高中數(shù)學 2-1-1《合情推理》同步課件 新人教A版選修1-2

課程目標1雙基目標(1)了解合情推理的含義，能利用歸納推理和類比推理等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)展中的作用(2)掌握演繹推理的基本模式，體會它們的重要性，并能運用它們進行一些簡單的推理(3)了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異(4)了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程與特點 (5)了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點2情感目標(1)結(jié)合已學過的數(shù)學實例和日常生活中的實例，讓學生體會數(shù)學與其他學科以及實際生活的聯(lián)系(2)通過合理推理與演繹推理的學習，讓學生了解數(shù)學不單是現(xiàn)成結(jié)論的體系，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程也是數(shù)學的重要內(nèi)容，從而形成對數(shù)學較為完整的認識，學習合情推理有助于培養(yǎng)學生進行歸納時的嚴謹作風，從而形成實事求是、力戒浮夸的思維習慣 (3)通過本章的學習，有助于發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)(4)通過本章的學習，有助于發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力重點難點本章重點是合情推理、演繹推理以及證明方法直接證明和間接證明合情推理是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的分析過程中常用到的思維方法，具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探索和提供思路的作用，有助于學生理解力的提高演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學體系的重要形式、培養(yǎng)和提高學生的演繹推理或邏輯推理是高中數(shù)學的重要目標，數(shù)學結(jié)論的重要性必須通過邏輯證明來保證證明包括直接證明和間接證明 學法探究學習本章時要注意基本數(shù)學思想，如歸納、類比、演繹推理以及綜合法、分析法、反證法的思想的理解和應用學習過程中應結(jié)合實例，運用合情推理去探索、猜測一些數(shù)學結(jié)論，并用演繹推理確認所得結(jié)論的正確性，或者用反例推翻錯誤的猜想學習重點在于理解與掌握研究問題的思維方式，感悟到猜測一個問題有時比證明一個問題更重要，以逐步形成科學的探索精神，而不要刻意去追求對概念的抽象表述 21合情推理與演繹推理 1知識與技能了解合情推理的含義2過程與方法能利用歸納推理和類比推理進行簡單的推理體會并認識合情推理在教學發(fā)現(xiàn)中的作用 本節(jié)重點：合情推理的定義及歸納推理和類比推理的定義本節(jié)難點：歸納和類比推理的基本方法 1對歸納推理的理解歸納推理是從個別事實中概括出一般結(jié)論的一種推理模式歸納推理的前提是特殊的情況，立足于觀察、試驗或經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，歸納推理的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)2歸納推理的一般步驟(1)觀察：通過觀察個別事物發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)(2)概括、歸納：從已知的相同性質(zhì)中概括、歸納出一個明確表述的一般性命題(3)猜測一般性結(jié)論：在一般情況下，如果歸納的個別情況越多，越具有代表性，那么猜測出的一般性結(jié)論也就越可靠 3對類比推理的理解類比推理是在兩類不同的事物之間進行對比，找出若干相同或相似之處之后，推測在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種推理模式類比推理的關(guān)鍵在于明確指出兩類對象在某些方面的相似特征4類比推理的一般步驟(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(或猜想) 一般情況下，如果類比的兩類事物的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的結(jié)論就越可靠類比推理的結(jié)論既可能真，也可能假，它是一種由特殊到特殊的認識過程，具有十分重要的實用價值 1歸納推理由某類事物的 具有某些特征，推出該類事物的 都具有這些特征的推理，或者由概括出的推理，稱為歸納推理(簡稱 )簡言之，歸納推理是由、由 的推理2類比推理由兩類對象具有和其中一類對象的，推出另一類對象也具有 