2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《奇數(shù)偶數(shù)》.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《奇數(shù)偶數(shù)》.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料奇數(shù)偶數(shù)將全體整數(shù)分為兩類,凡是2的倍數(shù)的數(shù)稱為偶數(shù),否則稱為奇數(shù).因此,任一偶數(shù)可表為2m(mZ),任一奇數(shù)可表為2m+1或2m1的形式.奇、偶數(shù)具有如下性質(zhì): (1)奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù);偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù); 奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù);偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù); 奇數(shù)偶數(shù)=偶數(shù);奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù); (2)奇數(shù)的平方都可表為8m+1形式,偶數(shù)的平方都可表為8m或8m+4的形式(mZ). (3)任何一個(gè)正整數(shù)n,都可以寫成的形式,其中m為非負(fù)整數(shù),l為奇數(shù).這些性質(zhì)既簡(jiǎn)單又明顯,然而它卻能解決數(shù)學(xué)競(jìng)賽中一些難題.例題講解1下列每個(gè)算式中,最少有一個(gè)奇數(shù),一個(gè)偶數(shù),那么這12個(gè)整數(shù)中,至少有幾個(gè)偶數(shù)?+=,-=,.2已知n是偶數(shù),m是奇數(shù),方程組的解是整數(shù),那么( )(A)p、q都是偶數(shù). (B)p、q都是奇數(shù).(C)p是偶數(shù),q是奇數(shù) (D)p是奇數(shù),q是偶數(shù) 3在1,2,3,1992前面任意添上一個(gè)正號(hào)和負(fù)號(hào),它們的代數(shù)和是奇數(shù)還是偶數(shù).470個(gè)數(shù)排成一行,除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外,每個(gè)數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊兩個(gè)數(shù)的和,這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的:0,1,3,8,21,.問(wèn)最右邊的一個(gè)數(shù)被6除余幾?5設(shè)a、b是自然數(shù),且有關(guān)系式123456789=(11111+a)(11111-b), 證明a-b是4的倍數(shù).-+-+6在33的正方格(a)和(b)中,每格填“+”或“-”的符號(hào),然后每次將表中任一行或一列的各格全部變化試問(wèn)重復(fù)若干次這樣的“變號(hào)”程序后,能否從一張表變化為另一張表.+-+-+b a 7設(shè)正整數(shù)d不等于2,5,13.證明在集合2,5,13,d中可以找到兩個(gè)元素a,b,使得ab1不是完全平方數(shù). 8設(shè)a、b、c、d為奇數(shù),證明:如果a+d=2k,b+c=2m,k,m為整數(shù),那么a=1. 9設(shè)是一組數(shù),它們中的每一個(gè)都取1或1,而且a1a2a3a4+a2a3a4a5+ana1a2a3=0,證明:n必須是4的倍數(shù). 課后練習(xí)1.填空題(1)有四個(gè)互不相等的自然數(shù),最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4,最大數(shù)與最小數(shù)的積是一個(gè)奇數(shù),而這四個(gè)數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù),那么這四個(gè)數(shù)的乘積是_.(2)有五個(gè)連續(xù)偶數(shù),已知第三個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)和的多18,這五個(gè)偶數(shù)之和是_.(3)能否把1993部電話中的每一部與其它5部電話相連結(jié)?答_.2.選擇題(1)設(shè)a、b都是整數(shù),下列命題正確的個(gè)數(shù)是( )若a+5b是偶數(shù),則a-3b是偶數(shù);若a+5b是偶數(shù),則a-3b是奇數(shù);若a+5b是奇數(shù),則a-3b是奇數(shù);若a+5b是奇數(shù),則a-3b是偶數(shù).(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2)若n是大于1的整數(shù),則的值( ).(A)一定是偶數(shù) (B)必然是非零偶數(shù)(C)是偶數(shù)但不是2 (D)可以是偶數(shù),也可以是奇數(shù)(3)已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a、b、c為整數(shù)),如果當(dāng)x=0與x=1時(shí),二次三項(xiàng)式的值都是奇數(shù),那么a( )(A)不能確定奇數(shù)還是偶數(shù) (B)必然是非零偶數(shù)(C)必然是奇數(shù) (D)必然是零3.試證明11986+91986+81986+61986是一個(gè)偶數(shù).4.請(qǐng)用0到9十個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)能被11整除的最小十位數(shù).5.有n 個(gè)整數(shù),共積為n,和為零,求證:數(shù)n能被4整除6.