2019-2020年高一數學 3.5等比數列的前n項和（備課資料） 大綱人教版必修.doc

2019-2020年高一數學 3.5等比數列的前n項和（備課資料） 大綱人教版必修參考練習題1.若數列an的前n項和為Sn=an1(a0),則這個數列是A.等比數列B.等差數列C.等比或等差數列D.非等差數列分析：若a=1,則Sn=0,an=0則an為等差數列；若a1,則=a，an為等比數列答案：C2.等比數列an中，若S6=91,S2=7,則S4為A.28 B.32 C.35 D.49分析：由Sn=,得=7， S6=91 得：=13,即(q2)2+q212=0,q2=3代入得：,S4=(19)=28.答案：A3.數列an的通項公式為an=,若Sn=9,則n等于A.9B.10C.99D.100分析：由an=得Sn=(1+(=1+若Sn=9,即1+=9,n=99答案：C4.使數列，前n項之積大于105，則自然數n值為A.6 B.9 C.11 D.12分析：由已知得：105，即105,1+2+3+n55,55,解得n10答案：C5.已知兩數的等差中項是10，等比中項是8，則以這兩數為根的一元二次方程是A.x2+10x+8=0B.x210x+64=0C.x2+20x+64=0D.x220x+64=0解：設兩數為a,b,則a+b=20,ab=64a,b為x220x+64=0的兩根.答案：D6.在等比數列中，若S10=10,S20=30,則S30= .解法一：由S10=a1+a2+a10=10,S20=a1+a2+a20=10+q10(a1+a2+a10)=(1+q10)10=30q10=2,q20=4,S30=S20+a21+a30=S20+q20(a1+a2+a10)=70.解法二：在等比數列中，S10,S20S10,S30S20成等比數列，又S10=10,S20S10=20,S30S20=40,S30=40+S20=40+30=70.答案：707.在正實數組成的等比數列中，若a4a5a6=3,則log3a1+log3a2+log3a8+log3a9= .解：原式=log3a1a2a8a9=log3(a4a6)2=2log3a4a6=4log3a5又a4a5a6=a53=3,a5=原式=4log3=4log3log33=.答案：8.在等比數列中，a1+a2+a3+a5=3,a6+a7+a8+a9+a10=9,則a11+a12+a13+a14+a15= .分析：設等比數列an的公比為q,則a6+a7+a8+a9+a10=q5(a1+a2+a3+a4+a5)即9=3q5,q5=3,q10=9又a11+a12+a13+a14+a15=q10(a1+a2+a3+a4+a5)=93=27.答案：279.已知等差數列an的公差d0，且a1,a3,a9成等比數列，則= .分析：a1,a3,a9成等比數列，（a1+2d）2=a1(a1+8d)即a1=d,.答案：10.數列1，2，3，的前n項和為 .分析：Sn=1+2+3+n=(1+)+(2+)+(3+)+(n+)=(1+2+3+n)+( +)=答案： 11.已知等比數列中an：1，2，4，8，它的第n項為an，求a3n.解：an=a1qn1=2n1,an=2n1a3n=23n112.已知數列an中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2(n=1,2,),a1=1(1)設bn=an+12an(n=1,2,),求證bn是等比數列;(2)設cn=(n=1,2,),求證cn是等差數列；（3）求數列an的通項公式及前n項和公式.解：（1）Sn+1=4an+2Sn+2=4an+1+2 得Sn+2Sn+1=4an+14an(n=1,2,)，即an+2=4an+14anan+22an+1=2(an+12an)bn=an+12an(n=1,2,)bn+1=2bn由此可知，數列bn是公比為2的等比數列.由S2=a1+a2=4a1+2,又a1=1,得a2=5b1=a22a1=3,bn=32n1(2)cn= (n=1,2,),cn+1cn=將bn=32n1代入，得cn+1cn=(n=1,2,)由此可知：數列cn是公差為的等差數列，c1= ,故cn=+(3)cn=an=2ncn=(3n1)2n2(n=1,2,)當n2時，Sn=4an1+2=(3n4)2n1+2.