2019-2020年高考數(shù)學(xué)知識模塊復(fù)習(xí)指－圓錐曲線導(dǎo)學(xué)案 舊人教版.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)知識模塊復(fù)習(xí)指圓錐曲線導(dǎo)學(xué)案 舊人教版【考點(diǎn)梳理】一、考試內(nèi)容1曲線和方程。由已知條件列出曲線的方程。充要條件。曲線的交點(diǎn)。2橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點(diǎn)、焦距。橢圓的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點(diǎn)、長軸、短軸、離心率、準(zhǔn)線。橢圓的畫法。3雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點(diǎn)、焦距。雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、實(shí)軸、虛軸、漸近線、離心率、準(zhǔn)線。雙曲線的畫法。等邊雙曲線。4拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點(diǎn)、準(zhǔn)線。拋物線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率。拋物線的畫法。5坐標(biāo)軸的平移。利用坐標(biāo)軸的平移化簡圓錐曲線方程。二、考試要求1掌握直角坐標(biāo)系中的曲線方程的關(guān)系和軌跡的概念。能夠根據(jù)所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求曲線的方程，并畫出方程所表示的曲線。理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，能夠初步判斷給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系。2掌握圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)。會根據(jù)所給的條件畫圓錐曲線。了解圓錐曲線的一些實(shí)際應(yīng)用。對于圓錐曲線的內(nèi)容，不要求解有關(guān)兩個(gè)二次曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)的問題（兩圓的交點(diǎn)除外）。3理解坐標(biāo)變換的意義，掌握利用坐標(biāo)軸平移化簡圓錐曲線方程的方法。4了解用坐標(biāo)研究幾何問題的思想，初步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。三、考點(diǎn)簡析1“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。那么這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。2充要條件（1）對于已知條件A和條件B，若A成立則B成立，即AB，這時(shí)稱條件A是B成立的充分條件。（2）對于已知條件A和條件B，若B成立則A成立，即BA，這時(shí)稱條件A是B成立的必要條件。（3）若既有AB，又有BA，那么A既是B成立的充分條件，又是B成立的必要條件，這時(shí)稱A是B成立的充要條件。3圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)（各選其中一種為例，其余同理研究）如下表：橢圓雙曲線拋物線定義1平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于定值2a(2a>|F1F2|的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對值等于定值2a(0<2a<|F1F2|，的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡定義2平面內(nèi)到定點(diǎn)F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(0<e<1)的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)到定點(diǎn)F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(e>1)的點(diǎn)的軌跡。平面內(nèi)到定點(diǎn)F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(e=1)的點(diǎn)的軌跡。標(biāo)準(zhǔn)方程+=1(a>b>0)-=1(a>b>0)y2=2px(p>0)圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)(a,0)(0, b)(a,0)(0,0)對稱軸x軸，長軸長為2ay軸，短軸長為2bx軸，實(shí)軸長為2ay軸，虛軸長為2bx軸焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)c=(c,0)c=(，0)焦距2c2c，離心率(e=)0<e<1e>1e=1準(zhǔn)線x=x=x= -漸近線，y=x，點(diǎn)M(x0,y0)的焦半徑公式|MF右|=a-ex0|MF左|=a+ex0x0+4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的。5直線與圓錐曲線相交的弦長公式設(shè)直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點(diǎn)為P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由 消去yax2+bx+c=0 （a0） =b2- 4ac。