2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第六章 不等式、推理與證明同步練習 文.doc

2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第六章 不等式、推理與證明同步練習 文1了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關系2了解不等式(組)的實際背景3掌握不等式的性質(zhì)及應用1實數(shù)大小順序與運算性質(zhì)之間的關系ab0ab；ab0ab；ab0ab.2不等式的基本性質(zhì)(1)對稱性：abba；(2)傳遞性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc，ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc，ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0abbn(nN，n1)；(6)可開方：ab0(nN，n2)不等式的兩類常用性質(zhì)(1)倒數(shù)性質(zhì)ab，ab0；a0b；ab0,0cd；0axb或axb0>>.(2)有關分數(shù)的性質(zhì)若ab0，m0，則真分數(shù)的性質(zhì)；(bm0)；假分數(shù)的性質(zhì)；(bm0)1判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)一個不等式的兩邊同加上或同乘以同一個數(shù)，不等號方向不變()(2)一個非零實數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小()(3)同向不等式具有可加和可乘性()(4)兩個數(shù)的比值大于1，則分子不一定大于分母()答案：(1)(2)(3)(4)2下列命題正確的是()A若acbc，則abB若a2b2，則abC若，則abD若，則ab答案：D3已知a，b是實數(shù)，則“a0且b0”是“ab0且ab0”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：.又當ab0時，a與b同號，由ab0知a0，且b0.答案：C4._1(填“”或“”)解析：11.答案：5下列不等式中恒成立的是_m3m5；5m3m；5m3m；5m5m.解析：m3m520，故恒成立；5m3m20，故恒成立；5m3m2m，無法判斷其符號，故不恒成立；5m5m2m，無法判斷其符號，故不恒成立答案：比較兩個數(shù)(式)的大小1若a1a2，b1b2，則a1b1a2b2與a1b2a2b1的大小關系是_解析：作差可得(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(a1a2)(b1b2)，a1a2，b1b2，(a1a2)(b1b2)0，即a1b1a2b2a1b2a2b1.答案：a1b1a2b2a1b2a2b12若a，b，則a_b(填“”或“”)解析：易知a，b都是正數(shù)，log891，所以ba.答案：3若實數(shù)m1，比較m2與的大小解析：m2，當m1時，m2；當m1時，m2.比較兩個數(shù)大小的常用方法(1)作差法：其基本步驟為：作差、變形、判斷符號、得出結(jié)論，用作差法比較大小的關鍵是判斷差的正負，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等變形方法(2)作商法：即判斷商與1的關系，得出結(jié)論，要特別注意當商與1的大小確定后必須對商式分子分母的正負做出判斷，這是用作商法比較大小時最容易漏掉的關鍵步驟(3)特值驗證法：對于一些題目，有的給出取值范圍，可采用特值驗證法比較大小不等式的性質(zhì)(1)(xx四川卷)若ab0，cd0，則一定有()ABCD(2)(xx陜西咸陽摸底)若a，b是任意實數(shù)，且ab，則下列不等式成立的是()Aa2b2B1Clg(ab)0Dab解析：(1)cd0，0，0，又ab0，故選B(2)當a1，b2時，a2b2，1，lg(ab)0，可排除A，B，C，故選D答案：(1)B(2)D1(xx廣東東莞一模)設a，bR，若a|b|<0，則下列不等式中正確的是()Aab>0Ba3b3>0Ca2b2<0Dab<0解析：當b0時，ab<0；當b<0時，ab<0，a<b<0，ab<0，故選D答案：D2若a0ba，cd0，則下列結(jié)論：adbc；0；acbd；a(dc)b(dc)中成立的個數(shù)是()A1B2C3D4解析：a0b，cd0，ad0，bc0，adbc，故錯誤a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，0，故正確c<d，cd.ab，a(c)b(d)，acbd，故正確ab，dc0，a(dc)b(dc)，故正確，故選C答案：C3(xx浙江卷)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，則()Ac3B3c6C6c9Dc9解析：由0f(1)f(2)f(3)3，得01abc84a2bc279a3bc3，由1abc84a2bc，得3ab70，由1abc279a3bc，得4ab130，由，解得a6，b11，0c63，即6c9，故選C答案：C1.