山西大同南郊區(qū)2015屆二輪復(fù)習(xí)專題七：排列、組合、二項(xiàng)式定理

2015專題七：排列、組合、二項(xiàng)式定理一、核心知識(shí)點(diǎn)歸納：一、分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1 .分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案， 在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那 么完成這件事共有 N = m+ n種不同方法.2 .分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第 1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件 事共有N = mx n種不同的方法.注息：1 .分類加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨(dú)立 的.2 .分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事， 步步之間是相關(guān)聯(lián)的.二、排列與組合1 .排列與排列數(shù)(1)排列:從n個(gè)不同元素中取出 m(m< n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)排列.(2)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出 m(mwn)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，口4做從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的排列數(shù)，記作 Am.2 .組合與組合數(shù)(1)組合：從n個(gè)不同元素中取出 m(mw n)個(gè)元素合成一組，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的 一個(gè)組合.(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出 m(m< n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)：叫做從 n個(gè)不同元素中 取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記作 Cmn.3 .排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式排列數(shù)公式Am= n(n 1)(n 2) -(n m+ 1)_ n!(n m )組合數(shù)公式m_AmCn - A m A mn(n 1)(n m+ 1)m!_n!m! (n m )!性質(zhì)(1)An=n!_;(2)0! =1(1)C0 = 1；(2)Cm = CF_；(3)Cm+Cm1=Cm+1備注n, m N*且 m< n汪思：1 .易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排列問題與順序有關(guān)，組 合問題與順序無關(guān).2 .計(jì)算 Am時(shí)易錯(cuò)算為 n(n-1)(n-2) - (n- m).3 .易混淆排列與排列數(shù)，排列是一個(gè)具體的排法，不是數(shù)是一件事，而排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù)， 是一個(gè)正整數(shù).4 .排列問題與組合問題的識(shí)別方法：識(shí)別方法排列若交換某兩個(gè)兀素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，即排列問題與選取兀素順序有關(guān)組合若交換某兩個(gè)兀素的位置對(duì)結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取兀素順序無關(guān)5 .組合數(shù)的性質(zhì)中(2)的應(yīng)用主要是兩個(gè)方面，一個(gè)簡化運(yùn)算，當(dāng) m>2時(shí)，通常將計(jì)算 Cm轉(zhuǎn)化為計(jì) 算C二m二是列等式，由 &=cy可得x=y或x+ v= n.性質(zhì)主要用于恒等變形簡化運(yùn)算.三、二項(xiàng)式定理1 .二項(xiàng)式定理(1)定理：公式(a+b)n = cnan+C1anTb+ dankbk+ Cnbn(nC N*)叫做二項(xiàng)式定理.(2)通項(xiàng)：Tk+i = Cnan kbk為展開式的第k+ 1項(xiàng).2 .二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)(1)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)cn(kC0,1,，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù).(2)項(xiàng)的系數(shù)：項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)等，與二項(xiàng)式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念.3 .二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱性與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即Cm=Cn m增減性當(dāng)kv *時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大；, n+ 1 , 一，一，一，一， 當(dāng)女>守時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小取大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng) /2+1項(xiàng)j的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為C n2 ;當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)了1項(xiàng)和第n 21+1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且n1n+1同時(shí)取得最大值，最大值為Cn或Cn工4 .