2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章《圓錐曲線》學(xué)案 蘇教版選修2-1.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章圓錐曲線學(xué)案 蘇教版選修2-1圓錐曲線第 第一 二定 定義 義標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系橢圓性質(zhì)對(duì)稱性焦點(diǎn)頂點(diǎn)離心率準(zhǔn)線焦半徑直線與橢圓的位置關(guān)系相交相切相離第 第一 二定 定義 義標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系雙曲線性質(zhì)對(duì)稱性焦點(diǎn)頂點(diǎn)離心率準(zhǔn)線焦半徑直線與雙曲線的位置關(guān)系相交相切相離漸近線拋物線 定義 標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)對(duì)稱性焦點(diǎn)頂點(diǎn)離心率準(zhǔn)線焦半徑直線與拋物線的位置關(guān)系相交相切相離【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 31 橢圓【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1熟練掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)及參數(shù)方程2考查橢圓的離心率,直線的方程,平面向量的坐標(biāo)表示,方程思想等數(shù)學(xué)思想方法和綜合解題能力.二、命題落點(diǎn)圓錐曲線是解析幾何的重點(diǎn),也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,高考中主要出現(xiàn)三種類型的試題:考查圓錐曲線的概念與性質(zhì);求曲線方程和軌跡;關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題,主要考查直線方程,平面向量及橢圓的幾何性質(zhì)等基本知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題以及推理能力.【典例精析】例1:已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在軸上,斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),與共線(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn),且,證明為定值解析:(1)設(shè)橢圓方程為,則直線AB的方程代入,化簡(jiǎn)得令,則由與共線,得,又,即,所以 ,故離心率(2)由()知,所以橢圓可化為設(shè),由已知得, 在橢圓上,,即 由(1)知, 又代入,得故為定值,定值為1 例2:如圖,點(diǎn)、分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且位于軸上方,(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn),M到直線AP的距離等于,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值解析:(1)由已知可得點(diǎn)A(6,0),F(xiàn)(4,0)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是,由已知得由于(2)直線AP的方程是設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(m,0),則M到直線AP的距離是,于是橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d,有由于例3:已知方向向量為的直線l過點(diǎn)()和橢圓的焦點(diǎn),且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上.(1)求橢圓C的方程;OE(2)是否存在過點(diǎn)E(2,0)的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N,滿足cotMON0(O為原點(diǎn)).若存在,求直線m的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由. 解析:(1)直線, 過原點(diǎn)垂直的直線方程為, 解得橢圓中心(0,0)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上,直線過橢圓焦點(diǎn),該焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0). 故橢圓C的方程為 (2)設(shè)M(),N().當(dāng)直線m不垂直軸時(shí),直線代入,整理得OEMNOEMN點(diǎn)O到直線MN的距離即 即整理得當(dāng)直線m垂直x軸時(shí),也滿足.故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足.所以所求直線方程為或或【常見誤區(qū)】解析幾何問題,基本上都與方程思想相結(jié)合,因而要注意直線方程與曲線方程聯(lián)立起來,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,或直接解出根,是高考常用的方法,要注意有關(guān)方法的練習(xí)、歸納,要注意運(yùn)算的優(yōu)化,要注意利用數(shù)形結(jié)合,挖掘隱含性質(zhì),這也是考生思維的一個(gè)障礙點(diǎn).【基礎(chǔ)演練】1若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為,則m=( )ABCD2設(shè)的最小值是( )ABC3D3設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2,過F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是()A BC D4點(diǎn)在橢圓的左準(zhǔn)線上,過點(diǎn)P且方向?yàn)榈墓饩€經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點(diǎn),則這個(gè)橢圓的離心率為( )A BC D5已知是圓為圓心)上一動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線交BF于P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 .6如圖所示, 底面直徑為的圓柱被與底面成的平面所截,其截口是一個(gè)橢圓,則這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng) ,短軸長(zhǎng) ,離心率為 7 yxOP已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、,是橢圓外的動(dòng)點(diǎn),滿足,點(diǎn)是線段與該橢圓的交點(diǎn),點(diǎn)在線段上,并且滿足 (1)設(shè)為點(diǎn)的橫坐標(biāo),證明 ;(2)求點(diǎn)的軌跡的方程;(3)試問:在點(diǎn)的軌跡上,是否存在點(diǎn),使的面積若存在,求的正切值;若不存在,請(qǐng)說明理由8已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,離心率為e. 