則弦長公式為d=6坐標(biāo)軸的平移及移軸公式坐標(biāo)軸的方向和長度單位都不改變，只改變原點(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸。移軸公式或，這里(x,y)，(x,y)，(h,k)分別為原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，新原點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。四、思想方法1求軌跡方程的基本方法有兩大類，即直接法和間接法。其中直接法包括：直譯法，定義法，待定系數(shù)法，公式法等。間接法包括：轉(zhuǎn)移法，參數(shù)法(k參數(shù)、t參數(shù)，參數(shù)及多個(gè)參數(shù))等。2本節(jié)解題時(shí)用到的主要數(shù)學(xué)思想方法有：（1）函數(shù)方程思想。求平面曲線的軌跡方程，其解決問題的最終落腳點(diǎn)就是將幾何條件(性質(zhì))表示為動點(diǎn)坐標(biāo)x、y的方程或函數(shù)關(guān)系（參數(shù)法）。（2）數(shù)形結(jié)合思想。解題時(shí)重視方程的幾何意義和圖形的輔助作用是非常必要的。即將對幾何圖形的研究，轉(zhuǎn)化為對代數(shù)式的研究，同時(shí)又要理解代數(shù)問題的幾何意義。（3）等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。在解決問題的過程中往往需要將一個(gè)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較為簡單的問題去求解。3避免繁復(fù)運(yùn)算的基本方法可以概括為：回避，選擇，尋求。所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運(yùn)用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡方程、求交點(diǎn)、解方程等繁復(fù)的運(yùn)算。所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標(biāo)系等，一般以直接性和間接性為基本原則。因?yàn)閷ζ胀ǚ匠踢\(yùn)算復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程可能會簡單；在某一直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，通過移軸可能會簡單；在直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，在極坐標(biāo)系下可能會簡單“所謂尋求”?！纠}解析】例1 設(shè)直線l：x=，定點(diǎn)A(,0)，動點(diǎn)P到直線l的距離為d，且=。求動點(diǎn)P的軌跡C的方程。解 設(shè)動點(diǎn)P(x,y)。由題意得=，由兩邊平方得，x2-2x+3+y2=(x2-x+)，即x2 - x+y2=。經(jīng)配方得(x-)2+y2=，即(x-)2+=1。例2 已知拋物線C的對稱軸與y軸平行，頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5。若將拋物線C向上平移3個(gè)單位，則在x軸上截得的線段長為原拋物線C在x軸上截得的線段長的一半；若將拋物線C向左平移1個(gè)單位，則所得拋物線過原點(diǎn)，求拋物線C的方程。解 設(shè)所求拋物線方程為(x-h)2=a(y-k)(aR,a0) 由的頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5，得=5在中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。設(shè)方程的二根為x1,x2，則|x1-x2|=2。將拋物線向上平移3個(gè)單位，得拋物線的方程為(x-h)2=a(y-k-3)令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。設(shè)方程的二根為x3,x4，則|x3-x4|=2。依題意得2=2，即 4(ak+3a)=ak 將拋物線向左平移1個(gè)單位，得(x-h+1)2=a(y-k),由拋物線過原點(diǎn)，得(1-h)2=-ak 由得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。所求拋物線方程為(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。例3 設(shè)橢圓+=1的兩焦點(diǎn)為F1、F2，長軸兩端點(diǎn)為A1、A2。（1）P是橢圓上一點(diǎn)，且F1PF2=60，求F1PF2的面積；（2）若橢圓上存在一點(diǎn)Q，使A1QA2=120，求橢圓離心率e的取值范圍。解 （1）設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,則r1+r2=2a。在F1PF2中，|F1F2|=2c, F1PF2=60,由余弦定理，得4c2=r12+r22 2r1r2cos60=(r1+r2)2 3r1r2,將r1+r2=2a代入，得r1r2=(a2-c2)= b2SFPF=r1r2sin60=b2=b2。（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0,y0)，則b2x02+a2y02=a2b2。A1QA2=120,又不妨設(shè)A1(a,0),A2(-a,0)，tan（-A1QA2）=將x02=a2 -y02代入得= 解得,y0=-by0b b2+2ab -a20即()2+2()-0，解得，e2=1-，且e2<1。e<1。例4 設(shè)雙曲線-=1的焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為2。（1）求此雙曲線的漸近線L1、L2的方程；（2）若A、B分別為L1、L2上的動點(diǎn)，且2|AB|=5|F1F2|，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程并說明軌跡是什么曲線。