的推理稱為類比推理(簡稱 )簡言之，類比推理是由的推理部分對象全部對象個別事實一般結(jié)論部分到整體個別到一般某些類似特征某些已知特征這些特征類比特殊到特殊歸納 3合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)，經(jīng)過，再進行 ，然后提出 的推理我們把它們稱為合情推理通俗地說，合情推理是指“”的推理已有的事實觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比猜想合乎情理 例1下面各列數(shù)都依照一定規(guī)律排列，在括號里填上適當?shù)臄?shù)：(1)1,5,9,13,17，()； 解析要在括號里填上適當?shù)臄?shù)，必須正確地判斷出每列數(shù)所具有的規(guī)律，為此必須進行仔細的觀察和揣摩(1)考察相鄰兩數(shù)的差：514,954，1394,17134可見，相鄰兩數(shù)之差都是4.按此規(guī)律，括號里的數(shù)減去17等于4，所以應填入括號里的數(shù)是17421. (4)分成兩列數(shù)：奇數(shù)位的數(shù)為32,16，(),4,2.可見前面括號中應填入8；偶數(shù)位的數(shù)為31,26，(),16,11.括號中的數(shù)應填入21.所以兩括號內(nèi)依次填入8,21.點評從上面例子可以看到，觀察時不可把眼光停留在某一點上固定不變，而要注意根據(jù)問題特點不斷調(diào)整自己觀察的角度，以利于觀察出有一定隱蔽性的內(nèi)在規(guī)律 若an12an1(n1,2,3，)且a11(1)求a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項公式an.解析(1)由已知a11，an12an1，得a23221，a37231，a415241，a 531251.(2)歸納猜想，得an2n1(n N*). 例2如圖，在圓內(nèi)畫一條線段，將圓分成兩部分；畫兩條線段，彼此最多分割成4條線段，同時將圓分割成4部分；畫三條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫四條線段，彼此最多分割成16條線段，將圓最多分割成11部分 那么：(1)在圓內(nèi)畫5條線段，它們彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？(2)猜想：圓內(nèi)兩兩相交的n(n2)條線段，彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？分析由題目可獲取以下主要信息：在圓內(nèi)畫線段；所畫線段彼此分割線段的條數(shù)和將圓分割的部分的個數(shù)解答本題可先從幾個特殊的數(shù)值入手，再根據(jù)給出的數(shù)值特點進行歸納猜想 點評在幾何中隨著點、線、面等元素的增加，探究相應的線段、交點、區(qū)域部分等的增加情況常用歸納推理解決，分析時遞推關(guān)系的尋找是重點 (1)如圖(a)、(b)、(c)、(d)所示為四個平面圖形，數(shù)一數(shù)，每個平面圖形各有多少個頂點？多少條邊？它們將平面圍成了多少個區(qū)域？ (2)觀察上表，推斷一個平面圖形的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系？頂點數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)(a)(b)(c)(d) 解析各平面圖形的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)分別為(2)觀察：3232；86122；6592；107152通過觀察發(fā)現(xiàn)，它們的頂點數(shù)V，邊數(shù)E，區(qū)域數(shù)F之間的關(guān)系為VFE2.頂點數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)(a) 3 3 2(b) 8 12 6(c) 6 9 5(d) 10 15 7 請運用類比思想，對于空間中的四面體VBCD，存在什么類似的結(jié)論？并用體積法證明解析考慮到用“面積法”證明結(jié)論時，把O點與三角形的三個頂點連結(jié)，把三角形分成三個三角形，利用面積相等來證明相應結(jié)論在證明四面體中類似結(jié)論時，可考慮利用體積的方法相應結(jié)論 點評在類比推理中，找出兩類事物之間的相似性或一致性，特別是由平面向空間類比中，注意研究空間和平面的根本區(qū)別 找出三角形與四面體的相似性質(zhì)，并用三角形的下列性質(zhì)類比四面體的有關(guān)性質(zhì)：(1)三角形任意兩邊之和大于第三邊；(2)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，且這個點是三角形內(nèi)切圓的圓心；(3)三角形的中位線等于第三邊的一半，且平行于第三邊 