直線l:yexa與x軸y軸分別交于點(diǎn)A、B,M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn),P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn),設(shè). (1)證明:1e2; (2)若,PF1F2的周長(zhǎng)為6,寫出橢圓C的方程; (3)確定的值,使得PF1F2是等腰三角形.9設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn),點(diǎn)N(1,3)是線段AB的中點(diǎn),線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). (1)確定的取值范圍,并求直線AB的方程;(2)試判斷是否存在這樣的,使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上?并說明理由.32 雙曲線【考點(diǎn)透視】一、考綱指要熟練掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)二、命題落點(diǎn)1考查了圓錐曲線中雙曲線的漸近線方程與準(zhǔn)線方程,以及標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c之間的關(guān)系,兩漸近線間的夾角的求法,如例1. 2雙曲線的第一、第二定義在解題中的靈活運(yùn)用,如例2;3考查等邊三角形的性質(zhì),焦點(diǎn)三角形公式及離心率公式,靈活運(yùn)用焦點(diǎn)三角形公式避免了繁瑣的運(yùn)算,突出觀察研究能力的考查,如例3.【典例精析】例1:已知雙曲線1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A,OAF的面積為(O為原點(diǎn)),則兩條漸近線的夾角( )A30B45C60D90解析:雙曲線的右焦點(diǎn)F(c,0),右準(zhǔn)線方程為x=,一條漸近線方程為y=x,可得點(diǎn)A的坐標(biāo)(,),OAF的面積SOAF=OFYA=c=ab,又題意已知SOAF=a2,所以a=b,兩條漸近線間的夾角為900 . 答案: D例2:已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)M在雙曲線上且則點(diǎn)M到x軸的距離為()AB C D解析: 設(shè)M到x軸的距離為h,又,由雙曲線定義得,再由,.答案: C 例3:已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn),以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2,若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上,則雙曲線的離心率是( )ABCD解析:令,邊MF1交雙曲線于點(diǎn)N,連結(jié)N易知答案: D 例4.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線與兩條漸近線交于P、兩點(diǎn),如果是直角三角形,則雙曲線的離心率.解析:如圖所示,且,,在中,將代入式化簡(jiǎn)得: 答案: 【常見誤區(qū)】1對(duì)雙曲線離心率、雙曲線漸近線等基本知識(shí)考察時(shí), 應(yīng)想法利用已知曲線構(gòu)造等式,從而解出的比值,即雙曲線的離心率.這一點(diǎn)考生常不能注意到,致使離心率求解出錯(cuò),如例3、例4.2解題過程中,特別是客觀題中,應(yīng)注意雙曲線第一第二定義的應(yīng)用,此問題考生常會(huì)忽視,如例1、例2.【基礎(chǔ)演練】1已知雙曲線,則雙曲線右支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離之比等于( )AB C2D 42設(shè)雙曲線以橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn),其準(zhǔn)線過橢圓的焦點(diǎn),則雙曲線的漸近線的斜率為( )ABCD3平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn),設(shè)命題甲,是定值,命題乙:點(diǎn)的軌跡是雙曲線,則命題甲是命題乙的( )A充分但不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件4雙曲線和它的共軛雙曲線的離心率分別為,則應(yīng)滿足的關(guān)系是( )AB C D5過雙曲線(a0,b0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn),以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn),則雙曲線的離心率等于_6以下幾個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中:設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn),k為非零常數(shù),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線;設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓;方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn).其中真命題的序號(hào)為 (寫出所有真命題的序號(hào))7已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,左準(zhǔn)線為,能否在雙曲線的左支上求一點(diǎn),使是到的距離與的等比中項(xiàng)?若能,求出的坐標(biāo),若不能,說明理由8過雙曲線的右焦點(diǎn)作雙曲線在第一、第三象限的漸近線的垂線,垂足為, 與雙曲線的左、右支的交點(diǎn)分別為 (1)求證:在雙曲線的右準(zhǔn)線上;(2)求雙曲線離心率的取值范圍9是否同時(shí)存在滿足下列條件的雙曲線,若存在,求出其方程,若不存在,說明理由 (1)漸近線方程為, (2)點(diǎn)到雙曲線上動(dòng)點(diǎn)的距離最小值為33 拋物線【考點(diǎn)透視】一、考綱指要掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)二、命題落點(diǎn)1考察拋物線過焦點(diǎn)的性質(zhì),如例1;2拋物線上張直角問題的探究, 考察拋物線上互相垂直的弦的應(yīng)用,如例2;3定值及定點(diǎn)問題是解幾問題研究的重點(diǎn)內(nèi)容,此類問題在各類考試中是一個(gè)熱點(diǎn),如例3.【典例精析】例1:設(shè)兩點(diǎn)在拋物線上,是AB的垂直平分線,(1)當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí),直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F?證明你的結(jié)論;(2)當(dāng)直線的斜率為2時(shí),求在y軸上截距的取值范圍. 