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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《數(shù)學(xué)方法選講》2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《數(shù)學(xué)方法選講》2.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料數(shù)學(xué)方法選講2四、從反面考慮解數(shù)學(xué)題,需要正確的思路。對于很多數(shù)學(xué)問題,通常采用正面求解的思路,即從條件出發(fā),求得結(jié)論。但是,如果直接從正面不易找到解題思路時,則可改變思維的方向,即從結(jié)論入手或從條件及結(jié)論的反面進(jìn)行思考,從而使問題得到解決。1某次數(shù)學(xué)測驗一共出了10道題,評分方法如下:每答對一題得4分,不答題得0分,答錯一題倒扣1分,每個考生預(yù)先給10分作為基礎(chǔ)分。問:此次測驗至多有多少種不同的分?jǐn)?shù)?2一支隊伍的人數(shù)是5的倍數(shù),且超過1000人。若按每排4人編隊,則最后差3人;若按每排3人編隊,則最后差2人;若按每排2人編隊,則最后差1人。問:這支隊伍至少有多少人?3在八邊形的8個頂點上是否可以分別記上數(shù)1,2,8,使得任意三個相鄰的頂點上的數(shù)的和大于13?4有一個1000位的數(shù),它由888個1和112個0組成,這個數(shù)是否可能是一個平方數(shù)?五、從特殊情況考慮對于一個一般性的問題,如果覺得難以入手,那么我們可以先考慮它的某些特殊情況,從而獲得解決的途徑,使問題得以“突破”,這種方法稱為特殊化。對問題的特殊情況進(jìn)行研究,一方面是因為研究特殊情況比研究一般情況較為容易;另一方面是因為特殊的情況含有一般性,所以對特殊情況的研究常能揭示問題的結(jié)論或啟發(fā)解決問題的思路,它是探索問題的一種重要方法。運(yùn)用特殊化方法進(jìn)行探索的過程有兩個步驟,即先由一般到特殊,再由特殊到一般。通過第一步驟得到的信息,還要回到一般情況予以解答。5如下圖,四邊形ABCD和EFGH都是正方形,且邊長均為2cm。又E點是正方形 ABCD的中心,求兩個正方形公共部分(圖中陰影部分)的面積S。6是否在平面上存在這樣的40條直線,它們共有365個交點?7如右圖,正方體的8個頂點處標(biāo)注的數(shù)字為a,b,c,d,e,求(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值。8將n2個互不相等的數(shù)排成下表:a11 a12a13 a1na21 a22a23 a2nan1an2an3 ann先取每行的最大數(shù),得到n個數(shù),其中最小數(shù)為x;再取每列的最小數(shù),也得到n個數(shù),其中最大數(shù)為y。試比較x和y的大小。六、有序化當(dāng)我們研究的對象是一些數(shù)的時候,我們常常將這些數(shù)排一個次序,即將它們有序化。有序化的假設(shè),實際上是給題目增加了一個可供使用的條件。9將10到40之間的質(zhì)數(shù)填入下圖的圓圈中,使得3組由“”所連的4個數(shù)的和相等,如果把和數(shù)相等的填法看做同一類填法,請說明一共有多少類填法?并畫圖表示你的填法。10有四個互不相等的數(shù),取其中兩個數(shù)相加,可以得到六個和:24,28,30,32,34,38。求此四數(shù)。11互不相等的12個自然數(shù),它們均小于36。有人說,在這些自然數(shù)兩兩相減(大減?。┧玫降牟钪?,至少有3個相等。你認(rèn)為這種說法對嗎?為什么?12有8個重量各不相同的物品,每個物品的重量都是整克數(shù)且都不超過15克。想以最少的次數(shù)用天平稱出其中最重的物品。他用了如下的測定法:(1)把8個物品分成2組,每組4個,比較這2組的輕重;(2)把以上2組中較重的4個再分成2組,即每組2個,再比較它們的輕重;(3)把以上2組中較重的分成各1個,取出較重的1個。稱了3次天平都沒有平衡,最后便得到一個物品。可是實際上得到的是這8個物品當(dāng)中從重到輕排在第5的物品。問:找出的這個物品有多重?并求出第二輕的物品重多少克?課后練習(xí)1.育才小學(xué)40名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競賽,用15分記分制(即分?jǐn)?shù)為0,1,2,15)。全班總分為209分,且相同分?jǐn)?shù)的學(xué)生不超過5人。試說明得分超過12分的學(xué)生至多有9人。2.今有一角紙幣、二角紙幣、五角紙幣各1張,一元幣4張,五元幣2張,用這些紙幣任意付款,一共可以付出多少種不同數(shù)額的款項?3.求在8和98之間(不包括8和98),分母為3的所有最簡分?jǐn)?shù)的和。