2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習《三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)》講義.doc

2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)講義基礎(chǔ)梳理1“五點法”描圖(1)ysin x的圖象在0,2上的五個關(guān)鍵點的坐標為 (0,0)(，0)(2，0) (2)ycos x的圖象在0,2上的五個關(guān)鍵點的坐標為 (0,1)，(，1)，(2，1) 2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)ysin xycos xytan x定義域RRx|xk，kZ圖象 值域1,11,1R對稱性對稱軸：_ xk(kZ)_ _；對稱中心：_ (k，0)(kZ)_ _對稱軸： xk(kZ)_；對稱中心：_(k，0) (kZ)_ 對稱中心：_ (kZ) _周期2_2單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間_2k，2k(kZ)_；單調(diào)減區(qū)間2k，2k (kZ) _單調(diào)增區(qū)間2k，2k (kZ) _；單調(diào)減區(qū)間2k，2k(kZ)_單調(diào)增區(qū)間_(k，k)(kZ)_ 奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)3.一般地對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零的常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(xT)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期，把所有周期中存在的最小正數(shù)，叫做最小正周期(函數(shù)的周期一般指最小正周期)對函數(shù)周期性概念的理解周期性是函數(shù)的整體性質(zhì)，要求對于函數(shù)整個定義域范圍的每一個x值都滿足f(xT)f(x)，其中T是不為零的常數(shù).如果只有個別的x值滿足f(xT)f(x)，或找到哪怕只有一個x值不滿足f(xT)f(x)，都不能說T是函數(shù)f(x)的周期.函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為 ，ytan(x)的最小正周期為 .4.求三角函數(shù)值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性；關(guān)于正、余弦函數(shù)的有界性由于正余弦函數(shù)的值域都是1,1，因此對于xR，恒有1sin x1，1cos x1，所以1叫做ysin x，ycos x的上確界，1叫做ysin x，ycos x的下確界.(2)形式復雜的函數(shù)應化為yAsin(x)k的形式逐步分析x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域；含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響.(3)換元法：把sin x或cos x看作一個整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問題利用換元法求三角函數(shù)最值時注意三角函數(shù)有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x(|t|1)，則y(t2)211，解法錯誤.5.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應先把函數(shù)式化成形如yAsin(x) (>0)的形式，再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出x所在的區(qū)間.應特別注意，應在函數(shù)的定義域內(nèi)考慮.注意區(qū)分下列兩題的單調(diào)增區(qū)間不同;利用換元法求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(要注意x系數(shù)的正負號) (1)ysin；(2)ysin.熱身練習:1函數(shù)ycos，xR()A是奇函數(shù) B既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)C是偶函數(shù) D既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 2函數(shù)ytan的定義域為()A.B.C. D.3函數(shù)ysin(2x)的圖象的對稱軸方程可能是( )Ax Bx Cx Dx【解析】令2xk，則x(kZ)當k0時，x，選D.4ysin的圖象的一個對稱中心是()A(，0) B. C. D.解析ysin x的對稱中心為(k，0)(kZ)，令xk(kZ)，xk(kZ)，由k1，x得ysin的一個對稱中心是.