離散數(shù)學答案屈婉玲版第二版高等教育出版社課后答案

精心整理學習幫手離散數(shù)學答案屈婉玲版第二版 高等教育出版社課后答案第一章部分課后習題參考答案16設(shè)p、q的真值為0; r、s的真值為1 ,求下列各命題公式的真值。(1) pV(qAr) 0 V (0 A1)0(2) (p? r) A (qVs) (0?1)A(1V1)0A 10.(3)( pA qAr) ? (p AqAr) (1A1A1) ?(0A0A 0)0(4) ( rAs) 一(pA q)(0A1) 一(1A0)00117.判斷下面一段論述是否為真：”是無理數(shù)。并且，如果3是無理數(shù)，則4f2也是無 理數(shù)。另外6能被2整除，6才能被4整除。”答：p:是無理數(shù)1q: 3 是無理數(shù)0r: 72是無理數(shù)1s: 6能被2整除1t: 6 能被4整除0命題符號化為：p A(q-r) A(t -s)的真值為1,所以這一段的論述為真19.用真值表判斷下列公式的類型:(4) (pq) 一( q - p)(5) (p Ar) ( pA q)(6) (p-q) A(q - r) (pr)p1111q -p (p 一 q)一( q - p)答： (4)p q p- q q001111011011100100111001所以公式類型為永真式(5)公式類型為可滿足式(方法如上例)(6)公式類型為永真式(方法如上例)第二章部分課后習題參考答案3.用等值演算法判斷下列公式的類型，對不是重言式的可滿足式，再用真值表法求出 成真賦值.(1) (pAq-q)(p 一 (p V q) V(p r)(3)(p Vq)-(pAr)pV pVqV r答：(2) (p 一 (pVq) V(p - r) ( pV (p V q) V ( pV r)PqrpVqpA r000001001001010100011100100100101111110100111111所以公式類型為永真式所以公式類型為可滿足式4.用等值演算法證明下面等值式：(pVq) 一(p A r)(p 一 q) A (p 一 r)(p 一 (q A r)(p A q) V ( pA q) (p V q) A (p A q)證明(2) (p q) A (pr)(pVq)A( pVr) pV(q A r)p 一 (q 八 r)(4) (pA q) V( pAq) (p V ( pAq) A( qV( pA q)(p V p)A(pVq)A( qV p) A ( qVq)1 A (p V q) A (p A q) A 1(p V q) A (p A q)5.求下列公式的主析取范式與主合取范式，并求成真賦值(1)( p-q)( qvp)(2) (p q)AqAr(pV (q A r) 一(p Vq V r)解：(1)主析取范式(p 一 q)(q p)(p q) ( q p)(p q) ( q p)(pq)(q p)(q p) (p q) (p q)(pq)(p q)(p q)mom2m3E (0,2,3)主合取范式：(p-q)(q p)(p q)( q p)(p q) ( q p)(p ( q p)( q ( q p)1 (p q)(p q)Min(2) 主合取范式為：(p-q) q r ( p q) q r(p q) q r 0所以該式為矛盾式.主合取范式為n (0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式為0(3)主合取范式為：(p (qr)一 (pqr)(p(qr) 一 (p qr)(p(qr) (pq r)(p(pq r)(qr) (p q r)1 1所以該式為永真式.永真式的主合取范式為1主析取范式為三(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分課后習題參考答案14.在自然推理系統(tǒng)P中構(gòu)造下面推理的證明：(2)前提：p q, (q r),r結(jié)論： p(4)前提：q p,q s,s t,t r結(jié)論：p q證明：(2)(q r)前提引入q r 置換q r蘊含等值式r前提引入q拒取式p q前提引入p(3)拒取式證明(4):t r前提引入t化簡律qs前提引入st前提引入qt等價三段論(q t) (t q) 置換(q t) 化簡q假言推理q p前提引入p假言推理(11)p q合取15在自然推理系統(tǒng)P中用附加前提法證明下面各推理:前提：p (q r),s p,q結(jié)論：s r證明s附加前提引入sp前提引入p假言推理p(q r)前提引入qr假言推理q前提引入r假言推理16在自然推理系統(tǒng)P中用歸謬法證明下面各推理：(1)前提：p q, r q,r s結(jié)論： p證明：p結(jié)論的否定引入pq 前提引入q假言推理r q前提引入r化簡律r s前提引入r化簡律r r合取由于最后一步r r是矛盾式，所以推理正確.第四章部分課后習題參考答案3.在一階邏輯中將下面將下面命題符號化，并分別討論個體域限制為(a),(b)條件時命題的真值:(1)對于任意x,均有它-2=(x+a)(x T).(2)存在x,使彳# x+5=9.其中(a)個體域為自然數(shù)集合.(b)個體域為實數(shù)集合.