4.如右圖,四邊形ABCD的面積為3,E,F(xiàn)為邊AB的三等分點,M,N是CD邊上的三等分點。求四邊形EFNM的面積。5.直線上分布著xx個點,我們標(biāo)出以這些點為端點的一切可能線段的中點。問:至少可以得到多少個互不重合的中點?6.假定100個人中的每一個人都知道一個消息,而且這100個消息都不相同。為了使所有的人都知道一切消息,他們一共至少要打多少個電話?7.有4個互不相等的自然數(shù),將它們兩兩相加,可以得到6個不同的和,其中較小的4個和是64,66,68,70。求這4個數(shù)。8.有五個砝碼,其中任何四個砝碼都可以分成重量相等的兩組。問:這五個砝碼的重量相等嗎?為什么?課后練習(xí)答案1.若得分超過12分的學(xué)生至少有10人,則全班的總分至少有5(12+13)+5(0+1+2+3+4+5)=210(分),大于條件209分,產(chǎn)生了矛盾,故得分超過12分的學(xué)生至多有9人。2.119種。解:從最低幣值1角到最高幣值14元8角,共148個不同的幣值。再從中剔除那些不能由這些紙幣構(gòu)成的幣值。經(jīng)計算,應(yīng)該剔除的幣值為(i+0.4)元(i=0,1,2,14)及(j+0.9)元(j=1,2,3,13),一共29種幣值。所以,一共可以付出148-29=119(種)不同的幣值。3.9540。=2(8+9+97)+(97-8+1)=9540。4.1。解:先考慮ABCD是長方形的特殊情況,顯然此時EFNM的面積是1。下面就一般情況求解。連結(jié)AC,AM,F(xiàn)M,CF,則5.3993個。解:為了使計算互不重復(fù),我們?nèi)【嚯x最遠(yuǎn)的兩點A,B。先計算以A為左端點的所有線段,除B外有1996條,這些線段的中點有1996個,它們互不重合,且到點A的距離小于AB長度的一半。同樣,以B為右端點的所有線段,除A外有1996條,這些線段的中點有1996個,它們互不重合,且到點A的距離小于AB長度的一半。這兩類中點不會重合,加上AB的中點共有1996+1996+1=3993(個),即互不重合的中點不少于3993個。另一方面,當(dāng)這xx個點中每兩個相鄰點的間隔都相等時,不重合的中點數(shù)恰為3993。這說明,互不重合的中點數(shù)至少為3993個。6.198個。解:考慮一種特殊的通話過程:先由99人每人打一個電話給A,A再給99人每人打一個電話,這樣一共打了198個電話,而且每人都知道了所有的消息。下面我們說明這是次數(shù)最少的??紤]一種能使所有人知道一切消息的通話過程中的關(guān)鍵性的一次通話,這次通話后,有一個接話人A知道了所有的消息,而在此之前還沒有人知道所有的消息。除了A以外的99人每人在這個關(guān)鍵性的通話前,必須打出電話一次,否則A不可能知道所有的消息;又這99人每人在這個關(guān)鍵性的通話后,又至少收到一個電話,否則它們不可能知道所有的消息。7.30,34,36,38或31,33,35,39。解:設(shè)4個數(shù)為a,b,c,d,且abcd,則6個和為a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d。于是有a+ba+ca+db+dc+d和a+ba+cb+cb+dc+d。分別解這兩個方程組,得8.相等。解:設(shè)這五個砝碼的重量依次為abcde。去掉e,則有a+d=b+c; 去掉d,則有a+e=b+c。 比較,得d=e。去掉a,則有b+e=c+b; 去掉b,則有a+e=c+d。 比較,得a=b。將a=b代入得c=d,將d=e代入得b=c。所以e=b=c=d=e。例題答案:1分析:最高的得分為50分,最低的得分為0分。但并不是從0分到50分都能得到。從正面考慮計算量較大,故我們從反面考慮,先計算有多少種分?jǐn)?shù)達(dá)不到,然后排除達(dá)不到的分?jǐn)?shù)就可以了。解:最高的得分為50分,最低的得分為0分。在從0分到50分這51個分?jǐn)?shù)中,有49,48,47,44,43,39這6種分?jǐn)?shù)是不能達(dá)到的,故此次測驗不同的分?jǐn)?shù)至多有51-6=45(種)。2分析:從條件“若按每排4人編隊,則最后差3人”的反面來考慮,可理解為“若按每排4人編隊,則最后多1人”。同理,按3人、2人排隊都可理解為多1人。即總?cè)藬?shù)被12除余1。這樣一來,原題就化為:一個5的倍數(shù)大于1000,且它被12除余1。問:這個數(shù)最小是多少?解:是5的倍數(shù)且除以12余1的最小自然數(shù)是25。因為人數(shù)超過1000,3,4,5=60,所以最少有25+6017=1045(人)。3解:將八邊形的8個頂點上的數(shù)依次記為a1,a2,a3,a8,則有S=a1+a2+a3+a8=1+2+3+8=36。假設(shè)任意3個相鄰頂點上的數(shù)都大于13,因為頂點上的數(shù)都是整數(shù),所以a1+a2+a314;a2+a3+a414;a7+a8+a114;a8+a1+a214。