判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì)2在判斷一個關于不等式的命題真假時，先把要判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應用性質(zhì)判斷命題真假，當然判斷的同時還要用到其他知識，比如對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等用不等式(組)表示不等關系某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，甲、乙產(chǎn)品都需要在A，B兩種設備上加工，在每臺A，B設備上加工一件甲產(chǎn)品所需工時分別為1小時、2小時，加工一件乙產(chǎn)品所需工時分別為2小時、1小時，A，B兩種設備每月有效使用臺時數(shù)分別為400和500.寫出滿足上述所有不等關系的不等式解析：設甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x，y，則由題意可知某化工廠制定明年某產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，受下面條件的制約：生產(chǎn)此產(chǎn)品的工人不超過200人；每個工人的年工作時間約為2 100 h；預計此產(chǎn)品明年的銷售量至少為80 000袋；生產(chǎn)每袋產(chǎn)品需用4 h；生產(chǎn)每袋產(chǎn)品需用原料20 kg；年底庫存原料600 t，明年可補充1 200 t試根據(jù)這些數(shù)據(jù)預測明年的產(chǎn)量解析：設明年的產(chǎn)量為x袋，則解得80 000x90 000.預計明年的產(chǎn)量在80 000袋到90 000袋之間用不等式(組)表示實際問題中的不等關系時，除了把文字語言“翻譯”成符號語言，把握“不超過”、“不低于”、“至少”、“至多”等關鍵詞外，還應考慮變量的實際意義，即變量的取值范圍A級基礎訓練1已知a1，a2(0,1)，記Ma1a2，Na1a21，則M與N的大小關系是()AMNBMNCMND不確定解析：MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210.(a11)(a21)0，即MN0.MN.答案：B2設，那么2的取值范圍是()ABC(0，)D解析：由題設得02，0，0，2.答案：D3(xx山西太原模擬)已知a，b為非零實數(shù)，且ab，則下列命題成立的是()Aa2b2Ba2bab2CD解析：由a<b<0得a2>b2，知A不成立；由a<b，若ab<0，則a2b>ab2，知B不成立；若a1，b2，則2，此時>，所以D不成立；對于C，<0，<.故選C答案：C4(xx山東泰安一模)如果ab，則下列各式正確的是()Aalg xblg xBax2bx2Ca2b2Da2xb2x解析：A項，當lg x0，即x1時不滿足；B項，當x20時不滿足；C項，當a1，b2時不滿足；D項，因為2x0，所以a2xb2x.綜上可知選D答案：D5設甲：m，n滿足乙：m，n滿足那么甲是乙的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：由2mn4,0mn3；但/ 反例，如故甲是乙的必要不充分條件答案：B6若13，42，則|的取值范圍是_解析：42，0|4.4|0.3|3.答案：(3,3)7已知ab0，則與的大小關系是_解析：(ab).ab0，(ab)20，0.答案：8已知1xy4，且2xy3，則z2x3y的取值范圍是_(用區(qū)間表示)解析：z(xy)(xy)，3(xy)(xy)8，z3,8答案：3,89若ab0，cd0，e0.求證：.證明：cd0，cd0.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.0.又e0，.10某公司租賃甲、乙兩種設備生產(chǎn)A，B兩類產(chǎn)品，甲種設備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件已知設備甲每天的租賃費為200元，設備乙每天的租賃費為300元，現(xiàn)該公司要生產(chǎn)A類產(chǎn)品至少50件，B類產(chǎn)品至少140件，所需租賃費最多不超過2 500元，寫出滿足上述所有不等關系的不等式解析：設甲種設備需要生產(chǎn)x天，乙種設備需要生產(chǎn)y天，則甲、乙兩種設備每天生產(chǎn)A，B兩類產(chǎn)品的情況如表所示：A類產(chǎn)品(件)B類產(chǎn)品(件)租賃費(元)甲設備510200乙設備620300則x，y滿足即B級能力提升1(xx北京平谷4月)已知a，b，c，d均為實數(shù)，有下列命題：若ab0，bcad0，則0；若ab0，0，則bcad0；若bcad0，0，則ab>0.其中正確命題的個數(shù)是()A0B1C2D3解析：ab0，bcad0，0，正確；ab0，又0，即0，bcad0，正確；bcad0，又0，即0，ab0，正確故選D答案：D2已知存在實數(shù)a滿足ab2aab，則實數(shù)b的取值范圍是_解析：ab2aab，a0，當a0時，b21b，即解得b1；當a0時，b21b，即無解綜上可得b1.答案：(，1)3已知12a60,15b36，求ab，的取值范圍解析：15b36，36b15.又12a60，1236ab6015，24ab45，即ab的取值范圍是(24,45)，4，即的取值范圍是.4某單位組織職工去某地參觀學習需包車前往甲車隊說：“如果領隊買一張全票，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”乙車隊說：“你們屬團體票，按原價的8折優(yōu)惠”這兩個車隊的原價、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)比較兩車隊的收費哪家更優(yōu)惠解析：設該單位職工有n人(nN*)，全票價為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，則y1xx(n1)xxn，y2nx.