江蘇省常州市武進區(qū)2013屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試試題文蘇教版

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1、 武進區(qū)教育學(xué)會 2012～2013 學(xué)年度第一學(xué)期期中 高 三 文 科 數(shù) 學(xué) 試 題 一、填空題（本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置 上） 1．已知集合 M x x2 4 ， N x x ln x 0 ，則集合 M N = ▲ ． 2 ． 已 知 向 量 a (cos35 ,sin 35 ),b (cos 65 ,sin 65 ) ， 則 向 量 a 與 b 的 夾 角 為 ▲ ． 3．設(shè)直線 l 是

2、曲線 f (x) x3 3x 2 上的一條切線，則切線 l 斜率最小時對應(yīng)的傾斜角 為 ▲ ． 4． y sin 2 x 2sin x cos x 的周期是 ▲ ． 5．公比為 2 的等比數(shù)列 { an } 的各項都是正數(shù)，且 a4a10 16 ，則 a10 ▲ ． 6．若實數(shù) x 滿足 log 2 x cos 2 ，則 x 8 x 2 = ▲ ． 7．已知向量 a, b 滿足 | a | 5,| b | 13 ， cos 65 . 若 ka

3、b 與 a 3b 垂直， a,b 65 則 k ▲． 8．一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為 4cm 的球面上 . 如果正四棱柱的底面邊長為 2cm ，那么該棱柱的表面積為 ▲ cm2 ． 9．等差數(shù)列 an 中，已知 a2 7 ， a6 9 ，則 a10 的取值范圍是 ▲ ． 10 ． 已 知 A 、 B 、 C 是 直 線 l 上 的 三 點 ， 向 量 OA, OB,OC 滿 足 O A [ f x 2

4、 f ( 1 ) x ]O B l n x O C f ( x) 的表達式為▲． ，則函數(shù) y 11 ．已知 f ( x) log3 (x 3)，若實數(shù) m, n 滿足 f ( m) f (3 n) 2,則 m n 的最小值為 ▲． 12．過點 C(2 ，5) 且與 x 軸， y 軸都相切的兩個圓的半徑分別為 r1, r2 ，則 r1 r2 =▲． 13．給出以下命題： 用心 愛心 專心 1 （1）在△ ABC中， sin A sin B 是 A B 的必

5、要不充分條件； （2）在△ ABC中，若 tan A tan B tanC 0 ，則△ ABC一定為銳角三角形； （3）函數(shù) y x 1 1 x 與函數(shù) y sin x, x 1 是同一個函數(shù)； （4）函數(shù) y f (2 x 1) 的圖象可以由函數(shù) y f (2 x) 的圖象按向量 a (1,0) 平移得到 . 則其中正確命題的序號是 ▲ （把所有正確的命題序號都填上）． 14．數(shù)列 { an } 滿足 an 1 ( 1)n an n ，則 { a n } 的前 40 項和為▲ ． 二、解答題：（本大題共 6 道題，

6、計 90 分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算 步驟） 15．（本題滿分 14 分） 設(shè)函數(shù) f ( x) sin(2x ) ( π 0) . y f ( x) 圖像的一條對稱軸是直線 （1）求函數(shù) f (x) 的解析式； （2）若 f ( ) 3 , (0, ) ，試求 f ( 5 ) 的值 . 2 5 8 16．（本題滿分 14 分） 長方體 ABCD A1 B1C1D1 中， AD 1 ， AB 2 ， P 、 Q 分別是 CD

7、1 和 求證：（ 1） PQ 面 ABCD ；（ 2）面 DPQ 面 BB1D1D . D1 A1 Q D  π x ． 8 A1 A 的中點， C1 B1 P C A B 用心 愛心 專心 2 17．（本題滿

8、分 14 分） 已知 f x ax ln x, x 0,e ，其中 e是自然常數(shù)， a R. (1) 當 a 1 時，求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間和極值； (2) 若 f ( x) 3 恒成立，求 a 的取值范圍 . 18．（本題滿分 16 分） 已知曲線 C： x2 y2 2ax 2(a-1)y 1 2a 0 . （ 1）證明：不論 a 取何實數(shù)，曲線 C必過定點；

