交通流參數(shù)的泊松分布

單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,第八章 交通流理論,第一節(jié) 交通流參數(shù)的統(tǒng)計分布,一、,分析交通流參數(shù),分布的作用,二、交通參數(shù)及其分布,三、離散型分布的基礎,四、交通參數(shù)的二項分布,五、交通參數(shù)的負二項分布,六、交通參數(shù)的泊松分布,本節(jié)需要掌握：,一、概念：,二、規(guī)律：,泊松分布的應用,1_,泊松分布,六、交通參數(shù)的泊松分布,在二項分布的計算中，我們討論到，當,n,很大時，試驗的特定結(jié)果發(fā)生的概率,p,很小時，計算相當復雜，為了簡化計算，我們來討論二項分布的近似計算定理,泊松分布。此分布是由法國數(shù)學家泊松,1837,年引入的。,（一）,Poisson,的適用條件,(Poisson distribution),是一種離散分布，常用于研究單位時間或單位時間,(,空間,),內(nèi)某罕見事件的發(fā)生次數(shù)：,在單位容積充分搖勻的水中的細菌數(shù)；,野外單位空間中的某種昆蟲數(shù)；,一定時間段內(nèi)，某航空公司接到的訂票電話數(shù)；,一定時間內(nèi)，到車站等候公共汽車的人數(shù)；,一定頁數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯別字個數(shù)。,泊松資料,Born:,21 June 1781 in Pithiviers, France,Died:,25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France,Siméon Poisson,(,二,)Poisson,分布的定義,如果在足夠多的,n,次獨立,Bernouli,試驗中，隨機變量,X,所有可能的取值為,0,，,l,，,2,，,，取各個取值的概率為：,則稱,X,服從參數(shù)為,的,Poisson,分布，記為,XP(),。其中,X,為單位時間,(,或面積、容積等,),某稀有事件發(fā)生數(shù)，,e= 2.7183,，,是,Poisson,分布的總體均數(shù)。,也就是，若某現(xiàn)象發(fā)生的概率小，而樣本例數(shù)多時，則二項分布逼近,Poisson,分布。,poisson distribution,二項分布,泊松分布,n,很大,p,很小,在生物學、醫(yī)學、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學及公用事業(yè)的排隊等問題中,泊松分布是常見的，例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布。,電話呼喚次數(shù),交通事故次數(shù),商場接待的顧客數(shù),例,1,若某非傳染性疾病的患病率為,18,萬，試根據(jù),Poisson,分布原理求,1 000,人中發(fā)生,k=0,，,1,，,2,陽性數(shù)概率。,=n =1000 ×0.0018=1.8,(,三,)Poisson,分布的圖形,=0.6,=2,=6,=14,(,四,)Poisson,分布的性質(zhì),1. Poisson,分布的方差等于均數(shù)，即,2,=,。,2. Poisson,分布的可加性。,對于服從,Poisson,分布的,m,個相互獨立的隨機變量,Xl,，,X2,，, X,m,它們之和,X1+X2+X,m,也服從,Poisson,分布，且均數(shù)為,m,個隨機變量的均數(shù)之和。,3,、當,20,，,Poisson,分布近似正態(tài)分布。,例,2,某放射性物質(zhì)每,0.1 s,放射粒子數(shù)服從均數(shù)為,2.2,的,Poisson,分布，現(xiàn)隨機取,3,次觀測結(jié)果為,2,，,3,及,4,個粒子數(shù)，請問每,0.3 s,放射粒子數(shù)為多少,?,利用,Poisson,分布的可加性原理得到，,Xl+X2+X3=2+3+4=9,個,均值為,2.2+2.2+2.2=6.6,每,0.3s,放射粒子數(shù)為,9,個。,二項分布的泊松逼近,在二項分布的計算中，當,n,很大時，計算相當復雜，為了簡化計算，我們來討論泊松定理,.,證明,泊松定理：,二項分布的泊松逼近：,1,1,(,六）,Poisson,分布的應用,一,),總體均數(shù)的估計,點估計：,直接用單位時間,(,空間或人群,),內(nèi)隨機事件發(fā)生數(shù),X(,即樣本均數(shù),),作為總體均數(shù),的估計值。