解析:(1)拋物線,即, 焦點(diǎn)為(i)直線的斜率不存在時(shí),顯然有=0;(ii)直線的斜率存在時(shí),設(shè)為k,截距為b, 即直線:y=kx+B由已知得:即的斜率存在時(shí),不可能經(jīng)過焦點(diǎn)所以當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí),直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F(2)設(shè)在y軸上截距為b, 即直線:y=2x+b,AB:由得,且,所以在y軸上截距的取值范圍為 例2: xyOAB在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩不同動(dòng)點(diǎn)、滿足(如圖所示)(1)求得重心(即三角形三條中線的交點(diǎn))的軌跡方程;(2)的面積是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由解析:(1)直線的斜率顯然存在,設(shè)直線的方程為,依題意得, ,即 , 由得,設(shè)直線的方程為可化為 , , 設(shè)的重心G為,則 , ,由得 ,即,這就是的重心的軌跡方程(2)由弦長(zhǎng)公式得把代入上式,得 ,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則, , 當(dāng),有最小值,的面積存在最小值,最小值是 例3: M是拋物線上y2=x上的一點(diǎn),動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn),且MA=MB (1)若M為定點(diǎn),證明:直線EF的斜率為定值; (2)若M為動(dòng)點(diǎn),且EMF=90,求EMF的重心G的軌跡方程.解析:(1)設(shè)M(y,y0),直線ME的斜率為k(k>0),則直線MF的斜率為k,方程為由,消,解得,(定值)所以直線EF的斜率為定值(2)直線ME的方程為由得同理可得設(shè)重心G(x, y),則有消去參數(shù)得【常見誤區(qū)】1運(yùn)算正確率太低, 這是考生在解解析幾何問題中常出現(xiàn)的問題, 即會(huì)而不對(duì).2拋物線中的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程求解過程中常誤求出二倍關(guān)系;3定點(diǎn)與定值問題總體思路不能定位,引入?yún)⒆兞窟^多,沒有求簡(jiǎn)意識(shí),使問題復(fù)雜化.【基礎(chǔ)演練】1雙曲線的離心率為2,有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,則mn的值為()ABCD2已知雙曲線的中心在原點(diǎn),離心率為若它的一條準(zhǔn)線與拋物線 的準(zhǔn)線重合,則該雙曲線與拋物線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是( )ABCD213已知雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合,則該雙曲線的離心率為( )ABCD4拋物線上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是( )AB CD05過拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線 條.6連接拋物線上任意四點(diǎn)組成的四邊形可能是 (填寫所有正確選項(xiàng)的序號(hào)).菱形有3條邊相等的四邊形梯形平行四邊形有一組對(duì)角相等的四邊形7拋物線以軸為準(zhǔn)線,且過點(diǎn),證明:不論點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置如何變化,拋物線頂點(diǎn)的軌跡的離心率是定值8. 已知拋物線,過動(dòng)點(diǎn)且斜率為的直線與該拋物線交于不同兩點(diǎn),(1)求取值范圍; (2)若線段垂直平分線交軸于點(diǎn),求面積的最大值9已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P(1,0),且與定直線相切,點(diǎn)C在l上. (1)求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程; (2)設(shè)過點(diǎn)P,且斜率為的直線與曲線M相交于A,B兩點(diǎn). (i)問:ABC能否為正三角形?若能,求點(diǎn)C的坐標(biāo);若不能,說明理由; (ii)當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí),求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.34直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定方法,能夠把研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問題;2會(huì)利用直線與圓錐曲線的方程所組成的方程組消去一個(gè)變量,將交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系及判別式解決問題;3能利用弦長(zhǎng)公式解決直線與圓錐曲線相交所得的弦長(zhǎng)的有關(guān)問題,會(huì)運(yùn)用圓錐曲線的第二定義求焦點(diǎn)弦長(zhǎng);4體會(huì)“設(shè)而不求”、“方程思想”和“待定系數(shù)”等方法.二、命題落點(diǎn)1考查直線與橢圓相切、直線方程、直線到直線的距離等知識(shí),如例1;2考查直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系.處理直線與曲線的位置關(guān)系的一般方法是方程思想:由直線方程與曲線方程聯(lián)立方程組,通過判別式確定解的個(gè)數(shù)(交點(diǎn)個(gè)數(shù)),而直線與圓可以用圓心到直線距離與半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判定,如例2;3考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程,兩條直線的夾角、點(diǎn)的坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識(shí),考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力,如例3.【典例精析】例1:設(shè)直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為,若與橢圓的交點(diǎn)為A、B、,點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則使的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4 解析:如右圖,根據(jù)題意易得與關(guān)系O對(duì)稱設(shè)過圓上一點(diǎn)且平行與的直線方程為聯(lián)立得:若與橢圓相切則可求得:即,到的最小距離為到的最大距離為,(為P到AB的距離),由式可知滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).答案: B 例2:若直線mx+ ny-3=0與圓x2+y2=3沒有公共點(diǎn),則m,n滿足的關(guān)系式為_;以(m,n)為點(diǎn)P的坐標(biāo),過點(diǎn)P的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)有_個(gè).解析: 直線mx+ny-3=0與圓x2+y2=3沒有公共點(diǎn),>,解得0<m2+n2<3.,即點(diǎn)P(m,n)在橢圓內(nèi)部,故過P的直線必與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn).答案: 0<m2+n2<3,2.例3.已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn),且與直線相切,其中.