2020-2021學年高三數學一輪復習知識點專題6-3 等比數列及其前n項和

專題6.3 等比數列及其前n項和【考情分析】1.理解等比數列的概念2.掌握等比數列的通項公式與前n項和公式3.能在具體的問題情境中識別數列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題4.了解等比數列與指數函數的關系【重點知識梳理】知識點一 等比數列的定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q(q0)表示數學語言表達式：q(n2，q為非零常數)，或q(nN*，q為非零常數)知識點二 等比數列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數列an的首項為a1，公比是q，則其通項公式為ana1qn1；通項公式的推廣：anamqnm.(2)等比數列的前n項和公式：當q1時，Snna1；當q1時，Sn.知識點三 等比數列及前n項和的性質(1)如果a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項即：G是a與b的等比中項a，G，b成等比數列G2ab.(2)若an為等比數列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman(3)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即ak，akm，ak2m，仍是等比數列，公比為qm(4)當q1，或q1且n為奇數時，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數列，其公比為qn【必會結論】等比數列的常用性質(1)通項公式的推廣：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，則amanapaqa.(3)若數列an，bn(項數相同)是等比數列，則an，a，anbn，(0)仍然是等比數列(4)在等比數列an中，等距離取出若干項也構成一個等比數列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數列，公比為qk.(5)公比不為1的等比數列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數列，其公比為qn.(6)等比數列an滿足或時，an是遞增數列；滿足或時，an是遞減數列【典型題分析】高頻考點一 等比數列基本量的運算【例1】（2020新課標）數列中，若，則（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，則，則，解得. 【舉一反三】(2019高考全國卷)記Sn為等比數列an的前n項和若a11，S3，則S4 【解析】(1)通解：設等比數列an的公比為q，由a11及S3，易知q1.把a11代入S3，得1qq2，解得q，所以S4.優(yōu)解一：設等比數列an的公比為q，因為S3a1a2a3a1(1qq2)，a11，所以1qq2，解得q，所以a4a1q3，所以S4S3a4.優(yōu)解二：設等比數列an的公比為q，由題意易知q1.設數列an的前n項和SnA(1qn)(其中A為常數)，則a1S1A(1q)1，S3A(1q3)，由可得A，q.所以S4.【答案】【方法技巧】(1)等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解；(2)等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當q1時，an的前n項和Snna1；當q1時，an的前n項和Sn?！九e一反三】(2019高考全國卷)已知各項均為正數的等比數列an的前4項和為15，且a53a34a1，則a3()A16 B8C4 D2【答案】C【解析】設等比數列an的公比為q(q>0)，由a53a34a1，得a1q43a1q24a1，得q43q240，令q2t，則t23t40，解得t4或t1(舍去)，所以q24，即q2或q2(舍去)又S415，所以a11，所以a3a1q24.故選C.高頻考點二 等比數列的判定與證明【例2】（2020北京卷）已知是無窮數列給出兩個性質：對于中任意兩項，在中都存在一項，使；對于中任意項，在中都存在兩項使得()若，判斷數列是否滿足性質，說明理由；()若，判斷數列是否同時滿足性質和性質，說明理由；()若是遞增數列，且同時滿足性質和性質，證明：為等比數列.【答案】()詳見解析；()詳解解析；()證明詳見解析.【解析】()不具有性質；()具有性質；具有性質；()假設數列中的項數均為正數：首先利用性質：取，此時，由數列的單調性可知，而，故，此時必有，即，即成等比數列，不妨設，然后利用性質：取，則，即數列中必然存在一項的值為，下面我們來證明，否則，由數列的單調性可知，在性質中，取，則，從而，與前面類似的可知則存在，滿足，若，則：，與假設矛盾；若，則：，與假設矛盾；若，則：，與數列的單調性矛盾；即不存在滿足題意的正整數，可見不成立，從而，同理可得：，從而數列為等比數列，同理，當數列中的項數均為負數時亦可證得數列為等比數列.由推理過程易知數列中的項要么恒正要么恒負，不會同時出現正數和負數.從而題中的結論得證，數列為等比數列.【變式探究】(2019全國卷)已知數列an和bn滿足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)證明：anbn是等比數列，anbn是等差數列；(2)求an和bn的通項公式【解析】(1)證明：由題設得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因為a1b11，所以anbn是首項為1，公比為的等比數列由題設得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因為a1b11，所以anbn是首項為1，公差為2的等差數列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.【方法技巧】等比數列的判定方法定義法若q(q為非零常數，nN*)或q(q為非零常數且n2，nN*)，則an是等比數列中項公式法若數列an中，an0且aanan2(nN*)，則an是等比數列通項公式法若數列an的通項公式可寫成ancqn1(c，q均為非零常數，nN*)，則an是等比數列前n項和公式法若數列an的前n項和Snkqnk(k為非零常數，q0,1)，則an是等比數列【特別提醒】(1)前兩種方法是判定等比數列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定；(2)若要判定一個數列不是等比數列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數列即可?！九e一反三】（2018全國卷）已知數列an滿足a1=1，nan+1=2n+1an，設bn=ann（1）求b1，b2，b3；（2）判斷數列bn是否為等比數列，并說明理由；（3）求an的通項公式【答案】(1) b1=1，b2=2，b3=4(2) bn是首項為1，公比為2的等比數列理由見解析.(3) an=n2n-1【解析】（1）由條件可得an+1=2(n+1)nan將n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4將n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12從而b1=1，b2=2，b3=4（2）bn是首項為1，公比為2的等比數列由條件可得an+1n+1=2ann，即bn+1=2bn，又b1=1，所以bn是首項為1，公比為2的等比數列（3）由（2）可得ann=2n-1，所以an=n2n-1高頻考點三 等比數列的性質及應用【例3】(2020河南洛陽市模擬)在等比數列an中，a3，a15是方程x26x20的兩根，則的值為()A BC. D或【答案】B【解析】設等比數列an的公比為q，因為a3，a15是方程x26x20的兩根，所以a3a15a2，a3a156，所以a30，a150，則a9，所以a9.【方法技巧】(1)在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是性質“若mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq”，可以減少運算量，提高解題速度(2)在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形此外，解題時注意設而不求思想的運用【變式探究】（2020河北承德模擬）等比數列an的各項均為正數，且a1a54，則log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5 【答案】5【解析】由題意知a1a5a4，因為數列an的各項均為正數，所以a32.所以a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a3(a)2a3a25.所以log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2255.高頻考點四 等比數列的前n項和的性質的應用【例4】（2020江蘇卷）設an是公差為d的等差數列，bn是公比為q的等比數列已知數列an+bn的前n項和，則d+q的值是_【答案】4【解析】設等差數列的公差為，等比數列的公比為，根據題意.等差數列的前項和公式為，等比數列的前項和公式為，依題意，即，通過對比系數可知，故.【舉一反三】 (2018全國卷)等比數列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項公式；(2)記Sn為an的前n項和若Sm63，求m.【解析】(1)設an的公比為q，由題設得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)或q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63，得(2)m188，此方程沒有正整數解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63，得2m64，解得m6.綜上，m6.【變式探究】（2020江蘇南京模擬）設等比數列an的前n項和為Sn，若，則 【解析】設等比數列an的公比為q，因為，所以an的公比q1.由，得q3，所以.【答案】