所以y1y2xxnnxxnxx.當n5時，y1y2；當n5時，y1y2；當n5時，y1y2.因此當單位去的人數(shù)為5人時，兩車隊收費相同；多于5人時，甲車隊更優(yōu)惠；少于5人時，乙車隊更優(yōu)惠第二節(jié)一元二次不等式及其解法1會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型2通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的關系3會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖三個“二次”間的關系判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩相異實根x1，x2(x1x2)有兩相等實根x1x2沒有實數(shù)根ax2bxc0(a0)的解集x|xx1或xx2Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx21分式不等式與一元二次不等式的關系(1)0等價于(xa)(xb)0.(2)0等價于(xa)(xb)0.(3)0等價于(4)0等價于2兩個常用的結(jié)論(1)不等式ax2bxc0(a0)對任意實數(shù)x恒成立(2)不等式ax2bxc0(a0)對任意實數(shù)x恒成立1判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0的解集為(x1，x2)，則必有a0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，則方程ax2bxc0的兩個根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2bxc0的解集為R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的條件是a0且b24ac0.()(5)若二次函數(shù)yax2bxc的圖象開口向下，則不等式ax2bxc0的解集一定不是空集()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2不等式x(2x)0的解集是()A(，0)B(0,2)C(，0)(2，)D(2，)答案：B3x2axb0的解集為x|x2或x3，則ab的值是()A1B1C11D12答案：C4a<0時，不等式x22ax3a2<0的解集是_解析：x22ax3a20，x13a，x2a.又a<0，不等式的解集為x|3a<x<a答案：x|3a<x<a5不等式x2ax40的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式x2ax40的解集不是空集，a2440，即a216.a4或a4.答案：(，4)(4，)一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x23x40；(2)3x22x80；(3)12x2axa2(aR)解析：(1)由91670，故不等式的解集為.(2)原不等式等價于3x22x80(x2)(3x4)0x2或x，故不等式的解集為 .(3)原不等式可化為12x2axa20(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0得x1，x2.a0時，此時不等式等價于x或x.a0時，不等式等價于x20x0.a0時，此時不等式等價于x或x.綜上所述，當a0時，不等式的解集為；當a0時，不等式的解集為x|x0；當a0時，不等式的解集為 .解下列不等式：(1)8x116x2；(2)ax2(2a1)x20(a>0)解析：(1)原不等式轉(zhuǎn)化為16x28x10，即(4x1)20，xR，故原不等式的解集為R.(2)原不等式可化為(ax1)(x2)<0.因a>0，原不等式可以化為a(x2)<0，根據(jù)不等式的性質(zhì)知這個不等式等價于(x2)<0，方程(x2)0的兩個根是2，.當0<a<時，2<，不等式的解集是，當a時，不等式的解集是，當a>時，<2，不等式的解集是 .綜上所述，當0<a<時，不等式的解集為；當a時，不等式的解集為；當a>時，不等式的解集為 .1.解一元二次不等式的一般步驟：(1)對不等式變形，使一端為0且二次項系數(shù)大于0，即ax2bxc0(a0)，ax2bxc0(a0)；(2)計算相應的判別式；(3)當0時，求出相應的一元二次方程的根；(4)根據(jù)對應二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集2解含參數(shù)的一元二次不等式可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏一元二次不等式恒成立問題設函數(shù)f(x)mx2mx1(m0)(1)若對于一切實數(shù)x，f(x)0恒成立，求m的取值范圍；(2)若對于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范圍解析：(1)要使mx2mx10恒成立，由m0，得4m0.所以4m<0.