答案B5下列區(qū)間是函數(shù)y2|cos x|的單調(diào)遞減區(qū)間的是()A.(0，)B. C. D.6已知函數(shù)f(x)sin(2x)，其中為實數(shù)，若f(x)|f()|對任意xR恒成立，且f()>f()，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )Ak，k(kZ) Bk，k(kZ)Ck，k(kZ) Dk，k(kZ) 【解析】當xR時，f(x)|f()|恒成立，f()sin()1可得2k或2k，kZf()sin()sin>f()sin(2)sinsin<0 2k由2k2x2k 得xk，k(kZ)，選C.7.函數(shù)f(x)cosxR的最小正周期為_4_8.y23cos的最大值為_5_，此時x_2k，kZ _.9函數(shù)y(sinxa)21，當sinx1時，y取最大值；當sinxa時，y取最小值，則實數(shù) 1a0.10函數(shù)f(x)sin2xsinxcosx在區(qū)間，上的最大值是 .【解析】f(x)sin2xsin2xcos2xsin(2x)，又x，2x. 當2x即x時，f(x)取最大值.題型一與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域問題例1求下列函數(shù)的定義域：(1)ylgsin(cos x)； (2)y.解(1)要使函數(shù)有意義，必須使sin(cos x)>0.1cos x1，0<cos x1.利用單位圓中的余弦線OM，依題意知0<OM1，OM只能在x軸的正半軸上，其定義域為 x|2k<x<2k，kZ.(2)要使函數(shù)有意義，必須使sin xcos x0.利用圖象.在同一坐標系中畫出0,2上ysin x和ycos x的圖象，如圖所示.在0,2內(nèi)，滿足sin xcos x的x為，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，所以定義域為.變式訓練1 (1)求函數(shù)的定義域；解(1)要使函數(shù)有意義，則 圖如圖利用單位圓得：函數(shù)的定義域為x|2k<x<2k，kZ. (2)求函數(shù)的定義域.要使函數(shù)有意義則利用數(shù)軸可得圖圖函數(shù)的定義域是x|0<x<或x4.題型二、三角函數(shù)的五點法作圖及圖象變換例2已知函數(shù)f(x)4cosxsin(x)1.(1)用五點法作出f(x)在一個周期內(nèi)的簡圖；(2)該函數(shù)圖象可由ysinx(xR)的圖象經(jīng)過怎樣的平移變換與伸縮變換得到？【解析】(1)yf(x)4cosxsin(x)14cosx(sinxcosx)1sin2x2cos2x1sin2xcos2x2sin(2x)2x02xy02020函數(shù)yf(x)在，上的圖象如圖所示【點評】“五點法作圖”應抓住四條：化為yAsin(x)(A0，0)或yAcos(x)(A0，0)的形式；求出周期T；求出振幅A；列出一個周期內(nèi)的五個特殊點當畫出某指定區(qū)間上的圖象時，應列出該區(qū)間的特殊點題型三 三角函數(shù)圖象與解析式的相互轉(zhuǎn)化例3函數(shù)f(x)Asin(x)(xR，A>0，>0,0<<)的部分圖象如圖所示(1)求f(x)的解析式；(2)設(shè)g(x)f(x)2，求函數(shù)g(x)在x，上的最大值，并確定此時x的值【解析】(1)由圖可知A2，則4 .又f()2sin()2sin()0sin()00<<，<<0，即f(x)2sin(x)(2)由(1)可得f(x)2sin(x)2sin(x)g(x)f(x)2422cos(3x)x， 3x，當3x，即x時，g(x)max4.【點評】根據(jù)yAsin(x)K的圖象求其解析式的問題，主要從以下四個方面來考慮：A的確定：根據(jù)圖象的最高點和最低點，即A；K的確定：根據(jù)圖象的最高點和最低點，即K；的確定：結(jié)合圖象，先求出周期，然后由T(>0)來確定；的確定：由函數(shù)yAsin(x)K最開始與x軸的交點(最靠近原點)的橫坐標為(即令x0，x)確定.例4若方程sinxcosxa在0,2上有兩個不同的實數(shù)根x1，x2，求a的取值范圍，并求此時x1x2的值【解析】sinxcosx2sin(x)，x0,2，作出y2sin(x)在0,2內(nèi)的圖象如圖由圖象可知，當1a2或2a1時，直線ya與y2sin(x)有兩個交點，故a的取值范圍為a(2,1)(1,2)當1a2時，x1x2.x1x2.當2a1時，x1x23，x1x2.【點評】利用三角函數(shù)圖象形象直觀，可使有些問題得到順利、簡捷的解決，因此我們必須準確把握三角函數(shù)“形”的特征例4已知函數(shù)f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0，0)的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為M(，2)(1)求f(x)的解析式；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位后，再將所得圖象上各點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標不變，得到y(tǒng)g(x)的圖象，求函數(shù)yg(x)的解析式，并求滿足g(x)且x0，的實數(shù)x的取值范圍【解析】(1)由函數(shù)圖象的最低點為M(，2)，得A2，由x軸上相鄰兩個交點間的距離為，得，即T，2.