各二項(xiàng)式系數(shù)的和（a+b）n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n,即C土CC土二 Cjj+冕=2n.二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇刎的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即儲(chǔ)+C：+第+=C0+o| +C：+=2n 1. 一、/ 在思1 .二項(xiàng)式的通項(xiàng)易誤認(rèn)為是第k項(xiàng)實(shí)質(zhì)上是第k+ 1項(xiàng).2 . （a+b）n與（b+a）n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的，所以公式中的第一個(gè)量 a與第二個(gè)量b的位置不能顛倒.3 .易混淆二項(xiàng)式中的“項(xiàng)”，“項(xiàng)的系數(shù)”、“項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”等概念，注意項(xiàng)的系數(shù)是指非字 母因數(shù)所有部分，包含符號(hào)，二項(xiàng)式系數(shù)僅指d%=0,1,，n）.二、典型例題講解：一、計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理防自主練透型1 .在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有（）A. 50 個(gè)B. 45 個(gè)C. 36 個(gè)D. 35 個(gè)解析：選C 利用分類加法計(jì)數(shù)原理：8+7+6+ 5+ 4+3 + 2+1 = 36（個(gè)）.2.五名籃球運(yùn)動(dòng)員比賽前將外衣放在休息室，比賽后都回到休息室取衣服.由于燈光暗淡，看不清 自己的外衣，則至少有兩人拿對(duì)自己的外衣的情況有（）A. 30 種B. 31 種C. 35 種D. 40 種解析：選B 分類：第一類，兩人拿對(duì)：2XC2 5= 20種；第二類，三人拿對(duì)：C35=10種；第三類，四人拿對(duì)與五人拿對(duì)一樣，所以有 1種.故共有20+10+1 = 31種.3. （2013三門峽模擬）有4位教師在同一年級(jí)的 4個(gè)班中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時(shí)要求每位 教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有（）A. 8種B. 9種C. 10 種D. 11 種解析：選B 設(shè)四位監(jiān)考教師分別為 A, B, C, D,所教班分別為a, b, c, d,假設(shè)A監(jiān)考b,則余 下三人監(jiān)考剩下的三個(gè)班，共有 3種不同方法，同理 A監(jiān)考c, d時(shí)，也分別有3種不同方法，由分類加 法計(jì)數(shù)原理共有 3 + 3+3=9（種）.考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理防和生共耐型典例P三棱 柱AiBiCi不涂共有c3 x C2（2014本溪模擬）如圖所示的幾何體是由一個(gè)正三棱錐P-ABC與正 _/弋ABC-AiBiCi組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表面染色（底面色），要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案共有 種.八二；二71G解析先涂三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面，然后涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面，阻XC：XC2=3X2X ix 2=i2種不同的涂法.答案i2針對(duì)訓(xùn)練在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，先后要實(shí)施6個(gè)程序，其中程序 A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步,程序B和C實(shí)施時(shí)必須相鄰，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有（）A. 24 種B. 48 種C. 96 種D. i44 種解析：選C 第一步安排A有2種方法；第二步在剩余的 5個(gè)位置選取相鄰的兩個(gè)排 B, C,有4種 排法，而B, C位置互換有2種方法； 第三步安排剩余的3個(gè)程序，有A3種排法，共有2X4X2X A，= 96種.考點(diǎn)三兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用院師生共砰型典例（20i4黃岡質(zhì)檢）設(shè)集合I = i,2,3,4,5,選擇集合I的兩個(gè)非空子集A和B,若集合B中最小的元素大于集合 A中最大的元素，則不同的選擇方法共有（）A. 50 種B. 49 種C . 48 種D . 47 種解析從5個(gè)元素中選出2個(gè)元素，小的給集合 A,大的給集合B,有C2= i0種選擇方法；從5個(gè) 元素中選出3個(gè)元素，有C5 = i0種選擇方法，再把這 3個(gè)元素從小到大排列，中間有2個(gè)空，用一個(gè)隔板將其隔開，一邊給集合A, 一邊2合集合 B,方法種數(shù)是2,故此時(shí)有i0X 2 = 20種選擇方法；從5個(gè)元素中選出4個(gè)元素，有C4=5種選擇方法，從小到大排列，中間有 3個(gè)空，用一個(gè)隔板將其隔開，一邊給 集合A, 一邊給集合B,方法種數(shù)是3,故此時(shí)有5X3=i5種選擇方法；從5個(gè)元素中選出5個(gè)元素，有 C5=i種選擇方法，同理隔開方法有4種，故此時(shí)有iX4=4種選擇方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，總計(jì)為i0+20+i5+4 = 49種選擇方法.故選 B.答案B| 本例中條件若變?yōu)椤?A=i,2,3,4 , B = 5,6,7 , C = 8,9現(xiàn)從中取出兩個(gè)集合，再從這兩個(gè)題蓼集合中各取出一個(gè)元素，組成一個(gè)含有兩個(gè)元素的集合”，則可以組成多少個(gè)集合？變解：選集合A, B,有C4C3=i2;(2)選集合 A, C,有 C4C2=8；選集合B, C,有C1C2=6;故可以組成12+ 8+6=26個(gè)集合.