2016年高考 天津卷 文科數(shù)學(xué) (原題+解析)

2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)文數(shù)本卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.參考公式:如果事件A,B互斥,那么如果事件A,B相互獨(dú)立,那么P(AB)=P(A)+P(B).P(AB)=P(A)P(B).棱柱的體積公式V=Sh.圓錐的體積公式V=13Sh.其中S表示棱柱的底面面積,h表示棱柱的高.其中S表示圓錐的底面面積,h表示圓錐的高.第卷(選擇題,共40分)一、選擇題:在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A=1,2,3,B=y|y=2x-1,xA,則AB=()A.1,3B.1,2C.2,3D.1,2,32.甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是12,甲獲勝的概率是13,則甲不輸?shù)母怕蕿?)A.56B.25C.16D.133.將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()4.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為25,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直,則雙曲線的方程為()A.x24-y2=1B.x2-y24=1C.3x220-3y25=1D.3x25-3y220=15.設(shè)x>0,yR,則“x>y”是“x>|y|”的()A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件6.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a-1|)>f(-2),則a的取值范圍是()A.-,12B.-,1232,+C.12,32D.32,+7.已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連結(jié)DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則AFBC的值為()A.-58B.18C.14D.1188.已知函數(shù)f(x)=sin2x2+12sin x-12(>0),xR.若f(x)在區(qū)間(,2)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),則的取值范圍是()A.0,18B.0,1458,1C.0,58D.0,1814,58第卷(非選擇題,共110分)二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9.i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2,則z的實(shí)部為.10.已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex, f (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f (0)的值為.11.閱讀下邊的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出S的值為.12.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點(diǎn)M(0,5)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為455,則圓C的方程為.13.如圖,AB是圓的直徑,弦CD與AB相交于點(diǎn)E,BE=2AE=2,BD=ED,則線段CE的長(zhǎng)為.14.已知函數(shù)f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x<0,loga(x+1)+1,x0(a>0,且a1)在R上單調(diào)遞減,且關(guān)于x的方程|f(x)|=2-x3恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是.三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知asin 2B=3bsin A.()求B;()若cos A=13,求sin C的值.16.(本小題滿分13分)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,需要A,B,C三種主要原料.生產(chǎn)1車(chē)皮甲種肥料和生產(chǎn)1車(chē)皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示:原料肥料ABC甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸,B種原料360噸,C種原料300噸,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料.已知生產(chǎn)1車(chē)皮甲種肥料,產(chǎn)生的利潤(rùn)為2萬(wàn)元;生產(chǎn)1車(chē)皮乙種肥料,產(chǎn)生的利潤(rùn)為3萬(wàn)元.分別用x,y表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車(chē)皮數(shù).()用x,y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域;()問(wèn)分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車(chē)皮,能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)?并求出此最大利潤(rùn).17.