解析三角形與四面體有下列相似的性質(zhì)：三角形是平面內(nèi)由直線段所圍成的最簡單的封閉圖形；四面體是空間中由平面所圍成的最簡單的封閉圖形三角形可以看作平面上一條線段外一點與這條線段上各點連線所形成的圖形；四面體可以看作空間中一個三角形所在平面外一點與這個三角形上各點連線所形成的圖形根據(jù)三角形的性質(zhì)，可以推測空間四面體的性質(zhì)如下： 三角形四面體三角形任意兩邊之和大于第三邊四面體任意三個面的面積之和大于第四個面的面積三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，且這個點是三角形內(nèi)切圓的圓心四面體的六個二面角的平分面交于一點，且這個點是四面體內(nèi)切球的球心三角形的中位線等于第三邊的一半，且平行于第三邊四面體的中截面(以任意三條棱的中點為頂點的三角形)的面積等于第四個面的面積的 ，且平行于第四個面 點評雖然由類比所得到的結(jié)論未必是正確的，但它所具有的由特殊到特殊的認識功能，對于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律和事實卻是十分有用的 例4在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1a2ana1a2a19n(n19，n N)成立，類比上述性質(zhì)，相應地在等比數(shù)列bn中，若b91，則有等式_成立答案b1b2bnb1b2b17n(n17，n N*)解析本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比一種較本質(zhì)的認識是：等差數(shù)列用減法定義性質(zhì)用加法表述(若m、n、p、q N ，且mnpq，則amanapaq)； 等比數(shù)列用除法定義性質(zhì)用乘法表述(若m、n、p、q N，且mnpq，則amanapaq)由此，猜想本題的答案為：b1b2bnb1b2b17n(n17，n N*)事實上，對等差數(shù)列an，如果ak0，則an1a2k1nan2a2k2nakak0.所以有：a1a2ana1a2an(an1an2a2k2na2k1 n)(n2k1，n N)從而對等比數(shù)列bn，如果bk1，則有等式：b1b2bnb1b2b2k1n(n2k1，n N)成立 點評本題是一道小巧而富于思考的妙題，主要考查觀察分析能力，抽象概括能力，考查運用類比思想方法由等差數(shù)列an而得到等比數(shù)列bn的新的一般性的結(jié)論 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，利用類比方法試寫出等比數(shù)列的一些性質(zhì).等差數(shù)列性質(zhì)an，公差d等比數(shù)列性質(zhì)bn，公比q若mnpq則amanapaq若mn2p，則aman2apak，akm，ak2m，構(gòu)成公差為md的等差數(shù)列S n為前n項和，則Sn，S2nSn，S3nS2n成公差為n2d的等差數(shù)列aman(mn)d 點評類比推理又稱類比法它是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其它屬性也相同的推理簡單地說，類比推理是由特殊到特殊的推理 例5請用類比推理完成下表 一、選擇題1數(shù)列2,5,11,20，x,47，中的x等于()A28B32C33D27答案B解析由以上各數(shù)可得每兩個數(shù)之間依次差3,6,9,12故x201232 2下列說法正確的是()A由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B合情推理必須有前提有結(jié)論C合情推理不能猜想D合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤答案B解析合情推理的結(jié)論不一定正確，是否正確需進一步證明且合情推理有前提，故A、D錯，合情推理能猜想，故C錯 3若把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序，是從2010到2012的箭頭方向依次為() 1458912 2367 1011A B C D答案D解析根據(jù)箭頭方向找規(guī)律，每相鄰四個數(shù)字，箭頭方向相同，20104502余2，故同數(shù)字2處的方向，故選D. 4下列說法中正確的是()A合情推理就是正確的推理B合情推理就是類比推理C歸納推理是從一般到特殊的推理過程D類比推理是從特殊到特殊的推理過程答案D 二、填空題5由數(shù)列1,10,100,1000，猜想，數(shù)列的第n項可能是_答案10n1.解析 1100,10101,100102,1000103，可猜想第n項是10n1 6正方形的面積為邊長的平方，則在立體幾何中，與之類比的圖形是_，結(jié)論是_答案正方體正方體的體積為棱長的立方解析利用類比思想可知平面圖形與空間幾何體對應，故正方形類比正方體，面積與體積類比