(2)要使f(x)m5在1,3上恒成立，即m2m60在x1,3上恒成立有以下兩種方法：法一：令g(x)m2m6，x1,3當m0時，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，則0m；當m0時，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.綜上所述，m的取值范圍是 .法二：因為x2x120，又因為m(x2x1)60，所以m.因為函數(shù)y在1,3上的最小值為，所以只需m即可因為m0，所以，m的取值范圍是 .1(xx河南鄭州調(diào)研)若不等式x2ax10對一切x都成立，求a的最小值解析：法一：由于x0，則由已知可得ax在x上恒成立，而當x時，max，a，故a的最小值為.法二：設f(x)x2ax1，則其對稱軸為x.(1)若，即a1時，f(x)在上單調(diào)遞減，此時應有f0，從而a1.(2)若0，即a0時，f(x)在上單調(diào)遞增，此時應有f(0)10恒成立，故a0.(3)若0，即1a0時，則應有f110恒成立，故1a0.綜上可知a，故a的最小值為.2.求使不等式x2(a6)x93a>0，|a|1恒成立的x的取值范圍解析：將原不等式整理為形式上是關于a的不等式(x3)ax26x9>0.令f(a)(x3)ax26x9.因為f(a)>0在|a|1時恒成立，所以(1)若x3，則f(a)0，不符合題意，應舍去(2)若x3，則由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得即解得x<2或x>4.故x的取值范圍為(，2)(4，)3(xx廣東湛江檢測)設奇函數(shù)f(x)在1,1上是單調(diào)函數(shù)，且f(1)1.若函數(shù)f(x)t22at1對所有的x1,1都成立，則當a1,1時，求t的取值范圍解析：f(x)為奇函數(shù)，f(1)1，f(1)f(1)1.又f(x)在1,1上是單調(diào)函數(shù)，1f(x)1，當a1,1時，t22at11恒成立，即t22at0恒成立令g(a)t22at，a1,1，解得t2或t0或t2.t的取值范圍為t2或t0或t2.恒成立問題及二次不等式恒成立的條件(1)解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)一般地，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)(2)對于二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方一元二次不等式的應用某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺)，其總成本為G(x)萬元，其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)100臺的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本固定成本生產(chǎn)成本)，銷售收入R(x)滿足R(x)假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律：(1)要使工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量x應控制在什么范圍？(2)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時盈利最大？此時每臺產(chǎn)品的售價為多少？解析：依題意得G(x)x2，設利潤函數(shù)為f(x)，則f(x)R(x)G(x)，所以f(x)(1)要使工廠有盈利，則有f(x)0，因為f(x)0或或5x8.2或5x8.21x5或5x8.21x8.2.所以要使工廠盈利，產(chǎn)品數(shù)量應控制在大于100臺小于820臺的范圍內(nèi)(2)0x5時，f(x)0.4(x4)23.6，故當x4時，f(x)有最大值3.6.而當x5時，f(x)8.253.2，所以當工廠生產(chǎn)400臺產(chǎn)品時，盈利最大，又x4時，2.4(萬元/百臺)240(元/臺)故此時每臺產(chǎn)品的售價為240元某同學要把自己的計算機接入因特網(wǎng)現(xiàn)有兩家ISP公司可供選擇公司A每小時收費1.5元；公司B在用戶每次上網(wǎng)的第1小時內(nèi)收費1.7元，第2小時內(nèi)收費1.6元，以后每小時減少0.1元(若用戶一次上網(wǎng)時間超過17小時，按17小時計算)假設該同學一次上網(wǎng)時間總和小于17小時，那么該同學如何選擇ISP公司較省錢？解析：假設一次上網(wǎng)x小時，則公司A收取的費用為1.5x元，公司B收取的費用為元若能夠保證選擇A比選擇B費用少，則1.5x(0x17)，整理得x25x0，解得0x5，所以當一次上網(wǎng)時間在5小時以內(nèi)時，選擇公司A的費用少；超過5小時，選擇公司B的費用少；上網(wǎng)5小時，公司A、B的費用一樣求解不等式應用題的四個步驟(1)閱讀理解，認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系(2)引進數(shù)學符號，將文字信息轉(zhuǎn)化為符號語言，用不等式表示不等關系，建立相應的數(shù)學模型(3)解不等式，得出數(shù)學結(jié)論，要注意數(shù)學模型中自變量的實際意義(4)回歸實際問題，將數(shù)學結(jié)論還原為實際問題的結(jié)果A級基礎訓練1(xx廣東惠州模擬)不等式0的解集為()A2,1B(2,1C(，2)(1，)D(，2(1，)解析：02x1.