(本小題滿分13分)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED平面ABCD,EFAB,AB=2,BC=EF=1,AE=6,DE=3,BAD=60,G為BC的中點(diǎn).()求證:FG平面BED;()求證:平面BED平面AED;()求直線EF與平面BED所成角的正弦值.18.(本小題滿分13分)已知an是等比數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(nN*),且1a1-1a2=2a3,S6=63.()求an的通項(xiàng)公式;()若對(duì)任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng),求數(shù)列(-1)nbn2的前2n項(xiàng)和.19.(本小題滿分14分)設(shè)橢圓x2a2+y23=1(a>3)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O為原點(diǎn),e為橢圓的離心率.()求橢圓的方程;()設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)H.若BFHF,且MOA=MAO,求直線l的斜率.20.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-ax-b,xR,其中a,bR.()求f(x)的單調(diào)區(qū)間;()若f(x)存在極值點(diǎn)x0,且f(x1)=f(x0),其中x1x0,求證:x1+2x0=0;()設(shè)a>0,函數(shù)g(x)=|f(x)|,求證:g(x)在區(qū)間-1,1上的最大值不小于14.2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)一、選擇題1.A由題意可得B=1,3,5,AB=1,3,故選A.易錯(cuò)警示不能列舉出集合B中的所有元素是造成失分的主要原因.2.A設(shè)“兩人下成和棋”為事件A,“甲獲勝”為事件B.事件A與B是互斥事件,所以甲不輸?shù)母怕蔖=P(A+B)=P(A)+P(B)=12+13=56,故選A.3.B由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫(huà)出幾何體的直觀圖,如圖所示.該幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)B.故選B.4.A由題意可得ba=12,a2+b2=5,a>0,b>0,解得a=2,b=1,所以雙曲線的方程為x24-y2=1,故選A.易錯(cuò)警示容易把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的關(guān)系與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的關(guān)系混淆,這是失分的主要原因.5.C令x=1,y=-2,滿足x>y,但不滿足x>|y|;又x>|y|y,x>y成立,故“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分條件.6.Cf(x)是偶函數(shù)且在(-,0)上單調(diào)遞增,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減,且f(-2)=f(2),原不等式可化為f(2|a-1|)>f(2).故有2|a-1|<2,即|a-1|<12,解得12<a<32,故選C.思路分析由已知可得出f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減,且f(-2)=f(2),利用單調(diào)性將f(2|a-1|)>f(2)轉(zhuǎn)化為2|a-1|<2,解該不等式即可.7.B建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.則B-12,0,C12,0,A0,32,所以BC=(1,0).易知DE=12AC,FEC=ACE=60,則EF=14AC=14,所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為18,-38,所以AF=18,-538,所以AFBC=18,-538(1,0)=18.故選B.疑難突破利用公式ab=|a|b|cos<a,b>求解十分困難,可以考慮建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算求解.確定點(diǎn)F的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.8.Df(x)=1-cosx2+12sin x-12=12(sin x-cos x)=22sinx-4,x(,2),>0,x-4-4,2-4,f(x)在區(qū)間(,2)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),有以下兩種情況:-4,2-4(2k,2k+),kZ,則有-42k,2-42k+,kZ,得2k+14,k+58,kZ,當(dāng)k=0時(shí),14,58;-4,2-4(2k+,2k+2),kZ,則有-42k+,2-42k+2,kZ,得2k+54,k+98,kZ,當(dāng)k=-1時(shí),-34,18,又>0,0,18.綜上,0,1814,58,故選D.疑難突破將函數(shù)化簡(jiǎn)為f(x)=22sinx-4,將x-4看作一個(gè)整體,借助函數(shù)y=sin x的圖象得出f(x)在(,2)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)需滿足的條件,建立不等式組求解.二、填空題9.答案1解析z=21+i=1-i,z的實(shí)部為1.10.答案3解析f (x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,f (0)=3.11.