又點M(，2)在圖象上，得2sin(2)2，即sin()1，故2k，kZ，2k，又(0，)，.綜上可得f(x)2sin(2x)(2)將f(x)2sin(2x)的圖象向右平移個單位，得到f1(x)2sin2(x)，即f1(x)2sin2x的圖象，然后將f1(x)2sin2x的圖象上各點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標不變，得到g(x)2sin(22x)，即g(x)2sin4x.由得.則即.故x 或 x.題型四 、三角函數(shù)的奇偶性與周期性及應用例1已知函數(shù)f(x)sin(x)，其中0，|.(1)若coscossinsin0，求的值；(2)在(1)的條件下，若函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求函數(shù)f(x)的解析式；并求最小正實數(shù)m，使得函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個單位后所對應的函數(shù)是偶函數(shù)【解析】(1)由coscossinsin0 得cos()0.|<，.(2)由已知得，T，3 f(x)sin(3x)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個單位后所對應的函數(shù)為g(x)，則g(x)sin3(xm)sin(3x3m)g(x)是偶函數(shù)當且僅當3mk(kZ)即m(kZ) 最小正實數(shù)m.題型五三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性例2寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及周期：(1)ysin；(2)y|tan x|.解(1)ysin，它的增區(qū)間是ysin的減區(qū)間，它的減區(qū)間是ysin的增區(qū)間.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所給函數(shù)的減區(qū)間為，kZ；增區(qū)間為，kZ.最小正周期T.(2)觀察圖象可知，y|tan x|的增區(qū)間是，kZ，減區(qū)間是，kZ.最小正周期：T.探究提高(1)求形如yAsin(x)或yAcos(x) (其中A0，>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答.列不等式的原則是：把“x (>0)”視為一個“整體”；A>0 (A<0)時，所列不等式的方向與ysin x(xR)，ycos x(xR)的單調(diào)區(qū)間對應的不等式方向相同(反).(2)對于yAtan(x) (A、為常數(shù))，其周期T，單調(diào)區(qū)間利用x，解出x的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間.(3)求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定.變式訓練2 (1)求函數(shù)ysincos的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值；(2)已知函數(shù)f(x)4cos xsin1.求f(x)的最小正周期； 求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.解: ysincos (1)周期為T= 函數(shù)的遞增區(qū)間為 (kZ)；函數(shù)的遞減區(qū)間為(kZ)ymax2； ymin2 (2) f(x)4cos xsin1, 最大值為2；最小值為1題型六、三角函數(shù)的對稱性與單調(diào)性及應用例2已知向量(sin2x1，cosx)， (1,2cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)，xR.(1)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間【解析】(1)f(x)mnsin2x12cos2xsin2xcos2x2sin(2x)對稱軸方程為：2xk，即x(kZ)(2)由2k2x2k得kxkf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k(kZ)【點評】對于f(x)Asin(x)(A>0，>0)：若求yf(x)的對稱軸，只需令xk(kZ)，求出x；若求yf(x)的對稱中心的橫坐標，只零令xk(kZ)，求出x；若求yf(x)的單調(diào)增區(qū)間，只需令2kx2k，求出x；若求yf(x)的單調(diào)減區(qū)間，只需令2kx2k，求出x.題型七三角函數(shù)的對稱性與奇偶性例3(1)已知f(x)sin xcos x(xR)，函數(shù)yf(x) 的圖象關(guān)于直線x0對稱，則的值為_.