答案：B2已知不等式x22x30的解集為A，不等式x2x60的解集為B，不等式x2axb0的解集為AB，那么ab等于()A3B1C1D3解析：由題意得Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根與系數(shù)的關系可知，a1，b2，ab3.答案：A3下列選項中，使不等式xx2成立的x的取值范圍是()A(，1)B(1,0)C(0,1)D(1，)解析：由xx2可得即解得綜合知x1.答案：A4如果關于x的不等式5x2a0的所有正整數(shù)解是1,2,3,4，那么實數(shù)a的取值范圍是()A80,125)B(80,125)C(，80)D(125，)解析：由5x2a0，得x ，而5x2a0的所有正整數(shù)解是1,2,3,4，4 5，80a125.答案：A5(xx遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知一元二次不等式f(x)0的解集為，則f(ex)0的解集為()Ax|xln 2或xln 3Bx|ln 2xln 3Cx|xln 3Dx|ln 2xln 3解析：由題意可知一元二次不等式所對應的二次函數(shù)的圖象開口向下，故f(x)0的解集為，又f(ex)0，ex3，解得ln 2xln 3.答案：D6不等式|x(x2)|x(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0x27(xx重慶萬州考前模擬)若關于x的不等式axb的解集為，則關于x的不等式ax2bxa0的解集為_解析：由已知axb的解集為，可知a0，且，將不等式ax2bxa0兩邊同除以a，得x2x0，所以x2x0，即5x2x40，解得1x，故原不等式的解集為.答案：8若關于x的不等式ax2x2a0的解集為，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：依題意可知，問題等價于ax2x2a0恒成立，當a0時，x0不恒成立，故a0舍去；當a0時，要使ax2x2a0恒成立，即f(x)ax2x2a的圖象不在x軸的下方，即解得a，即a的取值范圍是.答案：9已知二次函數(shù)yx2pxq，當y0時，有x，解不等式qx2px10.解析：因為當y0時，有x，所以x1與x2是方程x2pxq0的兩個實數(shù)根由根與系數(shù)的關系得解得所以不等式qx2px10x2x10x2x60，解得2x3，即不等式qx2px10的解集為x|2x310已知函數(shù)f(x)的定義域為R.(1)求a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)的最小值為，解關于x的不等式x2xa2a0.解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域為R，ax22ax10恒成立，當a0時，10恒成立，當a0時，則有0a1.綜上可知，a的取值范圍是0,1(2)f(x)，a0，當x1時，f(x)min，由題意得，a，不等式x2xa2a0可化為x2x0，解得x，所以不等式的解集為.B級能力提升1對一切正整數(shù)n，不等式恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是()A(，0)B(，0)(1，)C(1，)D(，0)1，)解析：由條件知只需max，而1.1，解得x(，0)1，)答案：D2若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，則a的取值范圍是_解析：原不等式即(xa)(x1)0，當a1時，不等式的解集為a,1，此時只要a4即可，即4a1；當a1時，不等式的解為x1，此時符合要求；當a1時，不等式的解集為1，a，此時只要a3即可，即1a3.綜上可得4a3.答案：4,33一個服裝廠生產(chǎn)風衣，月銷售量x(件)與售價p(元/件)之間的關系為p1602x，生產(chǎn)x件的成本R50030x(元)(1)該廠月產(chǎn)量多大時，月利潤不少于1 300元？(2)當月產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤，最大利潤是多少？解析：(1)由題意知，月利潤ypxR，即y(1602x)x(50030x)2x2130x500.由月利潤不少于1 300元，得2x2130x5001 300.即x265x9000，解得20x45.故該廠月產(chǎn)量在2045件時，月利潤不少于1 300元(2)由(1)得，y2x2130x50022，由題意知，x為正整數(shù)故當x32或33時，y最大為1 612.所以當月產(chǎn)量為32或33件時，可獲最大利潤，最大利潤為1 612元4設二次函數(shù)f(x)ax2bxc，函數(shù)F(x)f(x)x的兩個零點為m，n(mn)(1)若m1，n2，求不等式F(x)0的解集；(2)若a0，且0xmn，比較f(x)與m的大小解析：(1)由題意知，F(xiàn)(x)f(x)xa(xm)(xn)，當m1，n2時，不等式F(x)0，即a(x1)(x2)0.那么當a0時，不等式F(x)0的解集為x|x1或x2；當a0時，不等式F(x)0的解集為x|1x2(2)f(x)ma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，a0，且0xmn，xm0,1anax0.f(x)m0，即f(x)m.