將以上 8個不等式相加,得3S112,從而 S 37,這與S=36矛盾。故結(jié)論是否定的。4解:假設(shè)這個數(shù)為A,它是自然數(shù)a的平方。因為A的各位數(shù)字之和888是3的倍數(shù),所以a也應(yīng)是3的倍數(shù)。于是a的平方是9的倍數(shù),但888不是9的倍數(shù),這樣就產(chǎn)生了矛盾,從而A不可能是平方數(shù)。5. 分析:我們先考慮正方形EFGH的特殊位置,即它的各邊與正方形ABCD的各邊對應(yīng)平行的情況(見上圖)。此時,顯然有得出答案后,這個問題還得回到一般情況下去解決,解決的方法是將一般情況變成特殊情況。解:自E向AB和AD分別作垂線EN和EM(右圖),則有S=SPME+S四邊形AMEQ又SPME=SEQN,故 S=SEQN+S四邊形AMEQ =S正方形AMEN 6. 分析與解:先考慮一種特殊的圖形:圍棋盤。它有38條直線、361個交點。我們就從這種特殊的圖形出發(fā),然后進(jìn)行局部的調(diào)整。先加上2條對角線,這樣就有40條直線了,但交點仍然是361個。再將最右邊的1條直線向右平移1段,正好增加了4個交點(見上圖)。于是,我們就得到了有365個交點的40條直線。7. 分析:從這8個數(shù)都相等的特殊情況入手,它們滿足題目條件,從而得所求值為0。這就啟發(fā)我們?nèi)フf明a+b+c+d=e+f+g+h。解:由已知得3a=b+e+d,3b=a+c+f,3c=b+d+g,3d=a+c+h,推知3a+3b+3c+3d=2a+2b+2c+2d+e+f+g+h,a+b+c+d=e+f+g+h,(a+b+c+d)-(e+f+g+h)=0。8. 分析:先討論n=3的情況,任取兩表:1 37123256456894789左上表中x=6,y=4;右上表中x=3,y=3。兩個表都滿足xy,所以可以猜想xy。解:設(shè)x是第i行第j列的數(shù)aij,y是第l行第m列的數(shù)alm??紤]x所在的行與y所在的列交叉的那個數(shù),即第i行第m列的數(shù)aim。顯然有aijaimalm,當(dāng)i=l,j=m時等號成立,所以xy。9. 解:10到40之間的8個質(zhì)數(shù)是11,13,17,19,23,29,31,37。根據(jù)題目要求,除去最左邊和最右邊的2個質(zhì)數(shù)之外,剩下的6個質(zhì)數(shù)在同一行的2個質(zhì)數(shù)的和應(yīng)分別相等,等于這6個數(shù)中最小數(shù)(記為a)與最大數(shù)(記為b)之和a+b。根據(jù)a,b的大小可分為6種情況:當(dāng)a=11,b=29時,無解;當(dāng)a=11,b=31時,有11+31=13+29=19+23,得到如下填法:當(dāng)a=11,b=37時,有11+37=17+31=19+29,得到如下填法:當(dāng)a=13,b=31時,無解;當(dāng)a=13, b=37時,無解;當(dāng)a=17,b=37時,無解。所以,共有2類填法。10. 解:設(shè)四個數(shù)為a,b,c,d,且abcd,則六個和為a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d,其中a+b最小,a+c次小,c+d最大,b+d次大,a+d與b+c位第三和第四。分別解這兩個方程組,得11.解:設(shè)這12個自然數(shù)從小到大依次為a1,a2,a3,a12,且它們兩兩相減最多只有2個差相等,那么差為1,2,3,4,5的都最多只有2個。從而a12-a11,a11-a10,a10-a9,a2-a1,這11個差之和至少為2(1+2+3+4+5)+6=36,但這11個差之和等于a12-a136。這一矛盾說明,兩兩相減的差中,至少有3個相等。12.解:設(shè)這8個物品的重量從重到輕依次排列為:15a1a2a3a4a5a6a7a81。找出的這個物品重量為a5,第二輕的物品重量為a7。由于a5加上一個比它輕的物品不可能大于兩個比a5重的物品重量之和,因而第一次必須篩去3個比a5重的物品。這樣就有以下四種可能:先考慮第一種情況。根據(jù)式,a4比a1至少輕3克,a5比a2,a6比a3也都至少輕3克,則a7比a8至少重 10克。根據(jù)式,a5比a4至少輕1克,則a6比a7至少重 18克。與已知矛盾,第一種情況不可能出現(xiàn)。按同樣的推理方法,可以說明第二種和第三種情況也不可能出現(xiàn)。最后,考慮第四種情況。a1比a2至少重1克;a5比a3,a6比a4都至少輕1克,則a7比a8至少重4克。根據(jù)式,a5比a4至少輕4克,則a6比a7至少重5克。這樣得到的這8個物品的重量分別為:a1=15克, a2=14克, a3=13克, a4=12克,a5=11克, a6=10克, a7=5克, a8=1克。因此,找出的這個物品重11克,第二輕的物品重5克。

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