(2)如果函數(shù)y3cos(2x)的圖象關(guān)于點中心對稱，那么|的最小值為() A . B. C. D.(1) (x)2sin， yf(x)2sin圖象關(guān)于x0對稱，即f(x)為偶函數(shù)k，kZ，即k，kZ，所以當k0時，. (2)A3cos3cos3cosk，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值為.故選 探究提高若f(x)Asin(x)為偶函數(shù)，則當x0時，f(x)取得最大或最小值.若f(x)Asin(x)為奇函數(shù)，則當x0時，f(x)0.如果求f(x)的對稱軸，只需令xk (kZ)，求x.如果求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令xk (kZ)即可.變式訓練3 (1)已知函數(shù)f(x)sinxacos x的圖象的一條對稱軸是x，則函數(shù)g(x)asin xcos x的最大值是 ()A. B. C. D.由題意得f(0)f ，a.a, g(x)sin xcos xsin，g(x)max.(2)若函數(shù)f(x)asin xbcos x (0<<5，ab0)的圖象的一條對稱軸方程是x，函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心是，則f(x)的最小正周期是_.(1)B(2)由題設(shè)，有，即(ab)，由此得到ab.又，所以a0，從而tan 1，k，kZ，即8k2，kZ，而0<<5，所以2，于是f(x)a(sin 2xcos 2x)asin故f(x)的最小正周期是.題型八 三角函數(shù)的值域與最值的求法及應用例3(1)求函數(shù)y的值域；(2)求函數(shù)ysinxcosxsinxcosx的最值；(3)若函數(shù)f(x)asincos()的最大值為2，試確定常數(shù)a的值【解析】2sinx(1sinx)2sinx2sin2x2(sinx)2.1sinx0，1sinx1.4y.故函數(shù)y的值域為(4，(2)令tsinxcosx，則sinxcosx，且|t|.y(t21)t(t1)21，當t1時，ymin1；當t時，ymax.(3)f(x)asincoscosxsinxsin(x)，(其中tan)由已知得2，解得a.【點評】求三角函數(shù)的最值問題，主要有以下幾種題型及對應解法(1)yasinxbcosx型，可引用輔角化為ysin(x)(其中tan)(2)yasin2xbsinxcosxccos2x型，可通過降次整理化為yAsin2xBcos2xC.(3)yasin2xbcosxc型，可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)(4)sinxcosx與sinxcosx同時存在型，可換元轉(zhuǎn)化(5)y(或y)型，可用分離常數(shù)法或由|sinx|1(或|cosx|1)來解決，也可化為真分式去求解(6)y型，可用斜率公式來解決例4已知函數(shù)f(x)sin2xacos2x(aR，a為常數(shù))，且是函數(shù)yf(x)的一個零點(1)求a的值，并求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)當x0，時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值及相應的x的值【解析】(1)由是yf(x)的零點得 f()sinacos20，求解a2，則f(x)sin2x2cos2xsin2xcos2x1sin(2x)1，故f(x)的最小正周期為T.(2)由x0，得2x，則sin(2x)1，因此2sin(2x)11，故當x0時，f(x)取最小值2，當x時，f(x)取最大值1.設(shè)aR，f(x)cosx(asinxcosx)cos2(x)滿足f()f(0)，求函數(shù)f(x)在，上的最大值和最小值【解析】f(x)asinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2x由f()f(0)得1，解得a2.f(x)sin2xcos2x2sin(2x)當x，時，2x，f(x)為增函數(shù)當x，時，2x，f(x)為減函數(shù)f(x)在，上的最大值為f()2 又f()，f()f(x)在，上的最小值為f().題型九 分類討論及方程思想在三角函數(shù)中的應用例題：已知函數(shù)f(x)2asin2ab的定義域為，函數(shù)的最大值為1，最小值為5，(1)求a和b的值.(2)若 a0，設(shè)g(x)f 且lg g(x)0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間點評求出2x的范圍，求出sin(2x)的值域.系數(shù)a的正、負影響著f(x)的值，因而要分a>0，a<0兩類討論.根據(jù)a>0或a<0求f(x)的最值，列方程組求解.解(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得a2，b5，f(x)4sin1，g(x)f 4sin14sin1，又由lg g(x)0得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中當2k2x2k，kZ時，g(x)單調(diào)遞增，即kxk，kZ，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.