第三節(jié)二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題1會從實際情境中抽象出二元一次不等式組2了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組3會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決. 1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域AxByC0直線AxByC0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域不包括邊界直線AxByC0包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.二元一次不等式(組)的解集滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成的有序數(shù)對(x，y)，叫做二元一次不等式(組)的解，所有這樣的有序數(shù)對(x，y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集3線性規(guī)劃的有關概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標函數(shù)關于x，y的函數(shù)解析式，如zx2y線性目標函數(shù)關于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題1確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域的方法確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域，常采用“直線定界，測試點定域”的方法(1)直線定界，即若不等式不含等號，則應把直線畫成虛線；若不等式含有等號，把直線畫成實線(2)特殊點定域，由于對在直線AxByC0同側(cè)的點，實數(shù)AxByC的值的符號都相同，故為確定AxByC的值的符號，可采用特殊點法，如取原點、(0,1)、(1,0)等點2求二元一次函數(shù)zaxby(ab0)的最值的方法將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值(1)當b0時，截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值；(2)當b0時，截距取最大值時，z取最小值；截距取最小值時，z取最大值1判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)不等式AxByC0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方()(2)任何一個二元一次不等式組都表示平面上的一個區(qū)域()(3)線性目標函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的()(4)線性目標函數(shù)取得最值的點一定在可行域的頂點或邊界上()(5)目標函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2下面給出的四個點中，位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是()A(0,2)B(2,0)C(0，2)D(2,0)解析：將四個點的坐標分別代入不等式組滿足條件的是(0，2)答案：C3(xx湖北卷)若變量x，y滿足約束條件則2xy的最大值是()A2B4C7D8解析：畫出x，y的約束條件限定的可行域為如圖陰影區(qū)域，令u2xy，則y2xu，先畫出直線y2x，再平移直線y2x，當經(jīng)過點A(3,1)時，代入u，可得最大值為7，故選C答案：C4已知實數(shù)x，y滿足則此不等式組表示的平面區(qū)域的面積是_解析：作出可行域為如圖所示的三角形，S11.答案：5若x，y滿足約束條件，則zxy的最大值是_解析：作出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，當直線zxy過點A(1,1)時，目標函數(shù)zxy取得最大值0.答案：0二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域1若關于x，y的不等式組所表示的區(qū)域為三角形，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1)B(0,1)C(1,1)D(1，)解析：yax為過原點的直線，當a0時，若能構(gòu)成三角形，則需0a1；當a0時，若能構(gòu)成三角形，則需1a0，綜上a(1,1)答案：C2(xx安徽卷)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，可知SABC2(22)4.答案：41.作平面區(qū)域時要“直線定界，測試點定域”，當不等式無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線，若直線不過原點，測試點常選取原點2求平面區(qū)域的面積，要先確定區(qū)域，若是規(guī)則圖形可直接求，若不規(guī)則可通過分割求解求線性目標函數(shù)的最值(1)(xx遼寧卷)已知x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z3x4y的最大值為_(2)(xx湖南卷)若變量x，y滿足約束條件且z2xy的最小值為6，則k_.