,2.,區(qū)間估計,（,1,）正態(tài)近似法（,X>50,）,當,Poisson,分布的觀察單位為,n=1,時：,當,Poisson,分布的觀察單位為,n>l,時 ：,例,用計數(shù)器測得某放射物質(zhì)半小時內(nèi)發(fā)出的脈沖數(shù)為,360,個，試估計該放射物質(zhì)每,30min,平均脈沖數(shù)的,95,可信區(qū)間。,即該放射物質(zhì)每,30min,平均脈沖數(shù),(,個,),的,95,可信區(qū)間為,(322.8,，,397.2),。,(2),查表法 如果,X50,時，樣本資料呈,Poisson,分布，可查閱正態(tài)分布表。,例,對某地區(qū)居民飲用水進行衛(wèi)生學檢測中，隨機抽查,1 mL,水樣，培養(yǎng)大腸桿菌,2,個，試估計該地區(qū)水中平均每毫升所含大腸桿菌的,95,和,99,可信區(qū)間。,本例，,X=2<50,，查附表,4,，,95,可信區(qū)間為,(0.2,，,7.2),；,99,可信區(qū)間為,(0.1,，,9.3),。,二,),單個總體均數(shù)的假設檢驗,1.,直接計算概率法,根據(jù),Poisson,分布的概率分布列計算概率或累積概率，并依據(jù)小概率事件原理，作出統(tǒng)計推斷。,例,某罕見非傳染性疾病的患病率一般為,15,10,萬，現(xiàn)在某地區(qū)調(diào)查,1000,人，發(fā)現(xiàn)陽性者,2,人，問此地區(qū)患病率是否高于一般。,解：,H,0,：此地區(qū)患病率與一般患病率相等；,H,1,：此地區(qū)患病率高于一般患病率；,單側(cè),=0.05,本例，,n=1000,，,0,=15,10,萬，,0,=n,0,=0.15,，則在,Ho,成立前提下，所調(diào)查的,1000,人中發(fā)現(xiàn)的陽性數(shù),XP(0.15),，則有,P(x2)=1-P(X=0)+P(X=1)=1- (0.860 7+0.129 1)=0.010 2,故：,1000,人中陽性數(shù)不低于,2,人屬于小概率事件。,2.,正態(tài)近似法 當,20,，,Poisson,分布近似正態(tài)分布，可利用正態(tài)近似原理分析資料。,例,某種兒童化妝晶含細菌數(shù)不超過,500,個,ml,為合格品，現(xiàn)檢測此種兒童化妝晶,1 ml,菌數(shù),450,個，問此種化妝品是否合格。,Ho,：此種化妝品不合格，即,=,0,H1,：此種化妝品合格，即,<,0,單側(cè), =0.05,本例以,1 mL,兒童化妝晶為一個,Poisson,分布觀察單位。,按單側(cè), =0.05,水平拒絕,Ho,，接受,H1,，,認為此種化妝品合格。,1,、泊松分布基本公式：,式中：,在計數(shù)間隔,內(nèi)到達,輛車的概率；,平均到達率,(,輛,s),；,每個計數(shù)間隔持續(xù)的時間,(s),；,若令,，則 為在計數(shù)間隔,內(nèi)平均到達的車輛數(shù)，,又稱為泊松分布的參數(shù)。,三）交通參數(shù)的泊松分布,2,、泊松分布的遞推公式：,3,、泊松分布的均值和方差：,設,1000,輛車通過,出事故的次數(shù)為,X,則,可利用泊松定理計算,所求概率為,解,例,有一繁忙的汽車站， 每天有大量汽車通過，設每輛汽車在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為,0.0001,，在每天的該段時間內(nèi)有,1000,輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于,2,的概率是多少？,例在某段公路上，觀測到達車輛數(shù)，以5min為計數(shù)間隔，結(jié)果如下表，試求5min內(nèi)到達車輛數(shù)的分布并檢驗。,序號,來車數(shù),觀測頻數(shù),1,0,3,2,1,6,3,2,31,4,3,41,5,4,61,6,5,69,7,6,46,序號,來車數(shù),觀測頻數(shù),8,7,31,9,8,11,10,9,7,11,10,8,12,11,9,到達車輛數(shù),-,到達頻次,解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可作出虛線散點圖,:,解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可知：,接近,1,認為可以,用泊松分布擬合此車流,的到達流量分布。,例,某交叉口信號周期長為,90s,，某相位的有效綠燈時間為,45s,，在有效綠燈時間內(nèi)排隊車輛以,1200,輛,/h,的流量通過交叉口。假設信號交叉口上游車輛到達率為,400,輛,/h,，服從泊松分布。求：,（,1,）一個周期內(nèi)到達車輛不超過,10,輛的概率；,（,2,）求到達車輛不致兩次排隊的周期最大百分率。,例,設有,30,輛車隨意分布在,6km,長的道路上，試求其中任意,500m,長的一段，至少有,4,輛車的概率。,