又當2k2x2k，kZ時，g(x)單調(diào)遞減，即kxk，kZ.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習一一、選擇題1對于函數(shù)f(x)2sinxcosx，下列選項正確的是( )Af(x)在(，)上是遞增的 Bf(x)的圖象關(guān)于原點對稱Cf(x)的最小正周期為2 Df(x)的最大值為2【解析】f(x)sin2xf(x)在(，)上是遞減的，A錯； f(x)的最小正周期為，C錯；f(x)的最大值為1，D錯；選B.2若、(，)，那么“”是“tantan”的( )A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件【解析】、(，)，tanx在此區(qū)間上單調(diào)遞增當時，tantan；當tantan時，.故選C.3已知函數(shù)f(x)sin(x)(>0，|<)的最小正周期為，將該函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到的圖象對應的函數(shù)為奇函數(shù)，則f(x)的圖象( )A關(guān)于點(，0)對稱 B關(guān)于直線x對稱C關(guān)于點(，0)對稱 D關(guān)于直線x對稱【解析】由已知得2，則f(x)sin(2x)設(shè)平移后的函數(shù)為g(x)，則g(x)sin(2x)(|<)且為奇函數(shù)，f(x)sin(2x)圖象關(guān)于直線x對稱，選B.4已知f(x)sinx，xR，g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于點(，0)對稱，則在區(qū)間0,2上滿足f(x)g(x)的x的取值范圍是( )A， B， C， D，【解析】設(shè)(x，y)為g(x)的圖象上任意一點，則其關(guān)于點(，0)對稱的點為(x，y)，由題意知該點必在f(x)的圖象上ysin(x)，即g(x)sin(x)cosx，由已知得sinxcosxsinxcosxsin(x)0又x0,2 x.5已知函數(shù)f(x)3sin(x)，g(x)3cos(x)，若對任意xR，都有f(x)f(x)，則g()_.【解析】由f(x)f(x)，知yf(x)關(guān)于直線x對稱，sin()1.g()3cos()30.6設(shè)函數(shù)f(x)2sin()，若對任意xR，都有f(x1)f(x)f(x2)恒成立，則|x2x1|的最小值為_.【解析】由“f(x1)f(x)f(x2)恒成立”，可得f(x1)、f(x2)分別是f(x)的最小值、最大值|x2x1|的最小值為函數(shù)f(x)的半周期，又T4.|x2x1|min2.7已知函數(shù)f(x)sinxcosx，f(x)是f(x)的導函數(shù)(1)求f(x)及函數(shù)yf(x)的最小正周期；(2)當x0，時，求函數(shù)F(x)f(x)f(x)f2(x)的值域【解析】(1)f(x)cosxsinxsin(x)yf(x)的最小正周期為T2.(2)F(x)cos2xsin2x12sinxcosx1sin2xcos2x1sin(2x)x0，2x， sin(2x)，1，函數(shù)F(x)的值域為0,18設(shè)函數(shù)f(x)2cosx(sinxcosx)1，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)yg(x)的圖象(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若0，且g(x)是偶函數(shù)，求的值 【解析】(1)f(x)2sinxcosx2cos2x1sin2xcos2xsin(2x)，f(x)的最小正周期T.(2)g(x)f(x)sin2(x)sin(2x2)，g(x)是偶函數(shù)，則g(0)sin(2)，2k，kZ.(kZ)， 0，.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習二1.函數(shù)f(x)sin圖象的對稱軸方程可以為()A.x B.x C.x D.x解析令2xk(kZ)，得x(kZ)，令k0得該函數(shù)的一條對稱軸為x.本題也可用代入驗證法來解答案D2.ysin的圖象的一個對稱中心是()A.(，0) B. C. D.3.函數(shù)y3cos(x)2的圖象關(guān)于直線x對稱，則的可能取值是()A. B. C. D.二、填空題4.函數(shù)ylg(sin x)的定義域為_(kZ)_.5.已知函數(shù)f(x)3sin(x)(>0)和g(x)2cos(2x)1的圖象的對稱軸完全相同.若x0，則f(x)的取值范圍是_.4函數(shù)f(x)2sin x(0)在上單調(diào)遞增，且在這個區(qū)間上的最大值是，那么等于_解析因為f(x)2sin x(0)在上單調(diào)遞增，且在這個區(qū)間上的最大值是，所以2sin，且0，因此.答案6.