解：F(x):2=(x+ 一 W).G(x): x+5=9.(1)在兩個個體域中都解釋為xF(x),在(a)中為假命題，在(b)中為真命題。(2)在兩個個體域中都解釋為xG(x),在(a) (b)中均為真命題。4 .在一階邏輯中將下列命題符號化：(1)沒有不能表示成分數(shù)的有理數(shù).(2)在北京賣菜的人不全是外地人.解：(1)F(x): x 能表示成分數(shù)H(x): x是有理數(shù)命題符號化為： x( F(x) H(x)(2)F(x): x是北京賣菜的人H(x): x是外地人命題符號化為：x(F(x) H(x)5 .在一階邏輯將下列命題符號化：(1) 火車都比輪船快.(3)不存在比所有火車都快的汽車.解：(1)F(x): x是火車；G(x): x是輪船；H(x,y): x 比 y 快命題符號化為： x y(F(x) G(y) H(x, y)(2) (1)F(x): x是火車；G(x): x是汽車；H(x,y): x 比 y 快命題符號化為： y(G(y) x(F(x) H(x,y)9.給定解釋I如下：(a) 個體域D為實數(shù)集合R.(b) D中特定元素a-=0.(c) 特定函數(shù)雙y)=x y,x,yD .(d) 特定謂詞 G(x,y):x=y, G(x,y):x<y,x,y D.說明下列公式在I下的含義，并指出各公式的真值:(1) x y(G(x,y) F(x, y)(2) x y(F(f(x,y),a) G(x, y)答：(1)對于任意兩個實數(shù)x,y,如果x<y,那么x y.真值1.(2)對于任意兩個實數(shù)x,y,如果x-y=0,那么x<y.真值0.10.給定解釋I如下：(a)個體域D=N(N為自然數(shù)集合).(b) D中特定元素三=2.(c) D 上函數(shù)=x+y,宮(x,y)=xy.(d) D 上謂詞 F(x,y):x=y.說明下列各式在I下的含義，并討論其真值.(1) -xF(g(x,a),x)(2) wy(F(f(x,a),y)一F(f(y,a),x)答：(1)對于任意自然數(shù)x,都有2x=x,真值0.(2)對于任意兩個自然數(shù)x,y,使得如果x+2=y,那么y+2=x.真值0.11.判斷下列各式的類型：(1) 7 .-.-二(3):二二二二 二、：yF(x,y).解：(1)因為p (q p) p ( q p) 1為永真式；所以Fk德一伯值巾- F值為永真式；(3)取解釋I個體域為全體實數(shù)F(x,y) : x+y=5所以，前件為任意實數(shù)x存在實數(shù)y使x+y=5,前件真；后件為存在實數(shù)x對任意實數(shù)y都有x+y=5,后件假，此時為假命題再取解釋I個體域為自然數(shù)N,F(x,y) : :x+y=5所以，前件為任意自然數(shù)x存在自然數(shù)y使x+y=5,前件假。此時為假命題。此公式為非永真式的可滿足式。13.給定下列各公式一個成真的解釋，一個成假的解釋。(1) 一(F(x):內(nèi)略微(2)三 x(F(x) G(x) H(x)解：(1)個體域：本班同學F(x) : x會吃飯，G(x) : x會睡覺.成真解釋F(x)： x是泰安人,G(x) : x是濟南人.(2)成假解釋(2)個體域：泰山學院的學生F(x) : x出生在山東,G(x):x出生在北京，H(x):x出生在江蘇，成假解釋.F(x) : x會吃飯,G(x) : x會睡覺,H(x) : x會呼吸.成真解釋.第五章部分課后習題參考答案5.給定解釋I如下：(a)個體域 D=3,4;(b) f(x)為f(3) 4,f(4) 3(c) F(x,y)為F(3,3)F(4,4) 0, F(3,4) F(4,3) 1.試求下列公式在I下的真值.(1) x yF(x, y)(3)x y(F(x,y)F(f (x), f(y)解:(1) x yF(x,y) x(F(x,3) F(x,4)(F(3,3) F(3,4) (F(4,3) F(4,4)(0 1) (1 0)1(2) x y(F(x,y) F(f(x), f(y)x(F(x,3)F(f(x), f (3) (F(x,4)F(f(x), f (4)x(F(x,3) F(f (x),4) (F(x,4) F(f (x),3)(F(3,3)F(f(3),4) (F(3,4)F(f(3),3)(F(4,3) F(f (4),4) (F(4,4)F(f(4),3)(0F(4,4) (F(3,4)(00) (11)(112.求下列各式的前束范式。(1) xF(x) yG(x, y)(5)X1F (X1,X2)(H(x1)解:xF(x) yG(x,y)(5)x1 F (x1, x2)(H(x1)F(4,3)(1F(3,4) (0F(3,3)1) (00)1x2G(x1,x2)(本題課本上有錯誤)xF(x) yG(t,y) x y(F(x) G(t, y)x2G(x1, x2)x1 F (x1, x2)(H (x3)X2 G(x3,x2)x1 F (x1, x4)x2(H (x3)G(x3,x2)x1 x2(F(x，x4)(H (x3)G(x3,x2)15.