針對(duì)訓(xùn)練上海某區(qū)政府召集 5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開年終總結(jié)經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)，其中甲企業(yè)有 2人到會(huì)，其余4家企業(yè) 各有1人到會(huì)，會(huì)上推選 3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為 .解析：若3人中有一人來自甲企業(yè)，則共有C2c4種情況，若3人中沒有甲企業(yè)的，則共有 C4種情況，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況共有C2c4+c4=16（種）.答案：16二、排列組合考點(diǎn)一排列問題卜自豐練透型1 .數(shù)列 an共有六項(xiàng)，其中四項(xiàng)為 1,其余兩項(xiàng)各不相同，則滿足上述條件的數(shù)列 an共有（）A. 30 個(gè)B. 31 個(gè)C. 60 個(gè)D. 61 個(gè)解析：選A 在數(shù)列的六項(xiàng)中，只要考慮兩個(gè)非1的項(xiàng)的位置，即得不同數(shù)列，共有A2=30個(gè)不同的數(shù)列.2. （2013東北三校聯(lián)考）在數(shù)字1,2,3與符號(hào)“ + ”，“”這五個(gè)元素的所有全排列中，任意兩個(gè)數(shù) 字都不相鄰的全排列方法共有（）A. 6 種B. 12 種C. 18 種D. 24 種解析：選B本題主要考查某些元素不相鄰的問題，先排符號(hào)“ + ”，“ ”，有A2種排列方法，此時(shí)兩個(gè)符號(hào)中間與兩端共有3個(gè)空位，把數(shù)字1,2,3 “插空”，有A3種排列方法，因此滿足題目要求的排列方法共有A2A3=12種.3. （2013西安檢測）8名游泳運(yùn)動(dòng)員參加男子100米的決賽，已知游泳池有從內(nèi)到外編號(hào)依次為1,2,3,4,5,6,7,8的8條泳道，若指定的3名運(yùn)動(dòng)員所在的泳道編號(hào)必須是3個(gè)連續(xù)數(shù)字（如：5,6,7）,則參加游泳的這8名運(yùn)動(dòng)員被安排泳道的方式共有（）A. 360 種B. 4 320 種C. 720 種D. 2 160 種解析：選B 法一：先從8個(gè)數(shù)字中取出3個(gè)連續(xù)的數(shù)字共有 6種方法，將指定的3名運(yùn)動(dòng)員安排在 這3個(gè)編號(hào)的泳道上，剩下的5名運(yùn)動(dòng)員安排在其他編號(hào)的5條泳道上，共有6A3A5= 4 320種安排方式.法二：先將所在的泳道編號(hào)是 3個(gè)連續(xù)數(shù)字的3名運(yùn)動(dòng)員全排列，有A3種排法，然后把他們捆綁在一 起當(dāng)作一名運(yùn)動(dòng)員，再與剩余5名運(yùn)動(dòng)員全排列，有 A6種排法，故共有 A3A6=4 320種安排方式.類題通法求解排列應(yīng)用題的主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊兀素或特殊位置捆綁法把相鄰兀素看作一個(gè)整體與其他兀素一起排列，同時(shí)注意捆綁兀素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問題，先考慮/、受限制的兀素的排列，再將不相鄰的兀素插在前面兀素排列的空檔中先整體后局部“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部定序問題除法處理對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法考點(diǎn)二組合問題幣生共研型典例（2013重慶高考）從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派 5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小 組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是 （用數(shù)字作答）.解析直接法分類，3名骨科，內(nèi)科、腦外科各 1名；3名腦外科，骨科、內(nèi)科各 1名；3名內(nèi)科， 骨科、腦外科各1名；內(nèi)科、腦外科各 2名，骨科1名；骨科、內(nèi)科各 2名，腦外科1名；骨科、腦外科 各 2 名,內(nèi)科 1 名.所以選派種數(shù)為 c3 c4 C1+C3 c3 c5+c3 c1 c4+c4 c2c3+c3 c2 c4+c2 c2 c5= 590.答案590針對(duì)訓(xùn)練（2013四平質(zhì)檢）從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生 都有，則不同的組隊(duì)方案共有 （）A. 70 種B. 80 種C. 100 種D. 140 種解析：選A 法一（間接法）：當(dāng)選擇的3名醫(yī)生都是男醫(yī)生或都是女醫(yī)生時(shí)，共有C3+C4=14種組隊(duì)方案.當(dāng)從9名醫(yī)生中選擇3名醫(yī)生時(shí)，共有 C3= 84種組隊(duì)方案，所以男、女醫(yī)生都有的組隊(duì)方案共有 8414= 70 種.法二（直接法）：當(dāng)小分隊(duì)中有1名女醫(yī)生時(shí)，有 C4c2= 40種組隊(duì)方案；當(dāng)小分隊(duì)中有 2名女醫(yī)生時(shí)， 有C2c5 =30種組隊(duì)方案，故共有 70種不同的組隊(duì)方案.考點(diǎn)三分組分配問題多維探究型角度一整體均分問題1 .國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教.現(xiàn)有 6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有 種不同的分派方法.8。2。2。2 0解析：先把6個(gè)畢業(yè)生平均分成 3組，有方法，故6個(gè)畢業(yè)生平均分到 3所學(xué)校，共有C6C3C2種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有a3=6種A320202 一3 A 3 = 90種分派方法.A3答案：90角度二 部分均分問題2 .將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁 4個(gè)人，每人至少1本的不同分法共有 種.（用數(shù)字 作答）解析：把6本不同的書分成 4組，每組至少1本的分法有2種.301010！有1組3本，其余3組每組1本，不同的分法共有 C6C3C2C1 = 20種;A3有2組每組2本，其余2組每組1本，不同的分法共有C6C2 c2c2A2 A211=45 種.