答案4解析由程序框圖可知,S=8,n=2;S=2,n=3;S=4,n=4,此時(shí)退出循環(huán),輸出S=4.易錯(cuò)警示審題不清是失分的主要原因.12.答案(x-2)2+y2=9解析設(shè)圓C的方程為(x-a)2+y2=r2(a>0),由題意可得|2a|5=455,(-a)2+(5)2=r2,解得a=2,r2=9,所以圓C的方程為(x-2)2+y2=9.方法總結(jié)待定系數(shù)法是求解圓方程的常用方法,一般步驟為設(shè)出圓的方程;列出關(guān)于系數(shù)的方程組,并求出各系數(shù)的值;檢驗(yàn)各值是否符合題意,并寫(xiě)出滿足題意的圓的方程.有時(shí)也可利用圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解.13.答案233解析連結(jié)AC,BC.由同弧所對(duì)的圓周角相等知DBA=ACE,又易知DBA=DEB=AEC,故而有AEC=ACE,所以AC=AE.BE=2AE=2,AC=AE=1,AB=3.易知ACB為直角三角形,ACB=90,AC=1,AB=3,則cos A=13.在ACE中,由余弦定理易得CE=12+12-21113=233.14.答案13,23解析函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,-4a-320,0<a<1,3a1,解得13a34.在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)y=|f(x)|與y=2-x3的圖象,如圖所示.方程|f(x)|=2-x3恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解等價(jià)于y=|f(x)|的圖象與y=2-x3的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),則需滿足3a<2,得a<23,綜上可知,13a<23.易錯(cuò)警示(1)f(x)在R上單調(diào)遞減,需滿足-4a-320,0<a<1,3a1,缺少條件是失分的一個(gè)原因;(2)由方程解的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍往往利用數(shù)形結(jié)合思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題是解決這類(lèi)問(wèn)題常用的方法.三、解答題15.解析()在ABC中,由asinA=bsinB,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=3bsin A,得2asin Bcos B=3bsin A=3asin B,所以cos B=32,得B=6.()由cos A=13,可得sin A=223,則sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinA+6=32sin A+12cos A=26+16.思路分析()利用正弦定理與二倍角公式將原式轉(zhuǎn)化為角B的三角函數(shù)式進(jìn)行求解;()利用三角形的性質(zhì)及兩角和的正弦公式求sin C的值.16.解析()由已知,x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為4x+5y200,8x+5y360,3x+10y300,x0,y0.該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分:圖1()設(shè)利潤(rùn)為z萬(wàn)元,則目標(biāo)函數(shù)為z=2x+3y.考慮z=2x+3y,將它變形為y=-23x+z3,這是斜率為-23,隨z變化的一族平行直線.z3為直線在y軸上的截距,當(dāng)z3取最大值時(shí),z的值最大.又因?yàn)閤,y滿足約束條件,所以由圖2可知,當(dāng)直線z=2x+3y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí),截距z3最大,即z最大.圖2解方程組4x+5y=200,3x+10y=300,得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(20,24).所以zmax=220+324=112.答:生產(chǎn)甲種肥料20車(chē)皮、乙種肥料24車(chē)皮時(shí)利潤(rùn)最大,且最大利潤(rùn)為112萬(wàn)元.疑難突破解決有關(guān)線性規(guī)劃實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是找出兩變量之間所滿足的關(guān)系式,利用圖解法進(jìn)行解答.17.解析()證明:取BD中點(diǎn)O,連結(jié)OE,OG.在BCD中,因?yàn)镚是BC中點(diǎn),所以O(shè)GDC且OG=12DC=1,又因?yàn)镋FAB,ABDC,所以EFOG且EF=OG,即四邊形OGFE是平行四邊形,所以FGOE.又FG平面BED,OE平面BED,所以,FG平面BED.()證明:在ABD中,AD=1,AB=2,BAD=60,由余弦定理可得BD=3,進(jìn)而ADB=90,即BDAD.又因?yàn)槠矫鍭ED平面ABCD,BD平面ABCD,平面AED平面ABCD=AD,所以BD平面AED.又因?yàn)锽D平面BED,所以,平面BED平面AED.()因?yàn)镋FAB,所以直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所成的角.過(guò)點(diǎn)A作AHDE于點(diǎn)H,連結(jié)BH.又平面BED平面AED=ED,由()知AH平面BED.所以,直線AB與平面BED所成的角即為ABH.在ADE中,AD=1,DE=3,AE=6,由余弦定理得cosADE=23,所以sinADE=53,因此,AH=ADsinADE=53.在RtAHB中,sinABH=AHAB=56.所以,直線EF與平面BED所成角的正弦值為56.