9、 （ 2）當 a 1時，若曲線 C與直線 y 2x 1 相切，求 a 的值 . ； （ 3）對所有的 a R 且 a 1 ，是否存在直線 l 與曲線 總相切？如果存在，求出 l 的方程； C 如果不存在，請說明理由 . 用心 愛心 專心 3 19．（本題滿分

10、 16 分） 2 各項均為正數(shù)的數(shù)列 an 中，前 n 項和 Sn an 1 . 2 (1) 求數(shù)列 an 的通項公式； 1 1 1 k 恒成立，求 k 的取值范圍； （2）若 a2a3 anan 1 a1a2 (3) 對任意 m N * ，將數(shù)列 an 中落入?yún)^(qū)間 (2 m , 22 m ) 內(nèi)的項的個數(shù)記為 bm ，求數(shù)列 bm 的前 m 項和 Sm . 20．（本題滿分 16 分）

11、 設(shè)函數(shù) f (x) ax3 bx2 cx d 是奇函數(shù)，且當 x 3 時， f ( x) 取得極小值 2 3 . （1）求函數(shù) f (x) 的解析式； 3 9 （2）求使得方程 1 f ( x) nx 4n 1 0 僅有整數(shù)根的所有正實數(shù) n 的值； 3 3 （3）設(shè) g( x) | f ( x) (3t 1) x | ，（ x [ 1,1] ），求 g(x) 的最大值 F (t) ．

12、 用心 愛心 專心 4 武 區(qū) 2012 ～2013 學(xué)年度第一學(xué)期期中 研 高 三 文 科 數(shù) 學(xué) 試 分 準 一、填空 （本大 共 14 小 ，每小 5 分，共 70 分） 1． 1,2 2 ． 30 3 ． 1204 ． 5 ． 32 6 ．

13、 10 7． 19 8 ． 16 2 8 9 ． 11, 10 ． f x ln x 2x 1 3 11． 2 3 4 12 ． 14 13 ．（ 2）、（ 3） 14 ． 420 二、解答 ：（本大 共 6 道 ， 90 分） 15．（本小 分 14 分） 解：（ 1）∵ x 是函數(shù) y f (x) 的 象的 稱 ， 8 ∴ sin(2 8 ) 1，∴ k , k Z ，?????? 2 分

14、 4 2 ∵－ 0 ，∴ 3 ?????? 4 分 ， 3 4 故 f ( x) ) ?????? 6 分 sin(2 x 3 , 4 （2）因 f ( ) (0, ) ， 2 5 3 3 3 4 所以 sin( )， cos( 4 ) 4 5 5  ?????? 8 分 故 sin sin[( 3 ) 3 ] sin( 3 ) cos

15、3 cos( 3 ) sin 3 4 4 4 4 4 4 ＝ 2 (4 3) 2 ?????? 11 分 2 5 5 10 而 f ( 5 sin[2( 5 ) 3 sin(2 ) cos2 ) 8 ] 8 4 2 ＝ 1 2sin 2 1 2( 2 ) 2 24 .

16、 10 25 5 ) 24 ?????? 14 分 所以， f ( . 8 25 用心 愛心 專心 5 16．（本 分 14 分） 明：⑴ 取 CD 中點 M ， 接 AM 、 PM . P 、 Q 分 是 CD1 和 A1 A 的中點， PM 1 D1D ， PM 1 D1 D ，?????? 2

17、 2 2 分 PM AQ ， PM AQ ， 四 形 AMPQ 是平行四 形， PQ AM ，???? 5 分 又 AM 面 ABCD ， PQ 面 ABCD . ????????? 7 PQ 面ABCD 分 ⑵ AD 1， AB 2 ， DM 2 ， AD 2 AB DM ， 2

18、 ADM ～ BAD ， DAM ABD ， AM BD ， PQ AM ， PQ BD ， ?????? 10 分 又 方體 ABCD A1B1C1D1 ， B1B 面 ABCD ， AM 面 ABCD ， B1 B AM ， A1 AM PQ ， PQ B1 B ，?????? 12 分 BD B1 B B Q

