2019-2020年高考數(shù)學(xué) 平面幾何例講解答競(jìng)賽.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué) 平面幾何例講解答競(jìng)賽基本內(nèi)容：五心性質(zhì)；共點(diǎn)線與共線點(diǎn)；共圓點(diǎn)；托勒密定理；西摩松定理；斯特瓦特定理；面積方法；幾何變換；根軸與反演。1、如圖，四邊形中，自對(duì)角線的交點(diǎn)，作于，線段交于，交于，是線段上的任意一點(diǎn).證明：點(diǎn)到線段的距離等于到線段、的距離之和.證：易知，四邊形共圓，共圓，因此，.即平分；又由共圓，得，即平分.設(shè)于，于，于，過點(diǎn)作，交于，交于；過點(diǎn)作，交于，交于；再作于于，則由平行線及角平分線的性質(zhì)得，.為證，只要證 .由平行線的比例性質(zhì)得，因此 ，由于與的對(duì)應(yīng)邊平行，且平分，故是的平分線.從而 ，即所證結(jié)論成立.2、在中，,內(nèi)心為，內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)分別為、, 設(shè)是關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，是關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).求證：四點(diǎn)共圓.證：設(shè)直線交的外接圓于點(diǎn)，易知是的中點(diǎn)。記的中點(diǎn)為，則設(shè)點(diǎn)在直線上的射影為，由于則半周長(zhǎng)，于是，又，所以，且相似比為2，熟知；。又，所以，即是的中點(diǎn)進(jìn)而，所以都在以為圓心的同一個(gè)圓周上3、如圖，中，分別是邊 上的點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)，使 ；點(diǎn)分別是，的垂心.證明：.證：如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，則也是的中點(diǎn)，據(jù)中位線知，在中，；在中，即，所以:，且，.為證，只要證. 以為圓心，為直徑作，其半徑記為；以為圓心，為直徑作，其半徑記為，設(shè)直線交于，交于，由于點(diǎn)是的垂心，則，所以共圓，故有 另一方面，由于可知，在上，在上，從而，因此化為，即 又設(shè)直線交于，交于，由于點(diǎn)是的垂心，則，所以共圓，故有 再由 可知，在上，在上，從而，因此化為，即 據(jù)、得，所以 ，而，所以.4、如圖，O1、O2、O3分別外切O于A1、B1、C1，并且前三個(gè)圓還分別與ABC的兩條邊相切.求證：三條直線AA1、BB1、CC1相交于一點(diǎn).證明：設(shè)及分別是四個(gè)圓的圓心，其半徑分別為與，的內(nèi)切圓半徑為，顯然，為的三條內(nèi)角平分線，故相交于其內(nèi)心.設(shè)（定值）.記，對(duì)于，因?yàn)镺與的切點(diǎn)在連心線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，則直線必與線段相交，其交點(diǎn)設(shè)為.同理可設(shè)，直線 .只須證重合.直線截于，由梅尼勞斯定理，即 同理有 ,以及 易知 ，所以 ，從而，故 ，所以，因此共點(diǎn)，即交于一點(diǎn).5、四邊形內(nèi)接于，是的切線（為切點(diǎn)）；證明：三線共點(diǎn)證明：以為基本線，設(shè)，只要證，共點(diǎn)；因?yàn)?，只要證，即要證，；因?yàn)?故分別得到，；所以，因此結(jié)論得證6、四邊形內(nèi)接于，是的切線（為切點(diǎn)）；證明：（）四點(diǎn)共線；（）是的垂心證明：（）、據(jù)上題，三點(diǎn)共線，只要證，點(diǎn)在上，以為基本線，且設(shè)；則，；只要證，即要證，即 因?yàn)?則 ，；相乘得，故結(jié)論得證（）因是的切線，則垂直平分，而四點(diǎn)共線，則，據(jù)的對(duì)稱性，有（因?yàn)椋糇砸那芯€，類似可得，共線，垂直平分，所以）；因此，點(diǎn)為的垂心（同時(shí)，點(diǎn)也是的垂心）7、中，是角平分線上的任一點(diǎn)，分別是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，；若分別是的中點(diǎn)；證明：證：如圖，延長(zhǎng)，分別與交于，注意關(guān)于頂點(diǎn)的等高性及等角性，由面積比定理，（記號(hào)表示面積），所以 又由，得 ，所以 ，由、得，即 