在自然數(shù)推理系統(tǒng)F中，構(gòu)造下面推理的證明：(1)前提：xF(x) y(F(y) G(y)R(y), xF(x)結(jié)論：xR(x)(2)前提： x(F(x) 一(G(a) A R(x),三 xF(x)結(jié)論：三x(F(x) A R(x)證明(1)xF (x)前提引入FEI xF(x)y(F(y) G(y)R(y) 前提引入y(F(y) G(y)R(y)假言推理(F V G(c) 一R)UIF(c) VG(c)附加R(c)假言推理 xR(x) EGxF(x)前提引入F(c)EI x(F(x) 一(G(a) A R(x) 前提引入F(c) 一(G(a) A R(c)UIG(a) A R(c)假言推理R(c)化簡F(c)AR(c)合取引入 x(F(x) A R(x) EG第六章部分課后習題參考答案5.確定下列命題是否為真：(1) 真(2) 假(3) 真(4) 真(5) a,ba,b,c, a,b,c真(6) a,ba,b,c, a,b真a,ba,b, a,b 真(8)a,ba,b, a,b假6.設(shè)a,b,c各不相同，判斷下述等式中哪個等式為真(1) a,b, c, = a,b ,c假(2) a ,b,a = a,b 真(3) a, b = a,b假(4) , , a,b = , ,a,b 假8.求下列集合的募集：,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c,1, 2,3, 1, 2, 3 , ,1, 2,3, 1, 2, 3 (1) a,b,c P(A)=(2) 1, 2, 3 P(A)=(3) P(A)=(4) , P(A)=14.化簡下列集合表達式:(1) (A B)B ) - (A B)(2) (A B C) - (B C)A解：(1) (A B)B ) - (A B) = (A B)B )(A B)=(AB)(A B) B= B=(2) (A BC)- (BC)A= (A BC)(BC)A=(A (BO) (BC )(BC)A=(A (B O) A= (A (B O) A=A 18 .某班有25個學生，其中14人會打籃球，12人會打排球，6人會打籃球和排球，5 人會打籃球和網(wǎng)球，還有2人會打這三種球。已知6個會打網(wǎng)球的人都會打籃球或排球。 求不會打球的人數(shù)。網(wǎng)球解：阿A=會打籃或勺人, B=會打排球的人, C=會打 的人|A|=14, |B|=12, |A B|=6,|AC|=5,| A B C|=2,|C|=6,C A B如圖所示25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5不會打球的人共5人21.設(shè)集合人=1 , 2, 2 , 3, 1 , 3,計算下列表達式:(1) A(2) A(3) A(4) A解:, 、用牛:(1)A=1, 22, 31,3=1, 2, 3,(2) A=1, 22, 31,3=(3) A=1 2 3=(4) A=27、設(shè)A,B,C是任意集合，證明(1)(A-B)-C=A- B C(A-B)-C=(A-C)-(B-C)證明(1) (A-B)-C=(AB) -C= A (B C)= A (B C) =A- B C(A-C)-(B-C)=(AC) (B C)= (AC)(B C)=(A C B) (AC C)= (A C B)=A (B C) =A- B C 由(1)得證。第七章部分課后習題參考答案7.列出集合A=2,3,4上的恒等關(guān)系Ia,全域關(guān)系E,小于或等于關(guān)系La,整除關(guān)系D.解：Ia =<2, 2>,<3,3>,<4,4>E a=<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>La=<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>CA=<2,4>13.設(shè) A=<1,2>,<2,4>,<3,3>B=<1,3>,<2,4>,<4,2>求 A B,A B, domA, domB, dom(A B), ranA, ranB, ran(A B ), fld(A-B).解：A B=<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>A B=<2,4>domA=1,2,3domB=1,2,4dom(A V B)=1,2,3,4ranA=2,3,4ranB=2,3,4ran(A B)=4A-B=<1,2>,<3,3> , fld(A-B尸1,2,314.設(shè) R=<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>求 R R, R-1, R 0,1, R1,2解：R R=<0,2>,<0,3>,<1,3>R -1,=<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>R 0,1=<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>R1,2=ran(R|1,2)=2.316.