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程;(2)設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn),直線和的傾斜角分別為和,當(dāng)變化且=時(shí),證明直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 解析:(1)如圖,設(shè)為動(dòng)圓圓心,記為,過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,由題意知:即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等由拋物線的定義知,點(diǎn)的軌跡為拋物線,其中為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線軌跡方程為;(2)如圖,設(shè),由題意得又直線OA、OB的傾斜角、滿足+=,故0<,<直線的斜率存在,否則OA、OB直線的傾斜角之和為,從而設(shè)其方程為顯然將與聯(lián)立消去,得由韋達(dá)定理知 (*)由,得=將(*)式代入上式整理化簡(jiǎn)可得:,此時(shí),直線的方程可表示為即,直線恒過定點(diǎn)【常見誤區(qū)】1注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,比如直線過定點(diǎn)時(shí),要考慮定點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系;2考查直線和雙曲線的概念和性質(zhì),平面向量的運(yùn)算等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.向量的知識(shí)考生常不能靈活應(yīng)用。【基礎(chǔ)演練】1橢圓+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個(gè)交點(diǎn)為P,則=( )ABCD42設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是( )A-,B-2,2C-1,1D-4,43已知雙曲線且與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)為有( )A1B2 C3 D44雙曲線 =1(a0,b0)的兩焦點(diǎn)為F1 、F2,| F1F2|=2c,P為雙曲線 上一點(diǎn),PF1PF2,則P到實(shí)軸的距離等于( ) AB C D5如果過兩點(diǎn)A(a,0)和B(0,a)的直線段與拋物線y=x2-2x-3沒有交點(diǎn),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .6對(duì)任意實(shí)數(shù)k,直線:與橢圓:恒有公共點(diǎn),則b取值范圍是 .7設(shè)雙曲線C:(a>0)與直線l:x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B (1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍; (2)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P,且求a的值.8已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為 (1)求雙曲線C的方程; (2)若直線與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且(其中O為原點(diǎn)). 求k的取值范圍.9設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(-c,0)與F2(c,0)(c>0),且橢圓上存在點(diǎn)P,使得直線PF1與直線PF2垂直. (1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍; (2)設(shè)L是相應(yīng)于焦點(diǎn)F2的準(zhǔn)線,直線PF2與L相交于點(diǎn)Q.若,求直線PF2的方程.35 軌跡方程的求法【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1掌握求軌跡方程的兩種基本方法直接法和定義法;2掌握直接法求軌跡方程的基本步驟;3掌握求軌跡方程的另幾種方法相關(guān)點(diǎn)法(代入法)、參數(shù)法(交軌法);4學(xué)會(huì)用適當(dāng)?shù)膮?shù)去表示動(dòng)點(diǎn)的軌跡,掌握常見的消參法二、命題落點(diǎn)1運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算考察軌跡方程的求解,如例1;2考查橢圓與拋物線的基礎(chǔ)知識(shí),即標(biāo)準(zhǔn)方程與圖形的基本關(guān)系,同時(shí),考查代數(shù)式的恒等變形及簡(jiǎn)單的邏輯推理能力,如例2;3考查圓錐曲線的概念、方程與性質(zhì),以及向量、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用,考查考生的推理能力和運(yùn)算能力.如例3求直線l的斜率,要充分利用條件“”實(shí)施幾何特征向數(shù)量 關(guān)系的轉(zhuǎn)化:首先向量特征可轉(zhuǎn)化為定比分點(diǎn)坐標(biāo)問題,但要注意內(nèi)、外分點(diǎn)兩種情形的討論;其次設(shè)直線斜率為k,用k、m表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo);最后由Q點(diǎn)在橢圓上,列方程即可求解.【典例精析】例1:已知點(diǎn)A(-2,0)、B(3,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足,則點(diǎn)P的軌跡是( )A圓B橢圓C雙曲線D拋物線解析 =(x+2,y),=(x-3,y),=(x+2)(x-3)+y2=x2,化簡(jiǎn),得y2=x+6.答案:D例2:在同一坐標(biāo)系中,方程與的曲線大致是( )ABCD 解析:將方程與轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程:,因?yàn)?因此,所以有:橢圓的焦點(diǎn)在y軸,拋物線的開口向左,得D選項(xiàng)答案: D例3:已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率為,一個(gè)焦點(diǎn)是F(-m,0)(m是大于0的常數(shù)).(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)Q是橢圓上的一點(diǎn),且過點(diǎn)F、Q的直線與y軸交于點(diǎn)M.若,求直線的斜率.解析:(1)設(shè)所求橢圓方程為(a>b>0).由已知條件,得c=m, ,所以a=2m, b=m,故所求橢圓方程是. (2)設(shè)Q(x0,y0),直線l:y=k(x+m),則點(diǎn)M(0,km).當(dāng)時(shí),由于F(-m,0),M(0,km),由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,得x0=, y0=. 又點(diǎn)Q在橢圓上,解得 k=2.當(dāng)時(shí),x0=, y0=.于是 ,解得 k=0.故直線l的斜率是0或2.【常見誤區(qū)】1曲線的定義是定義法求軌跡方程的關(guān)鍵, 但考生在解題中常忽略定義法求軌跡,致使簡(jiǎn)易的軌跡方程求法變得復(fù)雜;2軌跡與軌跡方程是不同的概念, 求軌跡時(shí)需要將軌跡的方程及具體形狀焦點(diǎn)等位置關(guān)系說清楚,軌跡方程則需要注明一些帶有限制條件的點(diǎn),或方程求解過程中忽略的一些軌跡,這一點(diǎn)要切記.