19、 又 BD 面 BB1D1D ， PQ 面 BB1D1 D ， B1B 面 BB1D1D A PQ 面 DPQ  D1 C1 B1 P D M C B 面 DPQ 面 BB1D1D . ????????? 14 分 17．（本 分 14 分） 解： (1) f x x ln x f ( x) 1 1

20、x 1 ?????????? 2 分 1 ， f x x x ∴當 0 x 0 ，此 f x 減； 當 1 x e ， f x 0 ，此 f x 增 . ?????? 4 分 ∴當 f ( x) 的極小 f 1 1， f ( x) 無極大 ???????????? 6 分 （2）法一：∵ f x ax ln x,x 0,e ， ∴ ax ln x 3 在 x 0,e 上恒成立，

21、 用心 愛心 專心 6 即 a 3 ln x 在 x 0, e 上恒成立，?????? 8 分 x x 令 g( x) 3 ln x 0,e ， x x ， x ∴ g ( x) 3 1 ln x 2 ln x ??????

22、 10 分 x2 x2 x 2 令 g ( x) 0 ， x 1 ， 2 e 當 0 x 1 ， f x 0 ，此 f x 增， e 2 當 1 x

23、 e ， f x 0 ，此 f x 減， ?????? 12 分 e2 ∴ g (x)max g( 1 ) 3e2 2e2 e2 ， e2 ∴ a e2 . ?????? 14 分 法二：由條件： ax ln x 3 0 在 x

24、0,e 上恒成立 令 g( x) ax ln x 3 ， x 0,e ， g ( x) a 1 ax 1 ， ?????? 8 分 x x 1 a 1 ， g ( x) 0 恒成立，∴ g ( x) 在 0,e 上 減， e ∴ g( x)min g(e) ae 4 ； 由條件知 ae

25、 4 0 ∴ a 4 與 a 1 矛盾 . ?????? 10 e e 分 2 a 1 ，令 g ( x) 0 ，∴ x 1 e a 當 0 x 1 ， f x 0 ，此 f x 增，

26、 a 當 1 x e ， f x 0 ，此 f x 減， a g (x)max g( 1 ln a 2 ， ) a ∴ ln a 2 0, ??

27、???? 12 分 即 a e2 . ?????? 14 分 18．（本 分 16 分） 解： (1) 明 : 曲 C的方程可 形 x2 y2 2 y 1 2 x 2y 2 a 0 ， x2 y2 2 y 1 0 ?????? 2 分 由 2x 2 y 2 0 ，

28、 解得 x 1 ，點 1,0 足 C的方程， y 0 用心 愛心 專心 7 故曲 C 定點 1,0 . ?????? 4 分 (2) 原方程配方得 x a 2 y a 2 2 a 2 1，所以 2 2 0 ， 1 1 ; 由于 a a 1

29、 所以 C的方程表示 心是 a, a 1 ，半徑是 2 a 1 的 . ?????? 6 分 由 意得 心到直 距離 d a ?????? 8 分 ， 5 ∴ 2 a 1 a ，解得 a 10 10 ?????? 10 分 5 9 .

30、 （ 3）法一：由（ 2）知曲 C表示 心坐 x, y ， 有 x a ， y a 1 消去 a 得 y x 1，故 心必在直 y x 1 上 . 又曲 C 定點 1,0 ，所以存在直 l 與曲 C 相切， ?????? 12 分 直 l 點 1,0 且與直 y x 1 垂直；

31、 ∴ l 方程 y ( x 1) 即 y x 1. ?????? 16 分 法二：假 存在直 l 足條件， 然 l 不垂直于 x ， l : y kx b ， 心到直 距離 d ka b a 1 1 k 2 ， ∴ ka b a 1 2 a 1 所有的 a R 且 a 1 都成

32、立，?????? 12 分 1 k 2 即 (k 1)2 a2 2(2 k 2 k kb b 1)a 2( k 1)2 (b 1)2 0 恒成立 (k 1)2 0 k 1 ∴ 2k 2 k kb b 1 0 ∴ b 1 2(k 1)2 (b 1)2 0