由于S1=a1=1也適合于此式,前n項公式為Sn=(3n4)2n1+2備課資料參考練習題1.數列an為正數的等比數列，它的前n項和為80，且前n項中數值最大的項為54，它的前2n項的和為6560，求此數列的首項和公比.分析：利用等比數列的前n項和公式Sn=解題.解：若q=1，則應有S2n=2Sn,與題意不合，故q1.當q1時，由已知得：由，得=82,即q2n82qn+81=0得qn=81或qn=1(舍)qn=81,故q1.an的前n項中最大，有an=54.將qn=81代入，得a1=q1由an=a1qn1=54,得a1qn=54q即81a1=54q由得a1=2,q=3評述：在數學解題中還應有一個整體觀念，如本題求出qn=81,應保留qn為一個整體求解方便.2.已知數列an是等比數列，試判斷該數列依次k項的和組成的數列bn是否仍為等比數列？分析：應對an的公比q分類討論.解：設bn=a(n1)k+1+a(n1)k+2+ank,且數列an的公比為q則當q=1時，b1=b2=bn=ka1,bn為公比是1的等比數列.當q1時，bn=bn為公比是qk的等比數列.當q=1時，若k為偶數，則bn=0，此時bn不能為等比數列.若k為奇數，數列bn為公比為1的等比數列.綜上：當an的公比不為1時，數列bn仍為等比數列；當an的公比為1時，若k為偶數，則bn不是等比數列；當k為奇數時，數列bn為公比為1的等比數列.3.求數列1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,的前n項和Sn.解：(1)a=0時，Sn=1;(2)a=1時，Sn=n(n+1);(3)a=1時，Sn=(4)a=1;a0時，Sn=.4.數列an中，Sn=1+kan(k0,k1)(1)證明數列an為等比數列；（2）求通項an;(3)當k=1時，求和a12+a22+an2.分析：由于條件中涉及Sn與an的關系，因此，要考慮SnSn1=an(n2)的運用，然后回答定義.（1）證明：Sn=1+kanSn1=1+kan1得SnSn1=kankan1(n2)(k1)an=kan1, (常數)（n2），an是公比為的等比數列.（2）解：S1=a1=1+ka1,a1=an=()n1=(3)解：an中a1=,q=,an2為首項為（）2,公比為（）2的等比數列.當k=1時，等比數列an2的首項為，公比為a12+a22+an2=評述：應注意an=的應用.5.已知一個項數是偶數的等比數列的首項為1，其奇數項的和為85，偶數項的和為170，求這個數列的公比和項數.解：設數列的公比為q，項數為2n則,得q(a1+a3+a2n1)=170q=2,又=85,即=8522n=256=28,2n=8評述：在等比數列的通項公式和前n項和公式中，共涉及到a1,n,q,an,Sn5個量，其中a1和q是基本量，利用這兩個公式，可知三求二.6.等比數列an中，S4=1，S8=3，求a17+a18+a19+a20的值.分析：關鍵是確定首項和公比.解：設此數列的首項和公比為a1和q.則由得q4=2.a17+a18+a19+a20=S20S16=q16=24=16.評述：在研究等比數列的問題中，要確定基本量a1和q,仍然離不開方程思想，在具體求解時，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意優(yōu)化與化簡.7.求（x+）2+(x2+)2+(xn+)2的值分析：注意到（xn+）2=an=x2n+2,且x2n與()2n為等比數列，故可考慮拆項法.解：Sn=(x2+x4+x2n)+(+)+當x=1時， Sn=n+n+2n=4n.當x1時，Sn=+2n=評述：在運用等比數列的求和公式時，要注意分析公比是否為1.8.求數列2x2,3x3,4x4,nxn,的前n項和.分析：可以通過錯位相減的方法轉化為等比數列的求和問題.解：（1）當x=0時，Sn=0.(2)當x=1時，Sn=2+3+4+(n+1)= n(n+3).(3)當x1時，Sn=2x2+3x3+4x4+(n+1)xn+1xSn=2x3+3x4+4x5+nxn+1+(n+1)xn+2得：（1x）Sn=2x2+x3+x4+xn+1(n+1)xn+2=2x2+(n+1)xn+2Sn=又當x=1時，Sn=0適合Sn=評述：錯位相減法是一種常用的重要的求和方法.