【基礎(chǔ)演練】1到兩個(gè)坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是( )Ax-y=0Bx+y=0C|x|-y=0D|x|-|y|=02已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率e=,且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合,則此橢圓方程為( )A B C D 3曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對(duì)稱的曲線方程是( )Ay2=8-4x By2=4x-8 Cy2=16-4x Dy2=4x-164已知橢圓的焦點(diǎn)是F1,F2,P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果延長(zhǎng)F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是( )A圓B橢圓 C雙曲線的一支D拋物線5在直角坐標(biāo)系中,到兩個(gè)坐標(biāo)軸的距離之和為定值1的點(diǎn)的軌跡是 .6設(shè)雙曲線 (a,b0)兩焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)Q為雙曲線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),過焦點(diǎn)F1作F1QF2的平分線的垂線,垂足為P,則P點(diǎn)軌跡是 .7已知點(diǎn)A(2,8), B(x1,y1),C(x2,y2)在拋物線y2=2px上,ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合(如圖) (1)寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo); (2)求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo); (3)求BC所在直線的方程.8設(shè)橢圓方程為,過點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P滿足,點(diǎn)N的坐標(biāo)為,當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí),求: (1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程; (2)的最小值與最大值.9設(shè)是一常數(shù),過點(diǎn)的直線與拋物線交于相異兩點(diǎn)A、B,以線段AB為直徑作圓H(H為圓心).試證拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上;并求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程.36 圓錐曲線的應(yīng)用【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1會(huì)按條件建立目標(biāo)函數(shù)研究變量的最值問題及變量的取值范圍問題,注意運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”、“幾何法”求某些量的最值2進(jìn)一步鞏固用圓錐曲線的定義和性質(zhì)解決有關(guān)應(yīng)用問題的方法二、命題落點(diǎn)1考查地理位置等特殊背景下圓錐曲線方程的應(yīng)用,修建公路費(fèi)用問題轉(zhuǎn)化為距離最值問題數(shù)學(xué)模型求解,如例1; 2考查直線、拋物線等基本知識(shí),考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力,如例2;3考查雙曲線的概念與方程,考查考生分析問題和解決實(shí)際問題的能力,如例3.BAQPCM東北【典例精析】例1:如圖,B地在A地的正東方向4km處,C地在B地的北偏東300方向2km處,河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km.現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭,向B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物.經(jīng)測(cè)算,從M到B、M到C修建公路的費(fèi)用分別是a萬元/km、2a萬元/km,那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是( )A(2-2)a萬元B5a萬元 BAQPCM東北EGHDC (2+1)a萬元 D(2+3)a萬元解析:設(shè)總費(fèi)用為y萬元,則y=aMB+2aMC河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km.,曲線PG是雙曲線的一支,B為焦點(diǎn),且a=1,c=2.過M作雙曲線的焦點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線l的垂線,垂足為D(如圖).由雙曲線的第二定義,得=e,即MB=2MDy= a2MD+ 2aMC=2a(MD+MC)2aCE.(其中CE是點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的垂線段).CE=GB+BH=(c-)+BCcos600=(2-)+2=. y5a(萬元).答案:B例2:如圖,過拋物線y2=2px(p>0)上一定點(diǎn)P(x0,y0)(y0>0),作兩條直線分別交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離;(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí),求的值,并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).解析:()當(dāng)y=時(shí),x=. 又拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=-,由拋物線定義得,所求距離為. (2)設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB由y12=2px1,y02=2px0,相減得:,故.同理可得,由PA、PB傾斜角互補(bǔ)知 , 即,所以, 故.設(shè)直線AB的斜率為kAB, 由,相減得, 所以.將代入得,所以kAB是非零常數(shù).例3:某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告:正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響,正東觀測(cè)點(diǎn)聽到的時(shí)間比其他兩觀測(cè)點(diǎn)晚4s.已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離都是1020m,試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s,相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)xyOCPAABN解析:如圖,以接報(bào)中心為原點(diǎn)O,正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn),則A(1020,0),B(1020,0),C(0,1020).設(shè)P(x,y)為巨響發(fā)生點(diǎn),由A、C同時(shí)聽到巨響聲,得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分線PO上,PO的方程為y=x,因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽到爆炸聲,故|PB|PA|=3404=1360.