設(shè)A=a,b,c,d , RR2為A上的關(guān)系，其中Ri=：a,aj/a,b；b,d；R2：a,dj, b,c , b,d ：,；c,b23求 Ri o R2, R2 oRi,Ri , R2 o解：Ri R=<a,d>,<a,c>,<a,d>R 2 R=<c,d>R2=R R=<a,a>,<a,b>,<a,d>2R =R R=<b,b>,<c,c>,<c,d>R3=R R2=<b,c>,<c,b>,<b,d>36.設(shè)人=1, 2, 3, 4,在A A上定義二元關(guān)系 R,<u,v>,<x,y> A A , <u,v> R <x,y> u + y = x + v.(1)證明R是A A上的等價關(guān)系.(2)確定由R引起的對A A的劃分.(1) 證明：<u,v>R<x,y> u+y=x-y<u,v>R<x,y> u-v=x-y<u,v> A A. u-v=u-v<u,v>R<u,v>.R是自反的任意的 <u,v>,<x,y> A AX A如果 <u,v>R<x,y> ,那么 u-v=x-yx-y=u-v <x,y>R<u,v>.R是對稱的任意的 <u,v>,<x,y>,<a,b>C AX A若 <u,v>R<x,y>,<x,y>R<a,b> 貝U u-v=x-y,x-y=a-b u-v=a-b . <u,v>R<a,b> R是傳遞的.R是AX A上的等價關(guān)系 n=<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>, <2,1>,<3,2>,<4,3>, <3,1>,<4,2>, <4,1>, <1,2>,<2,3>,<3,4>, <1,3>,<2,4>, <1,4> 41.設(shè) A=1, 2, 3, 4, R為 A A上的二元關(guān)系，a, b，<c, d> A A ,<a, b> R <c, d> a + b = c + d(1)證明R為等價關(guān)系.(2)求R導(dǎo)出的劃分.證明： <a, b> A A a+b=a+b. . <a,b>R<a,b> .R是自反的任意的 <a,b>,<c,d> C Ax A設(shè)<a,b>R<c,d> ,a+b=c+d c+d=a+b . <c,d>R<a,b>R是對稱的任意的 <a,b>,<c,d>,<x,y>A AX A若 <a,b>R<c,d>,<c,d>R<x,y> a+b=c+d,c+d=x+y a+b=x+y <a,b>R<x,y>R是傳遞的 .R是AX A上的等價關(guān)系 n=<1,1>, <1,2>,<2,1>,<1,3>,<2,2>,<3,1>,<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>,<2,4>,<4,2>,<3,3>, <3,4>,<4,3>, <4,4>(1) 1,2,3,4,6,8,12,24(2) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12解：248介2462</3 1(1)(2)45.下圖是兩個偏序集<A,Rp >的哈斯圖8 12104 J，6/ 97n 11 1.分別寫出集合A和偏序關(guān)系Rp的集合表達式.43.對于下列集合與整除關(guān)系畫出哈斯圖a(a) 解：(a)A=a,b,c,d,e,f,gRp =<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a(b) A=a,b,c,d,e,f,gRp =<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a46.分別回出卜列各偏序集 最小元.(1)A=a,b,c,d,eRp =<a,d>,<a,c>,<a,b>,(2)A=a,b,c,d,e, RbM-g a(b)e>,<a,f>,<a,g>,<b,d>,<b,e>,<c,f>,<c,g>I ae>,<a,f>,<d,f>,<e,f>I a<A,RP >的哈斯圖，并找出A的極大元 極小元 最大元和;a,e>,vb,e>,vc,e>,<d,e>I ap =<c,d> IA.解:項目(1)(2)極人兒：ea,b,d,e極小元：aa,b,c,e取大兀：e最小元：a(2)第八章部分課后習題參考答案1.設(shè) f :N N,且1,若以奇數(shù)f (x)=三若x為偶數(shù) 2,求 f (0), -1(3,5,7).(0)，f (1), f (1), f (0,2,4,6,) , f (4,6,8),解：f (0)=0, f(0)=0, f (1)=1, f(1)=1,-1 (3,5,7)=6,10,14.f (0,2,4,6,尸N, f (4,6,8)=2,3,4, f 4.判斷下列函數(shù)中哪些是滿射的？哪些是單射的？哪些是雙射的？(1) f:NN, f(x)=x 2+2不是滿射，不是單射(2) f:NN,f(x)=(x)mod 3,x 除以 3 的余數(shù)不是滿射，不是單射f:N1, N,f(x)=0,若x為奇數(shù)若x為偶數(shù)不是滿射，不是單射f:N0,1,f(x)=0,若x為奇數(shù)1,若x為偶數(shù)是滿射，不是單射 f:N-0R,f(x)=lgx不是滿射，是單射(6) f:R R,f(x)=x 2-2x-15不是滿射，不是單射5.