解 （1）由已知得已知雙曲線的離心率為=2，解得a2=1，所以已知雙曲線方程為y2-=1，它的漸近線L1、L2的方程為x-y=0和x+y=0。（2）因?yàn)閨F1F2|=4，2|AB|=5|F1F2|，所以|AB|=10。設(shè)A在L1上，B在L2上，則可以設(shè)A(y1,y1)、B(-y2、y2)，=10 設(shè)AB的中點(diǎn)M(x,y)，則x=,y=。y1-y2=,y1+y2=2y，代入得12y2+=100，即中點(diǎn)M的軌跡方程為+=1，是橢圓。例5 已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,-1)，焦點(diǎn)在x軸上，其右焦點(diǎn)到直線x-y+2=0的距離為3，（1）求橢圓方程；（2）橢圓與直線y=kx+m(k0)相交于不同的兩點(diǎn)M、N，當(dāng)|AM|=|AN|時(shí)，求m的取值范圍。解 （1）設(shè)已知橢圓方程為+=1(a>b>0)其中b=1。又設(shè)右焦點(diǎn)為(c,0)，則=3，解得c=,a=。橢圓方程為+y2=1。（2）設(shè)P為MN的中點(diǎn)，解方程組得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0= -12m2+36k2+12>0，得m2<3k2+1 又xM+xN=,xP=yP=kxP+m=kAP=又由MNAP得 = -。變形后，得2m=3k2+1 把代入，得2m>m2,解得0<m<2。又由得k2=>0，解得m>。<m<2。例6 已知曲線C:x2-y2=1及直線L:y=kx-1，曲線C與C關(guān)于直線L對稱。（1）當(dāng)k=1時(shí)，求曲線C的方程；（2）求證：不論實(shí)數(shù)k為何值，C與C恒有公共點(diǎn)。解 （1）設(shè)P(x,y)是所求曲線C上任意一點(diǎn)，P點(diǎn)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)Q(x0,y0)在已知曲線C上。 解得代入C的方程得(y+1)2-(x-1)2=1，即得C的方程。（2）當(dāng)C與C有公共點(diǎn)且在L上時(shí)，此公共點(diǎn)也即是C與L的公共點(diǎn)。方程組有實(shí)數(shù)解,方程x2-(kx-1)2=1有實(shí)根，（1-k2）x2+2kx-2=0有實(shí)根。當(dāng)k2=1，即k=1時(shí)，方程有實(shí)根x=1，C與L有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k21，即k1時(shí)，=4k2+8(1-k2) 0，解得-k，且k1。當(dāng)-k時(shí)，C與L有公共點(diǎn)，C與C也有公共點(diǎn)。當(dāng)C與C的公共點(diǎn)P不在L上時(shí)，則P點(diǎn)關(guān)于L的對稱點(diǎn)Q也是C與C的公共點(diǎn)，所以P、Q兩點(diǎn)均在C上，即C上有不同兩點(diǎn)P、Q關(guān)于L對稱。設(shè)P、Q所在直線的方程是y= - x+b(k0)。由消去y得（1-）x2+x-b2-1=0=+4(b2+1)(1-)>0 (1)又PQ的中點(diǎn)M(xM,yM)在L上，且將xM、yM代入L的方程得=-1，即b=,代入（1）式解得：k(-,-1)（-，0）(0, )(1,+)。k（-，-1）（-，0）(0, )(1,+)時(shí)，C與C有不在L上的公共點(diǎn)。由于與中，k的解集的并集為實(shí)數(shù)集R，不論實(shí)數(shù)k為何值，C與C恒有公共點(diǎn)。例7 已知橢圓C的方程為x2+=1，點(diǎn)P(a,b)的坐標(biāo)滿足a2+1。過點(diǎn)P的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，求：（1）點(diǎn)Q的軌跡方程；（2）點(diǎn)Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。解 （1）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x,y）。當(dāng)x1x2時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y=k(x-a)+b。又已知x12+=1,x22+=1 y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b 由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 由得y1+ y2=k(x1+x2)-2ak+2b 由、及x=，y=,k=得點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0當(dāng)x1=x2時(shí)，k不存在，此時(shí)l平行于y軸，因此AB的中點(diǎn)Q一定落在x軸上，即Q的坐標(biāo)為(a,0)。顯然點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程。綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0設(shè)方程所表示的曲線為L，則由得(2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0因?yàn)?8b2(a2+-1),又已知a2+1,所以當(dāng)a2+=1時(shí)，=0，曲線L與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P(a,b)。當(dāng)a2+<1時(shí)，<0，曲線L與橢圓沒有交點(diǎn)。因?yàn)?0,0)在橢圓C內(nèi)，又在曲線L上，所以曲線L在橢圓內(nèi)。故點(diǎn)Q的軌跡方程為2x2+y2-2ax-by=0（-1x1）。