解析：(1)畫出x，y滿足約束條件的可行域如圖陰影部分由得點A的坐標為(2,3)作直線l0：3x4y0，可知當平移l0到l(l過點A)時，目標函數(shù)有最大值，此時zmax324318.(2)由題意知當z2xy過(k，k)時z2xy有最小值，將(k，k)代入z2xy，3k6，k2.答案：(1)18(2)21(xx全國卷)設x，y滿足約束條件則z2xy的最大值為()A10B8C3D2解析：作出可行域如圖中陰影部分所示，由z2xy得y2xz，作出直線y2x，平移使之經(jīng)過可行域，觀察可知，當直線經(jīng)過點A(5,2)時，對應的z值最大故zmax2528.答案：B2(xx北京卷)若x，y滿足且zyx的最小值為4，則k的值為()A2B2CD解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示，當k>0時，zyx無最小值，所以k<0，當k2時可行域內(nèi)為點(0,2)，不合題意k，故選D答案：D3(xx浙江卷)若實數(shù)x，y滿足則xy的取值范圍是_解析：畫出約束條件所確定的可行域(如圖中陰影部分所示)令zxy，則yxz，畫出直線l：yx，平移直線l，當l經(jīng)過可行域中的點A(1,0)時，z取最小值，且zmin101；當l經(jīng)過可行域中的點B(2,1)時，z取最大值，且zmax213，故xy的取值范圍是1,3答案：1,34若x，y滿足條件當且僅當xy3時，zaxy取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：畫出可行域，如圖中陰影部分所示，直線3x5y60與2x3y150交于點M(3,3)，由目標函數(shù)zaxy，得yaxz，其縱截距為z，當z最小時，z最大依題意，有a.答案：5(xx課標全國卷)不等式組的解集記為D，有下面四個命題：p1：(x，y)D，x2y2，p2：(x，y)D，x2y2，p3：(x，y)D，x2y3，p4：(x，y)D，x2y1.其中的真命題是()Ap2，p3Bp1，p2Cp1，p4Dp1，p3解析：畫出可行域如圖陰影部分所示作直線l0：yx，平移l0，當直線經(jīng)過A(2，1)時，x2y取最小值，此時(x2y)min0.故p1：(x，y)D，x2y2為真，p2：(x，y)D，x2y2為真故選B答案：B6(xx浙江卷)當實數(shù)x，y滿足時，1axy4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：畫可行域如圖所示，設目標函數(shù)zaxy，即yaxz，要使1z4恒成立，則a0，數(shù)形結(jié)合知，滿足即可，解得1a.所以a的取值范圍是1a.答案：線性目標函數(shù)最值問題的解題策略(1)求線性目標函數(shù)的最值線性目標函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，我們可以直接解出可行域的頂點，然后將坐標代入目標函數(shù)求出相應的數(shù)值，從而確定目標函數(shù)的最值(2)由目標函數(shù)的最值求參數(shù)求解線性規(guī)劃中含參數(shù)問題的基本方法有兩種：一是把參數(shù)當成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；二是先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)求非線性目標函數(shù)的最值(1)(xx福建卷)已知圓C：(xa)2(yb)21，平面區(qū)域：若圓心C，且圓C與x軸相切，則a2b2的最大值為()A5B29B37D49(2)實數(shù)x，y滿足不等式組求z的取值范圍解析：(1)平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，圓C與x軸相切，b1，把y1分別代入xy30和xy70，得x2和x6，2a6，(a2)max36，(a2b2)max36137，故選C(2)作出不等式組表示的可行域，如圖中的陰影部分z，所以z的幾何意義是動點(x，y)與定點A(1,1)所連直線的斜率結(jié)合圖可知，z的最小值為直線l1的斜率，z的最大值無限接近于直線l2的斜率值l1的斜率k1kAB，l2與直線xy0平行由得點B的坐標為(1,0)，k1.z.答案：(1)C變量x，y滿足(1)設z，求z的最小值；(2)設zx2y2，求z的取值范圍解析：由約束條件作出(x，y)的可行域如圖所示由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)z，z的值即是可行域中的點與原點O連線的斜率觀察圖形可知zminkOB.(2)zx2y2的幾何意義是可行域上的點到原點O的距離的平方結(jié)合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，dmin|OC|，dmax|OB|.2z29.常見代數(shù)式的幾何意義有(1)表示點(x，y)與原點(0,0)的距離；(2)表示點(x，y)與點(a，b)之間的距離；(3)表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率；(4)表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率實際生活中的線性規(guī)劃問題(xx北京豐臺第一學期期末練習)小明準備用積攢的300元零用錢買一些科普書和文具，作為禮品送給山區(qū)的學生已知科普書每本6元，文具每套10元，并且買的文具的數(shù)量不少于科普書的數(shù)量那么最多可以買的科普書與文具的總數(shù)是_解析：設買科普書x本與文具y套，總數(shù)為zxy，由題意可得作出可行域如圖中陰影部分，將zxy轉(zhuǎn)化為yxz，作出直線yx并平移，使之經(jīng)過可行域，易知經(jīng)過點A時，縱截距最大，但因x，y均屬于正整數(shù)，故取得最大值時的最優(yōu)解應為(18,19)，此時z最大為37.