設(shè)*=國上6丫=1,2,3力=<2,1>,<02>,<63>,判斷以下命題的真假(1)f是從X到Y(jié)的二元關(guān)系，但不是從X到Y(jié)的函數(shù)； 對(2)f是從X到Y(jié)的函數(shù)，但不是滿射，也不是單射的；錯(3)f是從X到Y(jié)的滿射，但不是單射；錯(4)f是從X到Y(jié)的雙射.錯第十章部分課后習題參考答案4 .判斷下列集合對所給的二元運算是否封閉：(1) 整數(shù)集合Z和普通的減法運算。封閉，不滿足交換律和結(jié)合律，無零元和單位元(2) 非零整數(shù)集合K和普通的除法運算。不封閉(3) 全體n n實矩陣集合M (R)和矩陣加法及乘法運算，其中 生2。封閉 均滿足交換律，結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律；加法單位元是零矩陣，無零元；乘法單位元是單位矩陣，零元是零矩陣；(4) 全體n n實可逆矩陣集合關(guān)于矩陣加法及乘法運算，其中e2。不封閉(5) 正實數(shù)集合艮一和二運算，其中"運算定義為：爐工 b = R-, at-b = al a b不封閉 因為1111111 R(6) n巨Z+hZ = m|z e ZI遙關(guān)于普通的加法和乘法運算。封閉，均滿足交換律，結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律加法單位元是0,無零元；乘法無單位元(n 1),零元是0; n 1單位元是1(7) A = a1，a2， 冏 nN”運算定義如下：va, b E A, a= b = t封閉 不滿足交換律，滿足結(jié)合律，(8) S =-小"用關(guān)于普通的加法和乘法運算。封閉 均滿足交換律，結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律(9) S = 0,1,S 是關(guān)于普通的加法和乘法運算。加法不封閉，乘法封閉；乘法滿足交換律，結(jié)合律(10) S = 工”2小巨2+) ,S關(guān)于普通的加法和乘法運算。加法不封閉，乘法封閉，乘法滿足交換律，結(jié)合律5 .對于上題中封閉的二元運算判斷是否適合交換律，結(jié)合律，分配律。見上題7 .設(shè)*為Z上的二元運算 x, y Z ,X * Y = min ( x , y ),即x和y之中較小的數(shù).(1)求4 * 6 , 7 * 3 。4. 3(2)*在Z上是否適合交換律，結(jié)合律，和幕等律？滿足交換律，結(jié)合律，和幕等律(3)求*運算的單位元，零元及Z中所有可逆元素的逆元。單位元無，零元1,所有元素無逆元8. S Q Q Q為有理數(shù)集，*為$上的二元運算，v<a,b>,<x,y >憶S有< a , b >*<x , y> = <ax , ay + b>(1) *運算在S上是否可交換，可結(jié)合？是否為幕等的？不可交換：<x,y>*<a,b >= <xa , xb +y> < a , b >*<x , y>可結(jié)合：(<a,b >*<x,y>)*<c,d>=<ax, ay + b>*<c,d>=<axc , axd +(ay+b) ><a,b >*(<x,y>*<c,d>)=<a, b>*<xc,xd+y>=<axc , a(xd +y)+b >(<a,b >*<x,y>)*<c,d>=<a,b >*(<x,y>*<c,d>)不是幕等的(2) *運算是否有單位元，零元？如果有請指出，并求S中所有可逆元素的逆元設(shè)<a,b> 是單位元，v<x,y > s S , <a,b >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<x,y>貝U<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<x,y> ,解的 <a,b>=<1,0> ,即為單位。設(shè)<2口>是零元，爐<x,y > e S , <a,b >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<a,b>貝U<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<a,b> ,無解。即無零元。v<x,y > 七 S,設(shè)<2口>是它的逆元 <a,b >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<1,0><ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<1,0>a=1/x,b=-y/x所以當x 0時,x, y(a)交換律，結(jié)合律，幕等律都滿足，零元為a,沒有單位元；(b)滿足交換律和結(jié)合律，不滿足幕等律，單位元為a,沒有零元a 1 a, b 1 b(c)滿足交換律，不滿足幕等律，不滿足結(jié)合律a (b b) a a b, (a b) b a b aa (b b) (a b) b沒有單位元，沒有零元(d)不滿足交換律，滿足結(jié)合律和幕等律沒有單位元，沒有零元(2)求每個運算的單位元，零元以及每一個可逆元素的逆元。