所以不同的分組方法共有20+45=65 種.11然后把分好的4組書分給4個(gè)人，所以不同的分法共有65XA4= 1 560種.答案：1 560角度三不等分問題3 .將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有 種不同的分法.解析：將6名教師分組，分三步完成:第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有 C1種取法；第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有 C5種取法;第3步，余下的3名教師作為一組，有 C3種取法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有 c6c5c3 = 60種取法.再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有a3=6種分法，故共有60X 6 = 360種不同的分法.答案：360三、二項(xiàng)式定理考點(diǎn)一二項(xiàng)式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)A自主填透型1 . （2013江西高考）卜235展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A. 80B. 80C. 40D. 40解析：選 CTr+1 = C5（x2）"rF j J=C5 （2）r x10-5，令105r=0,彳#r= 2,故常數(shù)項(xiàng)為C5x（2）2= 40.2. （2014浙江五校聯(lián)考）在卜2+：，5的展開式中x的系數(shù)為（）C. 20D. 40解析：選 B + = C5(x2)"re；r=C5x103r,，X 的系數(shù)為 c5=10,故選 B.3. (2013安徽高考)若的展開式中x4的系數(shù)為7,則實(shí)數(shù)a =解析：二項(xiàng)式x+f-f展開式的通項(xiàng)為8 4rTr+i = Cfarx -3,，令 8-r=4,可得 r=3,故 C3a3 = 7,易得 31 a = 2.,1答案：2類題通法求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)r+1,代回通項(xiàng)公式即可.考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)和或各項(xiàng)系數(shù)和問題網(wǎng)生共研理(3x_A_1典例(1)(2014北京西城一模)若3x 3卜m的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為128,則展開式中y的系I 電x Jx數(shù)是()A. 21B. -21C. 7D. 7(2)(2013 成都診斷)若(12x)4=aO + aix+ a2+a3x3+a4x4,則 a1 + a2+a3+a4=.(_7 包解析(1)-2m=128,，m=7,展開式的通項(xiàng)Tr+i=C7(3x)7-g r=C73(1)rx3,令 7-|r=-3,解得 r = 6, .弓的系數(shù)為 C637 6(- 1)6= 21,故選 A.3x(2)令 x=1 可得 a0+ai+a2+a3+a4=1,令 x=0,可得 a0=1,所以 a1 + a2 + a3+a4=0.答案(1)A (2)0一題多能 在本例(2)中條件不變，問題變?yōu)椤扒笸?必1|+忸2|+咫|+忸4|的值”.解：由題意知(1 + 2x)4= aO+|ai|x+|a2|x2+|a3|x3+|a4|x4,令 x= 1 得 a+|ai|+|a2|+|a3|+|a4|= 34=81.針對(duì)訓(xùn)練口" s2 01322 013 a1 , a232013右(12x)= a0+ax+ a2x + + a2 0i3x,則？ + ?+ 22013 =.解析：當(dāng)x= 0時(shí)，左邊=1,右邊=a。，a0=1.當(dāng)x=2時(shí)，左邊=0,右邊=ap+al+al+界建，- o= i+a21"+ a?+ +!2.即 a1+ a2+ + a2 013 = 12 22答案：1考點(diǎn)三多項(xiàng)式展開式中的特定項(xiàng)（系數(shù)問題）多維探究型在高考中，常常涉及一些多項(xiàng)式二項(xiàng)式問題，主要考查學(xué)生的化歸能力, 歸納起來常見的命題角度有：（1 "個(gè)多項(xiàng)式和的展開式中的特定項(xiàng)（系數(shù) 戶題；（2肘個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)（系數(shù) 列題；（3項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)（系數(shù)劉題.角度一 幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開式中的特定項(xiàng)問題1 .g2 4+j+X）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A. 32B. 34C. 36D. 38解析：選 DE32 4 的展開式的通項(xiàng)為 Tm+1=CT（x3）4m 1 X ,m=cm（-2）mx12 4m,令 12 4m= 0,解得m=3, k+XI8的展開式的通項(xiàng)為 Tn+1=Cnx8ng；n=C8x8-2n,令8-2n=0,解得n=4,所以所求常數(shù) 項(xiàng)為 C3（ 2）3+c8 = 38.角度二幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)（系數(shù)）問題2. （2013全國課標(biāo)卷H ）已知（1+ax）（1+x）5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a=（）A. 4B.-3C. 2D. - 1解析：選D 展開式中含x2的系數(shù)為c2+aC5=5,解得a=-1,故選D.角度三三項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)（系數(shù)）問題3. j|+1+42的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .（用數(shù)字作答）解析：原式=：+2產(chǎn)+2尸點(diǎn)（x+啦）25=32%（x+V2）10.求原式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為求（x+，2）10的展開式中含x5項(xiàng)的系數(shù)，即c1o/2）5.所以所求的常數(shù)項(xiàng)為C50 ( .2)5= 63 232 2答案：歲