由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上,依題意得a=680,c=1020,b2=c2-a2=10202-6802=53402,故雙曲線方程為.用y=x代入上式,得x=680,|PB|>|PA|,x=-680,y=680,即P(-680,680),故PO=680.答:巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北450距中心680 m處.【常見誤區(qū)】1圓錐曲線實(shí)際應(yīng)用問題多帶有一定的實(shí)際生活背景, 考生在數(shù)學(xué)建模及解模上均不同程度地存在著一定的困難, 回到定義去, 將實(shí)際問題與之相互聯(lián)系,靈活轉(zhuǎn)化是解決此類難題的關(guān)鍵;2圓錐曲線的定點(diǎn)、定量、定值等問題是隱藏在曲線方程中的固定不變的性質(zhì), 考生往往只能浮于表面分析問題,而不能總結(jié)出其實(shí)質(zhì)性的結(jié)論,致使問題研究徘徊不前,此類問題解決需注意可以從特殊到一般去逐步歸納,并設(shè)法推導(dǎo)論證.【基礎(chǔ)演練】1若動(dòng)點(diǎn)()在曲線上變化,則的最大值為( )ABCD22設(shè),則二次曲線的離心率的取值范圍為( )AB C D3一個(gè)酒杯的軸截面是一條拋物線的一部分,它 的方程是x22y,y0,10 在杯內(nèi)放入一個(gè)清潔球,要求清潔球能擦凈酒杯的最底部(如圖),則清潔球的最大半徑為( )A B1CD24在橢圓上有一點(diǎn)P,F1、F2是橢圓的左右焦點(diǎn),F1PF2為直角三角形,則這樣的點(diǎn)P有( )A2個(gè)B4個(gè)C6個(gè)D8個(gè)5設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn),且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i=1,2,3,),使|FP1|,|FP2|, |FP3|,組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍為 .6教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是 .7已知雙曲線的中心在原點(diǎn), 右頂點(diǎn)為A(1,0),點(diǎn)P、Q在雙曲線的右支上, 點(diǎn)M(m,0)到直線AP的距離為1, (1)若直線AP的斜率為k,且|k|, 求實(shí)數(shù)m的取值范圍; (2)當(dāng)m=+1時(shí),APQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M,求此雙曲線的方程.8如圖, 直線y=x與拋物線y=x2-4交于A、B兩點(diǎn), 線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于Q點(diǎn). (1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo); (2)當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B) 的動(dòng)點(diǎn)時(shí), 求OPQ面積的最大值.9 2003年10月15日9時(shí),“神舟”五號(hào)載人飛船發(fā)射升空,于9時(shí)9分50秒準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道,開始巡天飛行.該軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.選取坐標(biāo)系如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn).近地點(diǎn)A距地面200km,遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面350km.已知地球半徑R6371km. (1)求飛船飛行的橢圓軌道的方程; (2)飛船繞地球飛行了十四圈后,于16日5時(shí)59分返回艙與推進(jìn)艙分離,結(jié)束巡天飛行,飛船共巡天飛行了約,問飛船巡天飛行的平均速度是多少km/s?(結(jié)果精確到1km/s)(注:km/s即千米/秒)本章測(cè)試題一、選擇題(每小題5分,共60分)1如果三點(diǎn)在同一條直線上,那么的值是()A6B7C8D92有5輛6噸的汽車和4輛4噸的汽車,要運(yùn)送最多貨物,完成這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)的線性目標(biāo) 函數(shù)是()A BC D3曲線與曲線一定有()A相等的長(zhǎng)軸 B相等的焦距C相等的離心率D相同的準(zhǔn)線4將直線繞著它與軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角后,在軸上的截距是()ABCD 5在同一坐標(biāo)系中,方程的曲線大致是( )6雙曲線的漸近線為,且過點(diǎn),則此雙曲線的共軛雙曲線的方程為( )A BCD7已知直線相切,則三條邊長(zhǎng)分別為的三角形 () A是銳角三角形B是直角三角形C是鈍角三角形D不存在8一動(dòng)圓圓心在拋物線上,且動(dòng)圓恒與直線相切,則動(dòng)圓必過定點(diǎn)( )A B CD 9翰林匯已知,直線:,直線:,與的位置關(guān)系是()A平行B垂直C重合D相交但不垂直 10橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)三等分它的兩條準(zhǔn)線間的距離,那么它的離心率是() A B C D11已知拋物線的焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)為,則式子的值一定等于()AB CD 12已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為直線與其相交于M、N兩點(diǎn),MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則此雙曲線的方程是()A BCD二、填空題(每小題4分,共16分)13拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸,且焦點(diǎn)在直線 上,則此拋物線方程為_.14如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,POF2是面積為的正三角形,則的值是 .15若直線沿軸負(fù)方向平移3個(gè)單位,再沿軸正方向平移一個(gè)單位后,又回到原來的位置,那么直線的斜率為.16給出問題:F1、F2是雙曲線=1的焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上.若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9,求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離.某學(xué)生的解答如下:雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8,由|PF1|PF2|=8,即|9|PF2|=8,得|PF2|=1或17.該學(xué)生的解答是否正確?若正確,請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi),若不正確,將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi)._.三、解答題(本題共74分)17(本小題滿分12分)已知橢圓的焦點(diǎn)為和,直線是橢圓的一條準(zhǔn)線.