見上16.設(shè)V= N, + , ，其中+ , 分別代表普通加法與乘法，對下面給定的每個集合 確定它是否構(gòu)成V的子代數(shù)，為什么？(1) S1=(2n.| n Z!是(2) S2=2n + i|nmZ! 不是 加法不封閉(3) & = -1 , 0, 1 不是，加法不封閉第十一章部分課后習題參考答案8.設(shè)S=0, 1, 2, 3,為模4乘法，即"x,y C S, x y=(xy)mod 4問S,悔是否構(gòu)成群？為什么？解：(1) x,y S, x y=(xy)mod 4 S,a 是 S上的代數(shù)運算(2) x,y,z CS,設(shè) xy=4k+r 0 r 3(x v) z =(xy)mod 4) z=r 8 z=(rz)mod 4=(4kz+rz)mod 4=(4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4同理 x-：(y|z) =(xyz)mod 4所以，(x y) z = x因(y&z),結(jié)合律成立。 x S, (x g 1)=(1 0x)=x,所以1是單位元。1 1 1, 3 1 3, 0和2沒有逆元所以，S不構(gòu)成群9.設(shè)Z為整數(shù)集合，在Z上定義二元運算。如下："x,y 6 Z,xoy= x+y-2問Z關(guān)于o運算能否構(gòu)成群？為什么？解：(1) x,y Z, xoy= x+y-2 Z ,o是Z上的代數(shù)運算。(2) x,y,z Z,(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4同理(xoy)oz= xo(yoz),結(jié)合律成立。設(shè)e是單位元，x C Z, xo e= eox=x，即 x+e-2= e+x-2=x, e=2(4) x C Z ,設(shè) x 的逆元是 y, xoy= yox= e,即 x+y-2=y+x-2=2,所以，x 1 y 4 x所以Z, o構(gòu)成群10101 010, 一 11.設(shè)G= ,，證明G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成一個群.0 1010 101解：（1） x,y G,易知xy C G,乘法是Z上的代數(shù)運算(2)矩陣乘法滿足結(jié)合律1 0、，、設(shè)1 0是單位元， 0 1 每個矩陣的逆元都是自己。所以G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成一個群.14 .設(shè)G為群，且存在aCG,使得G=ak I k C Z證明：G是交換群。證明：x,y C G,設(shè) x ak, y al ,則xy akal ak l al k alak yx所以，G是交換群17 .設(shè)G為群，證明e為G中唯一的幕等元。證明：設(shè)e0 G也是幕等元，則e2 a ,即e2 ee ,由消去律知e e18 .設(shè)G為群，a,b,c CG,證明I abc I = I bca I = I cab I證明：先證設(shè)(abc)k e(bca)k e設(shè)(abc)k e, 則(abc)(abc)(abc) (abc) e,即 a(bca)(bca)(bca) (bca)a 1 e左邊同乘a 1 ,右邊同乘a得k 1(bca)( bca)(bca) (bca) (bac) a ea e反過來，設(shè)(bac)k e,則(abc)k e.由元素階的定義知，I abc I = I bca I ,同理I bca I = I cab I19 .證明：偶數(shù)階群G必含2階元。證明：設(shè)群G不含2階元，a G,當a e時，a是一階元，當a e時，a至少是3 階元,因為群G時有限階的，所以a是有限階的，設(shè)a是k階的，則a 1也是k階的，所以高于3階的元成對出現(xiàn)的,G不含2階元，G含唯一的1階元e,這與群G是偶數(shù)階的矛 盾。所以，偶數(shù)階群G必含2階元20 .設(shè)G為非Abel群，證明G中存在非單位元a和b,awb,且ab=ba.證明：先證明G含至少含3階元。若G只含1階元，則G=e,G為Abel群矛盾；若G除了 1階元e外，其余元a均為2階元，則a2 e, a 1 a 111111a, b G, a a, b b, (ab)ab,所以 ab a b (ba) ba,與G為Abel群矛盾；所以，G含至少含一個3階元，設(shè)為a,則a a2,且a2a aa2。令b a2的證。21 .設(shè)G是M(R)上的加法群，n>2,判斷下述子集是否構(gòu)成子群。(1)全體對稱矩陣是子群(2)全體對角矩陣是子群(3)全體行列式大于等于0的矩陣.不是子群(4)全體上(下)三角矩陣。是子群22 .設(shè)G為群，a是G中給定元素，a的正規(guī)化子N (a)表示G中與a可交換的元素構(gòu)成 的集合，即N(a) =x I x C GA xa=ax證明N (a)構(gòu)成G的子群。