關(guān)于函數(shù)f(x)4sin (xR)，有下列命題：由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整數(shù)倍；yf(x)的表達式可改寫為y4cos；yf(x)的圖象關(guān)于點對稱；yf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱.其中正確命題的序號是_.解析函數(shù)f(x)4sin的最小正周期T，由相鄰兩個零點的橫坐標間的距離是知錯利用誘導公式得f(x)4cos4cos4cos，知正確由于曲線f(x)與x軸的每個交點都是它的對稱中心，將x代入得f(x)4sin4sin 00，因此點是f(x)圖象的一個對稱中心，故命題正確曲線f(x)的對稱軸必經(jīng)過圖象的最高點或最低點，且與y軸平行，而x時y0，點不是最高點也不是最低點，故直線x不是圖象的對稱軸，因此命題不正確答案三、解答題7.設(shè)函數(shù)f(x)sin (<<0)，yf(x)圖象的一條對稱軸是直線x.(1)求；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間.解(1)(2)由(1)得：f(x)sin，令2k2x2k，kZ，可解得kxk，kZ，因此yf(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.8.(1)求函數(shù)y2sin (<x<)的值域；(2)求函數(shù)y2cos2x5sin x4的值域.解(1)<x<，0<2x<，0<sin1，y2sin的值域為(0,2.(2)y2cos2x5sin x42(1sin2x)5sin x42sin2x5sin x222.當sin x1時，ymax1，當sin x1時，ymin9，y2cos2x5sin x4的值域為9,1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習三一、選擇題1.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是，且當x 時，f(x)sin x，則 f 的值為 ()A. B. C. D.2.已知函數(shù)f(x)2sin x(>0)在區(qū)間上的最小值是2，則的最小值等于()A. B. C.2 D.33.函數(shù)f(x)cos 2xsin是()A.非奇非偶函數(shù) B.僅有最小值的奇函數(shù)C.僅有最大值的偶函數(shù) D.有最大值又有最小值的偶函數(shù)二、填空題4.設(shè)定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)y6cos x的圖象與y5tan x的圖象交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為P1，直線PP1與函數(shù)ysin x的圖象交于點P2，則線段P1P2的長為_.5.函數(shù)f(x)2sin x(>0)在上單調(diào)遞增，且在這個區(qū)間上的最大值是，那么_.解析因為f(x)2sin x(0)在上單調(diào)遞增，且在這個區(qū)間上的最大值是，所以2sin，且0，因此.答案6.給出下列命題：函數(shù)ycos是奇函數(shù)； 存在實數(shù)，使得sin cos ；若、是第一象限角且<，則tan <tan ；x是函數(shù)ysin的一條對稱軸； 函數(shù)ysin的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形.其中正確的序號為_.三、解答題7.若函數(shù)f(x)sin2axsin axcos ax (a>0)的圖象與直線ym相切，并且切點的橫坐標依次成公差為的等差數(shù)列. (1)求m的值；(2)若點A(x0，y0)是yf(x)圖象的對稱中心，且x0，求點A的坐標.7.解(1)f(x)(1cos 2ax)sin 2ax(sin 2axcos 2ax)sin.yf(x)的圖象與ym相切，m為f(x)的最大值或最小值，即m或m.(2)切點的橫坐標依次成公差為的等差數(shù)列，f(x)的最小正周期為.T，a>0，a2，即f(x)sin.由題意知sin0，則4x0k (kZ)，x0 (kZ).由0 (kZ)得k1或2，因此點A的坐標為，.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習四一、選擇題1函數(shù)f(x)2sin xcos x是()A最小正周期為2 的奇函數(shù) B最小正周期為2 的偶函數(shù)C最小正周期為的奇函數(shù) D最小正周期為的偶函數(shù)解析f(x)2sin xcos xsin 2x.f(x)是最小正周期為的奇函數(shù)答案C2函數(shù)ysin2xsin x1的值域為()A1,1 B. C. D.解析(數(shù)形結(jié)合法)ysin2xsin x1，令sin xt，則有yt2t1，t1,1，畫出函數(shù)圖象如圖所示，從圖象可以看出，當t及t1時，函數(shù)取最值，代入yt2t1可得y.答案C3若函數(shù)f(x)sin x(0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則()A. B. C2 D3解析由題意知f(x)的一條對稱軸為x，和它相鄰的一個對稱中心為原點，則f(x)的周期T，從而.