì)，本題重在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)實際問題情境中數(shù)列的等比關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力1讓學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容：等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系對比小結(jié)等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識，對比各自性質(zhì)的異同從函數(shù)的角度看，如果說等差數(shù)列可以與一次函數(shù)聯(lián)系起來，那么等比數(shù)列則可以與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來2學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容應(yīng)注意等比數(shù)列定義的運(yùn)用，靈活選設(shè)未知數(shù)，注意總結(jié)常用解題技巧有關(guān)本內(nèi)容的高考題主要體現(xiàn)在考查化歸能力、方程思想、分類討論思想以及數(shù)學(xué)建模能力上，并能用這些知識解決一些實際問題課本習(xí)題23 A組2、3、4.設(shè)計感想本教案設(shè)計突出了教學(xué)梯度因為從實際教學(xué)來看，對這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)不少同學(xué)仍然是困難重重，從中折射出他們學(xué)習(xí)方式存在的問題，死記硬背仍然是公式學(xué)習(xí)的主要形式在練習(xí)環(huán)節(jié)，不少學(xué)生只會做與課本例題完全一致的習(xí)題，如果稍加變式，就束手無策，反映出數(shù)學(xué)思維的僵化及簡單但是訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直接面對的重要課題，也是提升教學(xué)效果的關(guān)鍵因此在設(shè)計梯度方面注重了一題多解，這有助于學(xué)生思維的發(fā)散性及靈活性的培養(yǎng)，以及克服思維的僵化，變式教學(xué)又可以提升思維視野的廣度，題后反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升本教案設(shè)計注重了教學(xué)過程的更優(yōu)化、更合理化，因為長期以來的課堂教學(xué)太過于重視結(jié)論，輕視過程為了應(yīng)付考試，為了使公式、定理應(yīng)用達(dá)到所謂的熟能生巧，教學(xué)中不惜花大量的時間采用題海戰(zhàn)術(shù)來進(jìn)行強(qiáng)化在概念公式的教學(xué)中往往采用的是“掐頭去尾燒中段”的方法，到頭來把學(xué)生強(qiáng)化成只會套用公式機(jī)械解題，這樣的學(xué)生面對新問題就會束手無策，更不利于今后的創(chuàng)新式高考本教案設(shè)計清晰了課堂教學(xué)的層次階段，本節(jié)課可以劃分為三個階段，第一階段是等比數(shù)列性質(zhì)的推得和理解過程；第二階段是等比數(shù)列性質(zhì)的歸納、理解和應(yīng)用的過程；第三階段是歸納小結(jié)這三個階段自然是以第一、第二階段為主這樣便于學(xué)生課堂推進(jìn)，也便于教師對整個課堂的宏觀調(diào)控備課資料一、備用例題例1.已知無窮數(shù)列10，10，10，10，.求證：(1)這個數(shù)列成等比數(shù)列；(2)這個數(shù)列中的任一項是它后面第五項的；(3)這個數(shù)列的任意兩項的積仍在這個數(shù)列中例2.設(shè)a，b，c，d均為非零實數(shù)，(a2b2)d22b(ac)db2c20，求證：a，b，c成等比數(shù)列且公比為d.證法一：關(guān)于d的二次方程(a2b2)d22b(ac)db2c20有實根，4b2(ac)24(a2b2)(b2c2)0.4(b2ac)20.(b2ac)20.則必有b2ac0，即b2ac，a，b，c成等比數(shù)列設(shè)公比為q，則baq，caq2，代入(a2a2q2)d22aq(aaq2)da2q2a2q40.(q21)a20，d22qdq20，即dq0.證法二：(a2b2)d22b(ac)db2c20，(a2d22abdb2)(b2d22bcdc2)0.(adb)2(bdc)20.adb，且bdc.a，b，c，d非零，d.a，b，c成等比數(shù)列且公比為d.二、備用習(xí)題1公差不為0的等差數(shù)列第二、三、六項構(gòu)成等比數(shù)列，則公比為()A1 B2 C3 D42設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q2，且a1a2a3a30230，則a3a6a9a30等于()A210 B220 C216 D2153各項為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項a13，a1a2a321，則a3a4a5等于 ()A33 B72 C84 D1894在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為_5在等比數(shù)列an中，(1)若a1256，a91，求q和a12；(2)若a3a518，a4a872，求q.6已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且a1b1c0，a2n1b2n1，比較an1與bn1的大小參考答案：1答案：C解析：設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，由題意，得aa2a6，(a12d)2(a1d)(a15d)d2a1.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則q3.2答案：B解析：由a1a2a3a4a30230，得230，aaaa(2q)30.a3a6a9a30220.3答案：C解析：由a1a2a3a1a1qa1q221，1qq27.解得q2，q3(舍去)，a3a1q23412.a3a4a5a3(1qq2)12784.4答案：216解析：設(shè)插入的三個數(shù)為a、b、c，則b249ac，所以b6，ac36，故abc216.5解：(1)a9a1q8，256q81，即q.當(dāng)q時，a12a1q11256；當(dāng)q時，a12a1q11256()11.(2)a1q2a1q418，即aq618.又a1q3a1q772，即aq1072.兩式相除得q44，q.6解：由題意知c2ndcq2n，nd(q2n1)an1bn1cndcqnc(q2n1)cqn(qn1)20，an1bn1.三、斐波那契數(shù)列的奇妙性質(zhì)我們看章頭圖中的斐波那契數(shù)列，它有一系列奇妙的性質(zhì)，現(xiàn)簡列以下幾條，供讀者欣賞1從首項開始，我們依次計算每一項與它的后一項的比值，并精確到小數(shù)點后第四位：1.000 02.000 01.500 01.666 71.600 01.625 01.615 41.619 01.617 61.618 21.618 01.618 1如果將這一工作不斷地繼續(xù)下去，這個比值將無限趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)位于1.618 0與1.618 1之間，它還能準(zhǔn)確地用黃金數(shù)表示出來2我們在初中曾經(jīng)遇到過楊輝三角形，如下圖所示，楊輝三角形中虛線上的數(shù)的和恰好組成斐波那契數(shù)列：3在斐波那契數(shù)列中，請你驗證下列簡單的性質(zhì)：前n項和Snan21，anan1an1an2a2n1(n3)，aaan1(n2)，an2ana(1)n(n3)據(jù)載首先是由19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家呂卡將級數(shù)Un：1,1,2,3,5,8,13,21,34，Un1UnUn1命名為斐波那契級數(shù)，它是一種特殊的線性遞歸數(shù)列，在數(shù)學(xué)的許多分支中有廣泛應(yīng)用.1680年意大利法國學(xué)者卡西尼發(fā)現(xiàn)該級數(shù)的重要關(guān)系式Un1Un1U(1)n.1730年法國數(shù)學(xué)家棣莫弗給出其通項表達(dá)式，19世紀(jì)初另一位法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)首先證明了這一表達(dá)式Sn()n()n，現(xiàn)在稱之為比內(nèi)公式世界上有關(guān)斐波那契數(shù)列的研究文獻(xiàn)多得驚人斐波那契數(shù)列不僅是在初等數(shù)學(xué)中引人入勝，而且它的理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用，特別是在數(shù)列、運(yùn)籌學(xué)及優(yōu)化理論方面為數(shù)學(xué)家們展開了一片施展才華的廣闊空間