證明：ea=ae, e N (a)x, y N (a), 貝1J ax xa, ay yaa(xy) (ax)y (xa)y x(ay) x(ya) (xy)a,所以 xy N(a)由 ax xa ,得 x 1 axx 1 x 1 xax 1,x 1ae eax 1 ,即 x 1a ax 1 ,所以 x 1 N(a)所以N (a)構(gòu)成G的子群31.設(shè)1是群G到G的同態(tài)，2是G到G的同態(tài)，證明12是G到G的同態(tài)。證明：有已知1是G到G的函數(shù)，2是G到G的函數(shù)，則1 - 2是G到G的函數(shù)。a,b G1, ( 12)(ab)2( 1(ab)2( 1(a) 1(b)(2( 1(a)( 2( 1(b)( 12)(a)( 12)(b)所以：1 -2是G到G的同態(tài)33.證明循環(huán)群一定是阿貝爾群，說明阿貝爾群是否一定為循環(huán)群，并證明你的結(jié)論證明：設(shè)G是循環(huán)群，令G=<a>, x,y G,令x ak, y al,那么xy akalak lal kalakyx,G 是阿貝爾群e a b ce e a b c是交換群，但不是循環(huán)群，因為e是一階元,a,b,c是二階元。克萊因四元群，G e,a,b,c a b c a b c e c b c e a b a e36.設(shè)，是5元置換，且1234512345214533 4 5 1 2計算，1,1,1；將，1,1表成不交的輪換之積。(3)將(2)中的置換表示成對換之積，并說明哪些為奇置換，哪些為偶置換解：11 2 3 4 52 15 3 41 2 3 4 54 3 12 51 2 3 4 55 4 13 21 2 3 4 54 5 12 3(1425)1(14253)1(143)(25)(3)(14)(12)(15)奇置換,(14)(12)(15)(13) 偶置換(14)(13)(25)奇置換第十四章部分課后習題參考答案5、設(shè)無向圖G有10條邊，3度與4度頂點各2個，其余頂點的度數(shù)均小于 3,問G至少有多少個頂點？在最少頂點的情況下，寫出度數(shù)列、(G)、(G)。解：由握手定理圖G的度數(shù)之和為：2 10 203度與4度頂點各2個，這4個頂點的度數(shù)之和為14度。其余頂點的度數(shù)共有6度。其余頂點的度數(shù)均小于3,欲使G的頂點最少，其余頂點的度數(shù)應(yīng)都取 2,所以，G至少有7個頂點，出度數(shù)列為3,3,4,4,2,2,2,(G) 4, (G) 2.7、設(shè)有向圖D的度數(shù)列為2,3,2, 3,出度列為1,2,1,1,求D的入度列，并求(D), (D),(D),(D),(D),(D).解：D的度數(shù)列為2, 3, 2, 3,出度列為1, 2, 1, 1, D的入度列為1,1,1,2.(D) 3, (D) 2,(D) 2,(D) 1,(D) 2,(D) 18、設(shè)無向圖中有6條邊，3度與5度頂點各1個，其余頂點都是2度點，問該圖有多少 個頂點？解：由握手定理圖G的度數(shù)之和為：2 6 12設(shè)2度點x個，則3 1 5 1 2x 12, x 2,該圖有4個頂點.14、下面給出的兩個正整數(shù)數(shù)列中哪個是可圖化的？對可圖化的數(shù)列，試給出 3種非同 構(gòu)的無向圖，其中至少有兩個時簡單圖。(1) 2,2,3,3,4,4,5(2) 2,2,2,2,3,3,4,4解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇數(shù)，不可圖化；2 +2+2+2+3+3+4+4=16,是偶數(shù)，可圖化；18、設(shè)有3個4階4條邊的無向簡單圖G、G、G,證明它們至少有兩個是同構(gòu)的。證明：4階4條邊的無向簡單圖的頂點的最大度數(shù)為 3,度數(shù)之和為8,因而度數(shù)列 為2, 2, 2, 2; 3, 2, 2, 1; 3, 3, 1, 1。但3, 3, 1, 1對應(yīng)的圖不是簡單圖。所以從同構(gòu)的觀點看，4階4條邊的無向簡單圖只有兩個:所以，G、G、G至少有兩個是同構(gòu)的。20、已知n階無向簡單圖G有m條邊，試求G的補圖G的邊數(shù)m解：m n(nm221、無向圖G如下圖(1)求G的全部點割集與邊割集，指出其中的割點和橋；(2)求G的點連通度k(G)與邊連通度(G)。解：點割集：a,b,(d)邊割集e2,e3,e3,e4,e1,e2,e1,e4e1,e3,e2,e4,e5k(G)= (G)=128、設(shè)n階無向簡單圖為3-正則圖，且邊數(shù)m與n滿足2n-3=m問這樣的無向圖有幾種 非同構(gòu)的情況？解： 3n 2m 得 n=6,m=9.2n 3 m31、設(shè)圖G和它的部圖G的邊數(shù)分別為m和m,試確定G的階數(shù)。解：m m n(n一1) 245、有向圖D如圖(1) 求V2到V5長度為111 8(m m)得n 2,2, 3, 4的通路數(shù);求V5到V5長度為1, 2, 3, 4的回路數(shù);(3)求D中長度為4的通路數(shù)；(4)求D中長度小于或等于4的回路數(shù)；(5)寫出D的可達矩陣。