取的中點(diǎn)，據(jù)中位線知，,由，作角分線，則，因，所以其角分線，因，得8、已知、分別是的外接圓和內(nèi)切圓；證明：過上的任意一點(diǎn)，都可作一個(gè)三角形，使得、分別是的外接圓和內(nèi)切圓證：如圖，設(shè)，分別是的外接圓和內(nèi)切圓半徑，延長(zhǎng)交于，則，延長(zhǎng)交于；則，即；過分別作的切線，在上，連，則平分，只要證，也與相切；設(shè)，則是的中點(diǎn)，連，則，所以，由于在角的平分線上，因此點(diǎn)是的內(nèi)心，（這是由于，而，所以，點(diǎn)是的內(nèi)心）即弦與相切9、如圖，四邊形內(nèi)接于，而與外切于點(diǎn)，且都內(nèi)切于，若對(duì)角線分別是、的內(nèi)、外公切線；證明：點(diǎn)是的內(nèi)心證：先證引理：若內(nèi)切于，的弦切于，延長(zhǎng)交于，則是的中點(diǎn)，且如圖，作兩圓的公切線，因是的切線，則，而，所以，即是的中點(diǎn)，又由:，得到回到本題，設(shè)，分別切于，切于，據(jù)引理知直線過的中點(diǎn)，則，而，所以，故在，的根軸上，即在內(nèi)公切線上，所以與重合，即是的中點(diǎn)，故平分；又由，得，于是 ，即，而，所以，因此平分，從而是的內(nèi)心10、銳角三角形中，在邊上分別有動(dòng)點(diǎn)，試確定，當(dāng)取得最小值時(shí)的面積解：對(duì)于任一個(gè)內(nèi)接，暫將固定，而讓在上移動(dòng)，設(shè)的中點(diǎn)為，則由中線長(zhǎng)公式，因此在固定后，欲使取得最小值，當(dāng)使達(dá)最小，但是為上的定點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，達(dá)最小，再對(duì)作同樣的討論，可知，當(dāng)取得最小值時(shí)，的三條中線必定垂直于三角形的相應(yīng)邊；今設(shè)重心為，面積為，的面積為，則 由于分別共圓，則，故由，同除以，得，所以，又由，即，所以，因而（其中）11、如圖，的外心為，是的中點(diǎn)，直線交于，點(diǎn)分別是的外心與內(nèi)心，若，證明：為直角三角形.證：由于點(diǎn)皆在的中垂線上，設(shè)直線交于，交于，則是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn); 因是的內(nèi)心，故共線，且.又 是的中垂線，則，而為的內(nèi)、外角平分線，故有，則為的直徑，所以，又因，則. 作于，則有，且，所以，故得 ，因此，是的中位線，從而 ，而，則.故為直角三角形證二：記，因是的中垂線，則，由條件 延長(zhǎng)交于，并記，則，對(duì)圓內(nèi)接四邊形用托勒密定理得，即，由、得，所以，即是弦的中點(diǎn)，而為外心，所以，故為直角三角形12、試證費(fèi)爾巴赫定理： 三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切于其九點(diǎn)圓；而其三個(gè)旁切圓皆與九點(diǎn)圓相外切證：若為等腰三角形，顯然其內(nèi)切圓在底邊中點(diǎn)處與九點(diǎn)圓內(nèi)切；只須考慮的三邊不等時(shí)的情況，如圖所示，設(shè)邊的中點(diǎn)分別為，內(nèi)切圓切這三邊于，過作的切線交于，為切點(diǎn)，連，則點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱，所以，作于，連，設(shè)，是的中位線，因，所以 ，又由，得，因，則共圓，所以，得，因此 ，即；又 ，所以，故共圓，而在中，所以 因中位線，是直角三角形的斜邊中點(diǎn)，則，在中，得 ，由得，故共圓，而過點(diǎn)、的圓即是的九點(diǎn)圓，即在九點(diǎn)圓上，因此是的內(nèi)切圓與九點(diǎn)圓的公共點(diǎn)； 再證，這兩圓在點(diǎn)處相切：過作內(nèi)切圓的切線（點(diǎn)和點(diǎn)在直線的同側(cè)），與同是的切線，則，因共圓，故，從而與的外接圓相切于點(diǎn)，即與的九點(diǎn)圓相切于點(diǎn)所以是兩圓的公切線，因此三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切于其九點(diǎn)圓（用類似的方法可證得旁切圓與九點(diǎn)圓相切采用結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換方法，先將旁切圓情形下的相應(yīng)點(diǎn)的符號(hào)以及輔助線仿照內(nèi)切圓情況給出，再將證明移植） 今考慮旁切圓情況，不妨設(shè)，為邊外的旁切圓，為的中點(diǎn)，若，則顯然與九點(diǎn)圓切于的中點(diǎn)；若，如圖，設(shè)切于，角分線，于，過作的切線，交于，為切點(diǎn)，連，則垂直平分，所以；是的中位線，又因， 所以 ，又由，得，因，則共圓，所以，得，因此 ，即；又 ，所以，故共圓，因?yàn)橹形痪€，而是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，所以，故得，所以共圓， 而過點(diǎn)、的圓即是的九點(diǎn)圓，即在九點(diǎn)圓上，因此是的旁切圓與九點(diǎn)圓的公共點(diǎn)； 再證，這兩圓在點(diǎn)處相切：過作旁切圓的切線（在切線上，取點(diǎn)和點(diǎn)在直線的同側(cè)，取點(diǎn)和點(diǎn)在直線的異側(cè)），與同是的切線，則，因共圓，得，所以，即，從而與的外接圓相切于點(diǎn)，即與的九點(diǎn)圓相切于點(diǎn)所以是兩圓的公切線，因此三角形的旁切圓，外切于其九點(diǎn)圓