（2）由解得曲線L與y軸交于點(diǎn)(0,0),(0,b)。由解得曲線L與x軸交于點(diǎn)(0,0),(a,0)。當(dāng)a=0，b=0，即點(diǎn)P(a,b)為原點(diǎn)時(shí)，(a,0)、（0,b）與(0,0)重合，曲線L與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)(0,0)。當(dāng)a=0，且0<|b|1，即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的y軸上時(shí)，曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(0，b)與(0,0)。同理，當(dāng)b=0且0<|a|1時(shí)，曲線成坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（a,0）,（0,0）。當(dāng)0<|a|1，0<|b|1，即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且不在坐標(biāo)軸上時(shí)，曲線L與坐標(biāo)有三個(gè)交點(diǎn)(a,0)、(0,b)與(0,0)。例8 在直角坐標(biāo)系中，ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)C、A的坐標(biāo)分別為(0,0)、(2，0)，三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足2sinB=(sinA+sinC)。（1）求頂點(diǎn)B的軌跡方程；（2）過頂點(diǎn)C作傾斜角為的直線與頂點(diǎn)B的軌跡交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)(0, )時(shí)，求APQ面積S()的最大值。解 （1）設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c。由正弦定理=2R。2sinB=(sinA+sinC)2b=(a+c)b=2a+c=4即|BC|+|BA|=4.由橢圓定義知，B點(diǎn)軌跡是以C、A為焦點(diǎn)，長軸長為4，中心在（，0）的橢圓。B點(diǎn)軌跡方程為+y2=1(y0)（2）設(shè)直線PQ的方程為y=xtan，（0，），由得(1+4tan2)x2 -2x-1=0。設(shè)方程兩根為x1、x2,則x1+x2=, x1x2=|PQ|=點(diǎn)A到直線PQ的距離d=，(0, ), tan>0)S()= |PQ|d=2當(dāng)且僅當(dāng)sin=時(shí)，即sin=,=arcsin時(shí)，等號成立。s()的最大值為2。例9 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸。證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O（xx年全國高考數(shù)學(xué)試題）證明一 如圖10-4，因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F（，0），所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+;代入拋物線方程得y2-2pmy-p2=0。若記A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1,y2是該方程的兩個(gè)根，所以y1y2= -p2。因?yàn)锽Cx軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x= -上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-,y2)，故直線CO的斜率為k=。即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O 。證明二 如圖10-5，記x軸與拋物線準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為E，過A作ADl，D是垂足，則ADFEBC。連結(jié)AC，與EF相交于點(diǎn)N，則=，=，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，|EN|=|NF|，即點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，與拋物線頂點(diǎn)O重合，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O。例10如圖10-6，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，點(diǎn)E分有向線所成的比例為，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍（xx年全國高考數(shù)學(xué)試題）。 解 如圖10-7，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy,則CDy軸。因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于y軸對稱。依題意，記A(-c,0),C(,h),E(x0,y0)，其中c=|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高。由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得x0=,y0=設(shè)雙曲線的方程為-=1，則離心率e=。由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e=代入雙曲線方程得-=1 ()2-()2=1 由式得 =-1 將式代入式，整理得 (4-4)=1+2，故=1-。由題設(shè)得，1-，解得e。所以雙曲線的離心率的取值范圍為，。