(1)求橢圓的方程;(2)又設(shè)在此橢圓上,且,求的值.18(本小題滿分12分)已知圓,(1)若為圓上任一點(diǎn),求的最大值和最小值;(2)求的最大值和最小值;(3)求的最大值.19(本小題滿分12分)已知點(diǎn)、,為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若點(diǎn)在線段上,且,求的面積;(2)若原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,延長(zhǎng)到,且.已知直線:經(jīng)過點(diǎn),求直線的傾斜角.20(本小題滿分12分)如圖,為拋物線的焦點(diǎn),為拋物線內(nèi)一定點(diǎn),為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且的最小值為8. (1)求該拋物線方程; P(2)如果過的直線交拋物線于、兩點(diǎn), A且,求直線傾斜角的取值范圍. O F 21(本題滿分1分)如圖,某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道,車道總寬22米,要求通行車輛限高4.5米,隧道全長(zhǎng)2.5千米,隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀. (1)若最大拱高為6米,則隧道設(shè)計(jì)的拱 寬是多少? (2)若最大拱高不小于6米,則應(yīng)如何設(shè) 計(jì)拱高和拱寬,才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最小?(半個(gè)橢圓的面積公式為,柱體體積為:底面積乘以高.)22(本題滿分14分)在以為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為的直角頂點(diǎn).已知,且點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于零. (1)求向量的坐標(biāo);(2)求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程;(3)是否存在實(shí)數(shù),使拋物線上總有關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)?若不存在,說明理由:若存在,求的取值范圍.參考答案31 橢圓1. B 2. C 3. D 4. A 5. 6. 7. yxOP(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為由P在橢圓上,得由,所以 (2)設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí),點(diǎn)(,0)和點(diǎn)(,0)在軌跡上.當(dāng)|時(shí),由,得.又,所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在QF1F2中,所以有綜上所述,點(diǎn)T的軌跡C的方程是 (3)C上存在點(diǎn)M()使S=的充要條件是 由得 上式代入得于是,當(dāng)時(shí),存在點(diǎn)M,使S=;當(dāng)時(shí),不存在滿足條件的點(diǎn)M.當(dāng)時(shí),記,由知 ,所以 8. (1)因?yàn)锳、B分別是直線l:與x軸、y軸的交點(diǎn),所以A、B的坐標(biāo)分別. 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是(). 由即(2)當(dāng)時(shí),所以 由MF1F2的周長(zhǎng)為6,得所以 橢圓方程為(3) 因?yàn)镻F1l,所以PF1F2=90+BAF1為鈍角,要使PF1F2為等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即 設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d,由得 所以即當(dāng)PF1F2為等腰三角形.9. (1)依題意,可設(shè)直線AB的方程為,整理得 設(shè)的兩個(gè)不同的根, 是線段AB的中點(diǎn),得解得k=-1,代入得,>12,即的取值范圍是(12,+).于是,直線AB的方程為(2)代入橢圓方程,整理得 的兩根,于是由弦長(zhǎng)公式可得 將直線AB的方程 同理可得 假設(shè)在>12,使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓,則CD必為圓的直徑,點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為 于是,由、式和勾股定理可得故當(dāng)時(shí),A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心,為半徑的圓上.32 雙曲線1.C 2. C 3. B 4. D 5. 2 6. 7. 雙曲線中,設(shè)滿足條件,則,得,與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾不存在滿足條件的點(diǎn)8. 雙曲線在第一、第三象限的漸近線方程為: 設(shè)方程為在上,方程為 ,聯(lián)立得,即在雙曲線的右準(zhǔn)線上(2)由,得,與雙曲線的左、右支的交點(diǎn)分別為, ,9. 由雙曲線漸近線方程設(shè)雙曲線方程為,設(shè),當(dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),無解,當(dāng)時(shí),所求雙曲線方程為33 拋物線1. A 2. B 3. D 4. B 5. 有且僅有兩條 6. 7. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)拋物線的定義可知,點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到軸的距離,則又設(shè)拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,為線段的中點(diǎn),則,代入得,即拋物線的頂點(diǎn)的軌跡方程為:,拋物線頂點(diǎn)的軌跡是橢圓,其中長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,短半軸長(zhǎng)為,則半焦距,所以它的離心率為定值.8. (1)由題知的方程為,設(shè),由,得,得,得,取值范圍(2)的中點(diǎn),線段垂直平分線方程:,當(dāng)時(shí)面積的最大值9. (1)依題意,曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn),直線l為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線M的方程為.(2)(i)由題意得,直線AB的方程為消y得所以A點(diǎn)坐標(biāo)為,B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,),假設(shè)存在點(diǎn)C(1,y),使ABC為正三角形,則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即 由得 但不符合,所以由,組成的方程組無解.因此,直線l上不存在點(diǎn)C,使得ABC是正三角形.(ii)設(shè)C(1,y)使ABC成鈍角三角形,由,即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,)時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線,故.又, , .當(dāng),即,即為鈍角. 當(dāng),即,即為鈍角.又 ,即 ,即 . 