解：有向圖D的鄰接矩陣為:0 020 1 , A20 00 10 100 10 100000201010A3000022020020200020202020002020000040 0 0 0 44 0 4 0 04A 0 0 0 0 44 0 4 0 00 4 0 4 02 n 3AAAA40 12 15525222 12 154252225254(1) V2到V5長度為1,2,3, 4的通路數(shù)為0,2,0,0;(2) V5到V5長度為1,2,3, 4的回路數(shù)為0,0,4,0;D中長度為4的通路數(shù)為32;D中長度小于或等于4的回路數(shù)10;1111111111出D的可達矩陣P 111111111111111第十六章部分課后習題參考答案1、畫出所有5階和7階非同構(gòu)的無向樹2、一棵無向樹T有5片樹葉，3個2度分支點，其余的分支點都是 3度頂點，問T有幾個頂點？ 解：設(shè)3度分支點x個，則5 1 3 2 3x 2 (5 3 x 1),解得 x 3T有11個頂點3、無向樹T有8個樹葉，2個3度分支點，其余的分支點都是 4度頂點，問T有幾個4度分支點？根據(jù)T的度數(shù)列，請至少畫出 4棵非同構(gòu)的無向樹。解：設(shè)4度分支點x個，則2 3 4x 2 (8 2 x 1),解得 x 2度數(shù)列1111111133444、棵無向樹T有Q(i=2 , 3,，k)個i度分支點，其余頂點都是樹葉，問T應(yīng)該有幾片樹葉？解：設(shè)樹葉x片，則ni i x 1 2 (ni x 1),解得 x (i 2)ni 2評論：2, 3, 4題都是用了兩個結(jié)論，一是握手定理，二是 m n 15、n(n>3)階無向樹T的最大度A(T)至少為幾？最多為幾？解：2, n-16、若n(n>3)階無向樹T的最大度=2,問T中最長的路徑長度為幾？解：n-17、證明：n(n > 2)階無向樹不是歐拉圖.證明：無向樹沒有回路，因而不是歐拉圖。8、證明：n(n > 2)階無向樹不是哈密頓圖.證明：無向樹沒有回路，因而不是哈密頓圖。9、證明：任何無向樹 T都是二部圖.證明：無向樹沒有回路，因而不存在技術(shù)長度的圈，是二部圖。10、什么樣的無向樹 T既是歐拉圖，又是哈密頓圖 ？解：一階無向樹14、設(shè)e為無向連通圖G中的一條邊，e在G的任何生成樹中，問e應(yīng)有什么性質(zhì)？ 解：e是橋15、設(shè)e為無向連通圖G中的一條邊，e不在G的任何生成樹中，問e應(yīng)有什么性質(zhì)？解：e是環(huán)23、已知n階m條的無向圖G是k(k >2)棵樹組成的森林，證明：m = n-k.；證明：數(shù)學歸納法。k=1時，m = n-1 ,結(jié)論成立；設(shè)k=t-1(t-11)時，結(jié)論成立，當k=t時，無向圖G是t棵樹組成的森林，任取兩棵樹，每棵樹任取一個頂點，這兩個頂點連線。則所得新圖有t-1棵樹，所以m = n- (k-1).所以原圖中m = n-k得證。24、在圖16.6所示2圖中，實邊所示的生成子圖 T是該圖的生成樹.(1)指出T的弦，及每條弦對應(yīng)的基本回路和對應(yīng)T的基本回路系統(tǒng)(2)指出T的所有樹枝，及每條樹枝對應(yīng)的基本割集和對應(yīng)T的基本割集系統(tǒng)(a)(b)圖 16.16解：(a)T 的弦：c,d,g,hT 的基本回路系統(tǒng):S=a,c,b,a,b,f,d,e,a,b,h,e,a,b,f,gT的所有樹枝：e,a,b,fT 的基本割集系統(tǒng):S=e,g,h,a,c,d,g,h,b,c,d,g,h,f,d,g (b)有關(guān)問題仿照給出25、求圖16.17所示帶權(quán)圖中的最小生成樹.圖 16.17(a)(b)解：注：答案不唯一。37、畫一棵權(quán)為3, 4, 5, 6, 7, 8, 9的最優(yōu)2叉樹，并計算出它的權(quán)38.下面給出的各符號串集合哪些是前綴碼？A1=0,10,110,1111 是前綴碼A2=1,01,001,000 是前綴碼A3=1,11,101,001, 0011 不是前綴碼A4=b, c, aa, ac, aba, abb, abc是前綴碼A5= b , c, a, aa, ac, abc, abb, aba 不是前綴碼41.設(shè)7個字母在通信中出現(xiàn)的頻率如下：a: 35%b: 20%c: 15%d: 10%e: 10%f: 5%g: 5%.并指出傳輸用Huffman算法求傳輸它們的前綴碼.要求畫出最優(yōu)樹，指出每個字母對應(yīng)的編碼10n(n >2)個按上述頻率出現(xiàn)的字母，需要多少個二進制數(shù)字解：a:01 b:10 c:000 d:110 e:001 f:1111 g:1110W(T)=5*4+5*4+10*3+10*3+15*3+20*2+35*2=255傳輸10n(n >2)個按上述頻率出現(xiàn)的字母，需要255*10 n-2個二進制數(shù)字