方法總結(jié)證明線面平行常用線線平行或面面平行進(jìn)行轉(zhuǎn)化;在證明面面垂直時(shí)注意線、面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化;解決線面角的關(guān)鍵是找出斜線在平面內(nèi)的射影,常用定義法求解.18.解析()設(shè)數(shù)列an的公比為q.由已知,有1a1-1a1q=2a1q2,解得q=2,或q=-1.又由S6=a11-q61-q=63,知q-1,所以a11-261-2=63,得a1=1.所以an=2n-1.()由題意,得bn=12(log2an+log2an+1)=12(log22n-1+log22n)=n-12,即bn是首項(xiàng)為12,公差為1的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列(-1)nbn2的前n項(xiàng)和為T(mén)n,則T2n=(-b12+b22)+(-b32+b42)+(-b2n-12+b2n2)=b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n=2n(b1+b2n)2=2n2.思路分析()利用“基本量”思想,建立關(guān)于a1,q的方程求解;()利用分組求和法.19.解析()設(shè)F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,橢圓的方程為x24+y23=1.()設(shè)直線l的斜率為k(k0),則直線l的方程為y=k(x-2).設(shè)B(xB,yB),由方程組x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由題意得xB=8k2-64k2+3,從而yB=-12k4k2+3.由()知,F(1,0),設(shè)H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3.由BFHF,得BFFH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.因此直線MH的方程為y=-1kx+9-4k212k.設(shè)M(xM,yM),由方程組y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xM=20k2+912(k2+1).在MAO中,MOA=MAO|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM2=xM2+yM2,化簡(jiǎn)得xM=1,即20k2+912(k2+1)=1,解得k=-64,或k=64.所以,直線l的斜率為-64或64.20.解析()由f(x)=x3-ax-b,可得f (x)=3x2-a.下面分兩種情況討論:(1)當(dāng)a0時(shí),有f (x)=3x2-a0恒成立,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+).(2)當(dāng)a>0時(shí),令f (x)=0,解得x=3a3,或x=-3a3.當(dāng)x變化時(shí), f (x), f(x)的變化情況如下表:x-,-3a3-3a3-3a3,3a33a33a3,+f (x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-3a3,3a3,單調(diào)遞增區(qū)間為-,-3a3,3a3,+.()證明:因?yàn)閒(x)存在極值點(diǎn),所以由()知a>0,且x00.由題意,得f (x0)=3x02-a=0,即x02=a3,進(jìn)而f(x0)=x03-ax0-b=-2a3x0-b.又f(-2x0)=-8x03+2ax0-b=-8a3x0+2ax0-b=-2a3x0-b=f(x0),且-2x0x0,由題意及()知,存在唯一實(shí)數(shù)x1滿足 f(x1)=f(x0),且x1x0,因此x1=-2x0.所以x1+2x0=0.()證明:設(shè)g(x)在區(qū)間-1,1上的最大值為M,maxx,y表示x,y兩數(shù)的最大值.下面分三種情況討論:(1)當(dāng)a3時(shí),-3a3-1<13a3,由()知, f(x)在區(qū)間-1,1上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間-1,1上的取值范圍為f(1), f(-1),因此M=max|f(1)|,|f(-1)|=max|1-a-b|,|-1+a-b|=max|a-1+b|,|a-1-b|=a-1+b,b0,a-1-b,b<0.所以M=a-1+|b|2.(2)當(dāng)34a<3時(shí),-23a3-1<-3a3<3a3<123a3,由()和()知f(-1)f -23a3=f 3a3, f(1)f 23a3=f -3a3,所以f(x)在區(qū)間-1,1上的取值范圍為f3a3, f-3a3,因此M=maxf3a3,f-3a3=max-2a93a-b,2a93a-b=max2a93a+b,2a93a-b=2a93a+|b|2934334=14.(3)當(dāng)0<a<34時(shí),-1<-23a3<23a3<1,由()和()知f(-1)<f -23a3=f 3a3, f(1)>f 23a3=f -3a3,所以f(x)在區(qū)間-1,1上的取值范圍為f(-1), f(1),因此M=max|f(-1)|,|f(1)|=max|-1+a-b|,|1-a-b|=max|1-a+b|,|1-a-b|=1-a+|b|>14.綜上所述,當(dāng)a>0時(shí),g(x)在區(qū)間-1,1上的最大值不小于14.思路分析()求含參數(shù)的函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,需要進(jìn)行分類(lèi)討論;()由第()問(wèn)可知a>0,要證x1+2x0=0,只需證出f(-2x0)=f(x0),其中x1=-2x0,即可得結(jié)論;()求g(x)在-1,1上的最大值,對(duì)a分情況討論即可.