33、 ∴存在直 l ： y ( x 1) 即 y x 1與曲 C 相切 . ?????? 16 分 19 ．（本 分 16 分） an 2 an-1 2 解： (1) S 1 ， S 1 , n 2 ， n 2 n

34、 -1 2 用心 愛心 專心 8 an 2 an -1 2 兩式相減得 an 1 1 , n 2， ?????? 2 分 2 2 整理得 a a a a 2 0 ，

35、 n n -1 n n-1 數(shù)列 an 的各 均 正數(shù)， an an-1 2, n 2 ， an 是公差 2 的等差數(shù)列， ?????? 4 分 a1 1 2 又 S1 得 a1 1， an 2n 1. ?????? 5 分 2

36、 （2）由 意得 k 1 1 1 ， a1 a2 a2a3 an an 1 max 1 1 1 1 1 ， an an 1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 1 1 1 1

37、 1 1 1 1 1 1 a1a2 a2a3 anan 1 2 3 3 5 2n 1 2n 1 1 1 1 1 ?????? 8 分 2 2n 1 2 k 1 ?????? 10 分 2

38、 1 22 m 11 (3) 任意 m N ， 2m 2n 1 22 m ， 2m 1 n ， 2 2 而 n N * ，由 意可知 bm 22 m 1 2m 1 ， ?????? 12 分 于是 Sm b1 b2 bm 21 23 22m 1 (2 0 21 2m 1) 2 22 m 1 1 2m 22m 1 2 2m 1 22m 1 3

39、2m 1 ， 1 22 1 2 3 3 即 Sm 22 m 1 3 2m 1 ?????? 16 分 3 . 20．（本 分 16 分） 解：（ 1） f (x) 奇函數(shù)， b d 0 ， ?????? 2 分 又由

40、f ( 3 ) 0 及 f ( 3 ) 2 3 ，得 a 1,c 1， 3 3 9 f ( x) x3 x ； ?????? 4 分 用心 愛心 專心 9 當 x 3 0 ，當 3 x 3 ， f ( x) 3 時 f (x) 0 ， 3 3

41、 f (x) 在 x 3 取得極小 ， f ( x) x3 x 所求 ?????? 5 分 1 3 1 （2）方程 f (x) nx 4n 0 化 得： x2 nx 4n 0 ， 3 3 因 方程 有整數(shù)解，故 n 整數(shù)， 又由 x2 n( x 4) 及 n 0 知， x 4 0 . ?????? 7 分

42、x 2 (x 4) 16 8 ，故 x 4 為 16 的正 數(shù)， ?????? 9 分 又 n 4 ( x 4) x 所以 x 4 1,2,4,8,16 ， 而得到 n 16,18,25 . ?????? 10 分 （3）因 g( x) | x3 3tx |, x [ 1,1] 是偶函數(shù)，所以只要求出 g ( x) 在 [0,1] 上的最大 即 可. 記 h( x) x3 3tx ， h (x) 3x2 3t 3(x2 t ) ，

43、 （1） t 0 ， h ( x) 0 ， h( x) 在 [0,1] 上 增且 h( x) h(0) 0 . ∴ g (x) h( x) ，故 F (t) h(1) 1 3t ； ?????? 12 分 （2） t 0 ，由 h (x) 0 得， x t , 和 x t ， ①當 t 1即 t 1 ， h(x) 在 [0 ， 1] 上 減， ∴ h( x) h(0) 0 ，故 g( x) h( x) ， F (t ) h(1)

44、 3t 1； ?????? 14 分 ②當 t 1即 0 t 1 ， h(x) 在 (0, t ) 減， ( t ,1) 增， （Ⅰ）當 t 1 2 t ，即 1 t 1 ， | h( t ) | | h(1) |，∴ F (t) h( t ) 2t t ， 4 1 （Ⅱ）當 2 t 1，即 0 t h(1) 2t t ，∴ F (t ) h(1) 1 3t ，

45、 ， 4 1 3t, t 1 4 上可知， F (t) 2t t , 1 t 1. ?????? 16 分 4 3t 1,t 1 用心 愛心 專心 10 用心 愛心 專心 11