答案B4函數(shù)f(x)(1tan x)cos x的最小正周期為()A2 B. C D.解析依題意，得f(x)cos xsin x2sin.故最小正周期為2.答案A5下列函數(shù)中，周期為，且在上為減函數(shù)的是()Aysin BycosCysin Dycos解析(篩選法)函數(shù)的周期為.排除C、D，函數(shù)在上是減函數(shù)，排除B. 答案A【點評】 本題采用了篩選法，體現(xiàn)了篩選法的方便、快捷、準確性，在解選擇題時應注意應用.6已知函數(shù)f(x)sin(xR)，下面結(jié)論錯誤的是()A函數(shù)f(x)的最小正周期為2 B函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)C函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x0對稱 D函數(shù)f(x)是奇函數(shù)解析ysincos x，T2，在上是增函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，為偶函數(shù)答案D二、 填空題7.y=|sin（x+）|的單調(diào)增區(qū)間為_k+，k+（kZ）_.8.要得到的圖象，可以將函數(shù)y = 3 sin2 x的圖象向左平移_單位.9.若動直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點，則的最大值為_.10函數(shù)f(x)=() 的值域是_-1,0_ _.11.已知，且在區(qū)間有最小值，無最大值，則_12、給出下面的3個命題：（1）函數(shù)的最小正周期是；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）是函數(shù)的圖象的一條對稱軸.其中正確命題的序號是 13若函數(shù)f(x)cos xcos(0)的最小正周期為，則的值為_解析f(x)cos xcoscos xsin xsin 2x，T.1. 答案114函數(shù)ytan的圖象與x軸交點的坐標是_解析由2xk，kZ，得：x，kZ，故交點坐標為(kZ) 答案(kZ)15已知函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)是偶函數(shù)，則的值為_解析(回顧檢驗法)據(jù)已知可得f(x)2sin，若函數(shù)為偶函數(shù)，則必有k(kZ)，又由于，故有，解得，經(jīng)代入檢驗符合題意答案三、解答題16已知f(x)sin xsin. (1)若0，且sin 2，求f()的值；(2)若x0，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)由題設(shè)知f()sin cos .sin 22sin cos 0，0，sin cos 0.由(sin cos )212sin cos ，得sin cos ，f().(2)由(1)知f(x)sin，又0x，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.17設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)(0)，yf(x)圖象的一條對稱軸是直線x.(1)求； (2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間解(1)令2k，kZ，k，kZ，又0，則k，kZ，k1，則.(2)由(1)得：f(x)sin，令2k2x2k，kZ，可解得kxk，kZ，因此yf(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ. 18、設(shè)函數(shù)（1）求的最小正周期（2）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，求當時的最大值解：（）= = = 故的最小正周期為T = =8 ()解法一： 在的圖象上任取一點，它關(guān)于的對稱點 .由題設(shè)條件，點在的圖象上，從而 = = 當時，因此在區(qū)間上的最大值為 解法二： 因區(qū)間關(guān)于x = 1的對稱區(qū)間為，且與的圖象關(guān)于x = 1對稱，故在上的最大值為在上的最大值由（）知當時，因此在上的最大值為 .19、設(shè)函數(shù)，其中向量，且的圖象經(jīng)過點（1）求實數(shù)的值； （2）求函數(shù)的最小值及此時值的集合 (3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (4)函數(shù)圖象沿向量平移得到的圖象,求向量。19、（1）（2）(3)(4) 20、設(shè)函數(shù)，給出下列三個論斷： 的圖象關(guān)于直線對稱； 的周期為； 的圖象關(guān)于點對稱 以其中的兩個論斷為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題，并對該命題加以證明或，證明略