該不等式無解,所以ACB不可能為鈍角. 因此,當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí),點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是.34 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1. C 2. C 3. B 4. A 5. (-,-) 6. -1,37. (1)由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),故知方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0. 雙曲線的離心率(2)設(shè)由于x1,x2都是方程的根,且1-a20,8. (1)設(shè)雙曲線方程為 由已知得故雙曲線C的方程為(2)將 由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得即 設(shè),則而于是 由、得 故k的取值范圍為9. (1)由題設(shè)有m>0,c=.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由PF1PF2,得 化簡(jiǎn)得 x02+y02=m. ; 將與聯(lián)立,解得由 所以m的取值范圍是m1.(2)準(zhǔn)線L的方程為設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x1,y1),則 將 代入,化簡(jiǎn)得由題設(shè),得 , 無解.將 代入,化簡(jiǎn)得 由題設(shè),得 .解得m=2. 從而,得到PF2的方程35 軌跡方程的求法1. D 2. A 3. C 4. A 5. 正方形 6. 圓的一部分7. (1)由點(diǎn)A(2,8)在拋物線上,有 解得所以拋物線方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(8,0)(2)如圖,由F(8,0)是的重心,M是BC的中點(diǎn),所以F是線段AM的定比分點(diǎn),且,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,則 解得,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3)由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上,所以BC所在的直線不垂直于x軸.設(shè)BC所成直線的方程為 由消x得 所以.由()的結(jié)論得,解得.因此BC所在直線的方程為 ,即.8. (1)直線l過點(diǎn)M(0,1)設(shè)其斜率為k,則l的方程為記、由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)、是方程組 的解. 將代入并化簡(jiǎn)得,所以于是設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則消去參數(shù)k得 當(dāng)k不存在時(shí),A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),也滿足方程,所以點(diǎn)P的軌跡方程為 (2)由點(diǎn)P的軌跡方程知所以,故當(dāng),取得最小值,最小值為時(shí),取得最大值,最大值為9. 由題意,直線AB不能是水平線,故可設(shè)直線方程為:.又設(shè),則其坐標(biāo)滿足 消去x得 ,由此得,因此.即OAOB故O必在圓H的圓周上.又由題意圓心H()是AB的中點(diǎn),故,由前已證,OH應(yīng)是圓H的半徑,且.從而當(dāng)k=0時(shí),圓H的半徑最小,亦使圓H的面積最小.此時(shí),直線AB的方程為:x=2p.86 圓錐曲線的應(yīng)用1. A 2. D 3. B 4. A 5. 6. 用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì) 7. (1)由條件得直線AP的方程即因?yàn)辄c(diǎn)M到直線AP的距離為1, 即.解得+1m3或-1m1-.m的取值范圍是(2)可設(shè)雙曲線方程為由得.又因?yàn)镸是APQ的內(nèi)心,M到AP的距離為1,所以MAP=45,直線AM是PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1.因此,(不妨設(shè)P在第一象限)直線PQ方程為.直線AP的方程y=x-1,解得P的坐標(biāo)是(2+,1+),將P點(diǎn)坐標(biāo)代入得,所以所求雙曲線方程為即8. 解方程組,得或,即A(4,2),B(8,4), 從而AB的中點(diǎn)為M(2,1).由kAB=,直線AB的垂直平分線方程y1=-2(x2).令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直線OQ的方程為x+y=0, 設(shè)P(x, x24).點(diǎn)P到直線OQ的距離d=, ,SOPQ.P為拋物線上位于線段AB下方的點(diǎn), 且P不在直線OQ上, 4x<44或44<x8. 函數(shù)y=x2+8x32在區(qū)間4,8 上單調(diào)遞增, 當(dāng)x=8時(shí), OPQ的面積取到最大值30.9. (1)設(shè)橢圓的方程為,由題設(shè)條件得 解得. 所以. 所以橢圓的方程為. (注:由得橢圓的方程為,也是正確的.)(2)從15日9時(shí)到16日6時(shí)共21個(gè)小時(shí),合213600秒,減去開始的9分50秒,即96050590(秒),再減去最后多計(jì)的1分鐘,共減去59060650(秒). 得飛船巡天飛行的時(shí)間是 (秒),平均速度是(千米/秒) 所以飛船巡天飛行的平均速度是8km/s.本章測(cè)試題一、選擇題 1.D 2.B 3.B 4.B 5.A 6.B 7.B 8.D 9.B 10.B 11.B 12.D二、填空題13或 14 15 16三、解答題17(1) (2)18(1); (3)19(2)算出,直線經(jīng)過點(diǎn)P,求出 ,所以直線的傾斜角20.(1)設(shè)點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線:的距離為,由拋物線的定義知,拋物線的方程為.(2)由(1)得,設(shè)直線的方程為,顯然,。把直線方程代入拋物線,得, , 即,直線斜率的取值范圍為,所以,直線傾斜角的取值范圍為.21(1)如圖建立直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)P(11,4.5), 橢圓方程為.將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程,得.因此隧道的拱寬約為33.3米.(2)由橢圓方程,得故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時(shí),土方工程量最小.22(1)設(shè)得 所以v3>0,得v=8,故=(6,8).(2)由=(10,5),得B(10,5),于是直線OB方程:由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x3)2+(y+1)2=10, 得圓心(3,1),半徑為.設(shè)圓心(3,1)關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)為(x ,y)則故所求圓的方程為(x1)2+(y3)2=10.(3)設(shè)P (x1,y1), Q (x2,y2) 為拋物線上關(guān)于直線OB對(duì)稱兩點(diǎn),則故當(dāng)時(shí),拋物線y=ax21上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩點(diǎn).