在一個(gè)凸n邊形內(nèi),任意給出有限個(gè)點(diǎn),在這些點(diǎn)之間以及這些點(diǎn)與凸n邊形頂點(diǎn)之間,用線段連續(xù)起來(lái),要使這些線段互不相交,而且把原凸n邊形分為只朋角形的小塊,試證這種小三我有形的個(gè)數(shù)與n有相同的奇偶性.7.一個(gè)四位數(shù)是奇數(shù),它的首位數(shù)字淚地其余各位數(shù)字,而第二位數(shù)字大于其它各位數(shù)字,第三位數(shù)字等于首末兩位數(shù)字的和的兩倍,求這四位數(shù). 8.試證:3n+1能被2或22整除,而不能被2的更高次冪整除.課后練習(xí)答案()(最小兩位奇數(shù)是,最大數(shù)與最小數(shù)同為奇數(shù))()設(shè)第一個(gè)偶數(shù)為,則后面四個(gè)衣次為,()不能是奇數(shù),的個(gè)位數(shù)字是奇數(shù),而,都是偶數(shù),故最后為偶數(shù)仿例 設(shè),滿足題設(shè)即。假如為奇數(shù),由,所有皆為奇數(shù),但奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù),故這時(shí)不成立,可見只能為偶數(shù)由于為偶數(shù),由知中必有一個(gè)偶數(shù),由知中必有另一個(gè)偶數(shù)于是中必有兩個(gè)偶數(shù),因而由知必能被整除設(shè)小三角形的個(gè)數(shù)為,則個(gè)小三角形共有條邊,減去邊形的條邊及重復(fù)計(jì)算的邊數(shù)扣共有()條線段,顯然只有當(dāng)與有相同的奇偶性時(shí),()才是整數(shù)設(shè)這個(gè)四位數(shù)是由于,是奇數(shù)所以于是(),即或因是偶數(shù),所以,由此得,又因,所以因此該數(shù)為當(dāng)為奇數(shù)時(shí),考慮()的展開式;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),考慮()的展開式例題答案:1. 解 因?yàn)榧臃ê蜏p法算式中至少各有一個(gè)偶數(shù),乘法和除法算式中至少各有二個(gè)偶數(shù),故這12個(gè)整數(shù)中至少有六個(gè)偶數(shù).2.分析 由于1988y是偶數(shù),由第一方程知p=x=n+1988y,所以p是偶數(shù),將其代入第二方程中,于是11x也為偶數(shù),從而27y=m-11x為奇數(shù),所以是y=q奇數(shù),應(yīng)選(C)都能被7整除;注:3.分析 因?yàn)閮蓚€(gè)整數(shù)之和與這兩個(gè)整數(shù)之差的奇偶性相同,所以在題設(shè)數(shù)字前面都添上正號(hào)和負(fù)號(hào)不改變其奇偶性,而1+2+3+1992=9961993為偶數(shù) 于是題設(shè)的代數(shù)和應(yīng)為偶數(shù).4.解 設(shè)70個(gè)數(shù)依次為a1,a2,a3據(jù)題意有a1=0, 偶a2=1 奇a3=3a2-a1, 奇a4=3a3-a2, 偶a5=3a4-a3, 奇a6=3a5-a4, 奇由此可知:當(dāng)n被3除余1時(shí),an是偶數(shù);當(dāng)n被3除余0時(shí),或余2時(shí),an是奇數(shù),顯然a70是3k+1型偶數(shù),所以k必須是奇數(shù),令k=2n+1,則a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.5.證明 由式可知11111(a-b)=ab+4617 a0,b0,a-b0首先,易知a-b是偶數(shù),否則11111(a-b)是奇數(shù),從而知ab是奇數(shù),進(jìn)而知a、b都是奇數(shù),可知(11111+a)及(11111-b)都為偶數(shù),這與式矛盾其次,從a-b是偶數(shù),根據(jù)可知ab是偶數(shù),進(jìn)而易知a、b皆為偶數(shù),從而ab+4617是4的倍數(shù),由知a-b是4的倍數(shù).6. 解 按題設(shè)程序,這是不可能做到的,考察下面填法:在黑板所示的22的正方形表格中,按題設(shè)程序“變號(hào)”,“+”號(hào)或者不變,或者變成兩個(gè). 表(a)中小正方形有四個(gè)“+”號(hào),實(shí)施變號(hào)步驟后,“+”的個(gè)數(shù)仍是偶數(shù);但表(b)中小正方形“+”號(hào)的個(gè)數(shù)仍是奇數(shù),故它不能從一個(gè)變化到另一個(gè).顯然,小正方形互變無(wú)法實(shí)現(xiàn),33的大正方形的互變,更無(wú)法實(shí)現(xiàn).7. 解由于251=32,2131=52,5131=82,因此,只需證明2d1,5d1,13d1中至少有一個(gè)不是完全平方數(shù).用反證法,假設(shè)它們都是完全平方數(shù),令2d1=x2 5d1=y2 13d1=z2 x,y,zN*由知,x是奇數(shù),設(shè)x=2k1,于是2d1=(2k1)2,即d=2k22k+1,這說(shuō)明d也是奇數(shù).因此,再由,知,y,z均是偶數(shù).設(shè)y=2m,z=2n,代入、,相減,除以4得,2d=n2m2=(n+m)(nm),從而n2m2為偶數(shù),n,m必同是偶數(shù),于是m+n與mn都是偶數(shù),這樣2d就是4的倍數(shù),即d為偶數(shù),這與上述d為奇數(shù)矛盾.故命題得證.8.首先易證:從而.再由因而 顯然,為偶數(shù),為奇數(shù),并且只能一個(gè)為4n型偶數(shù),一個(gè)為4n+2型偶數(shù)(否則它們的差應(yīng)為4的倍數(shù),然而它們的差等于2a不是4的倍數(shù)), 因此,如果設(shè),其中e,f為奇數(shù),那么由式及的特性就有()或() 由 得e=1,從而于是()或()分別變?yōu)榛蚪庵?,?因a為奇數(shù),故只能a=1.9.證明:由于每個(gè)均為1和1,從而題中所給的等式中每一項(xiàng)也只取1或1,而這樣的n項(xiàng)之和等于0,則取1或1的個(gè)數(shù)必相等,因而n必須是偶數(shù),設(shè)n=2m.再進(jìn)一步考察已知等式左端n項(xiàng)之乘積=()4=1,這說(shuō)明,這n項(xiàng)中取1的項(xiàng)(共m項(xiàng))也一定是偶數(shù),即m=2k,從而n是4的倍數(shù).