答案：37某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸、B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得的最大利潤是()A12萬元B20萬元C25萬元D27萬元解析：設生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y噸，該企業(yè)獲得的利潤為z萬元，則由題目可獲得如下信息：A原料B原料甲產(chǎn)品x噸3x2x乙產(chǎn)品y噸y3y所以目標函數(shù)為z5x3y，作出可行域后如圖所示：由得A(3,4)，當直線z5x3y過點A(3,4)時，z取到最大值，故zmax151227，故選D答案：D線性規(guī)劃應用題的求解應注意(1)明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件中是否能夠取到等號(2)注意結(jié)合實際問題的實際意義，判斷所設未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否是整數(shù)、非負數(shù)等(3)正確地寫出目標函數(shù)，一般地，目標函數(shù)是等式的形式A級基礎訓練1已知點(3，1)和點(4，6)在直線3x2ya0的兩側(cè)，則a的取值范圍為()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，)D(，24)(7，)解析：根據(jù)題意知(92a)(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.答案：B2直線2xy100與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點有()A0個B1個C2個D無數(shù)個解析：直線2xy100與不等式組表示的平面區(qū)域的位置關系如圖所示，故直線與此區(qū)域的公共點有1個答案：B3(xx廣東卷)若變量x，y滿足約束條件且z2xy的最大值和最小值分別為m和n，則mn()A5B6C7D8解析：作出可行域(如圖中陰影部分所示)后，結(jié)合目標函數(shù)可知，當直線y2xz經(jīng)過點A時，z的值最大，由，則mzmax2213.當直線y2xz經(jīng)過點B時，z的值最小，由，由nzmin2(1)13，故mn6.答案：B4已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定，若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為(，1)，則z的最大值為()A4B3C4D3解析：zxy，目標函數(shù)的可行域如圖所示，z取最大值的最優(yōu)解為(，2)，所以zmax24.答案：C5(xx安徽卷)x，y滿足約束條件若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為()A或1B2或C2或1D2或1解析：畫出x，y約束條件限定的可行域，如圖陰影區(qū)域所示，由zyax得yaxz.當直線yax與直線2xy20或直線xy20平行時，符合題意，則a2或1.答案：D6不等式組表示的區(qū)域為D，zxy是定義在D上的目標函數(shù)，則區(qū)域D的面積為_；z的最大值為_解析：圖象的三個頂點分別為(3，2)、(2，2)、(2,3)，所以面積為.因為目標函數(shù)的最值在頂點處取得，把它們分別代入zxy，得x2，y3時，有zmax5.答案：57(xx遼寧省五校聯(lián)考)已知z2xy，x，y滿足，且z的最大值是最小值的4倍，則m的值是_解析：根據(jù)題中所給的約束條件所得的可行域如圖根據(jù)y2xz可知z的幾何含義為直線在y軸上的截距，顯然y2xz在點(1,1)和(m，m)處直線的截距分別取得最大值3和最小值3m，故343m，解得m.答案：8(xx廣東十二校第二次聯(lián)考)已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定若M(x，y)為D上的動點，點A(，0)，則z|的最大值為_解析：根據(jù)線性規(guī)劃的知識，畫出可行域如圖所示因為z的最大值即為可行域內(nèi)的點到點A的距離的最大值，該點應為可行域中的點B(2,0)，所以zmax.答案：9已知關于x，y的二元一次不等式組求函數(shù)zx2y2的最大值和最小值解析：作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示由zx2y2，得yxz1，得到斜率為，在y軸上的截距為z1，隨z變化的一組平行線，由圖可知，當直線經(jīng)過可行域上的A點時，截距z1最小，即z最小，解方程組得A(2，3)，zmin22(3)26.當直線與直線x2y4重合時，截距z1最大，即z最大，zmax426.zx2y2的最大值是6，最小值是6.10(xx陜西卷)在直角坐標系xOy中，已知點A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)