【聚焦中考】2015中考數(shù)學（陜西省）總復習課件：第20講　三角形與全等三角形

數(shù)學第五章圖形的性質(一) 第20講三角形與全等三角形 要點梳理 1三角形的邊、角關系三 角 形 的 任 意 兩 邊 之 和 第 三 邊 ；三 角 形 的 內 角 和 等 于 2三角形的分類按 角 可 分 為 和 ， 按 邊可 分 為 和 180 大 于直 角 三 角 形 斜 三 角 形不 等 邊 三 角 形 等 腰 三 角 形 要點梳理 3三角形的主要線段(1)角 平 分 線 ： 一 個 角 的 頂 點 和 這 個 角 的 平 分 線 與對 邊 的 交 點 之 間 的 線 段 叫 做 三 角 形 的 角 平 分 線 ； 三角 形 三 條 角 平 分 線 的 交 點 ， 則 叫 三 角 形 的 內 心 ， 它到 各 邊 的 距 離 相 等 (2)中 線 ： 連 接 三 角 形 的 一 個 頂 點 和 它 對 邊 中 點 的線 段 叫 做 三 角 形 的 中 線 ； 三 角 形 三 條 中 線 的 交 點 ，叫 三 角 形 的 重 心 要點梳理 (3)高 ： 三 角 形 的 一 個 頂 點 和 它 對 邊 所 在 直 線 的 垂 線段 叫 做 三 角 形 的 高 ； 三 角 形 三 條 高 線 的 交 點 ， 叫 三 角形 的 垂 心 (4)中 位 線 ： 連 接 三 角 形 兩 邊 中 點 的 線 段 ， 叫 做 三 角形 的 中 位 線 (5)垂 直 平 分 線 ： 三 角 形 三 邊 的 垂 直 平 分 線 的 交 點 ，叫 三 角 形 的 外 心 ， 它 到 各 頂 點 的 距 離 相 等 ； 銳 角 三 角形 的 外 心 在 形 內 ， 鈍 角 三 角 形 的 外 心 在 形 外 ， 直 角 三角 形 的 外 心 在 斜 邊 中 點 要點梳理 4全等三角形的性質和判定(1)性 質 ： 全 等 三 角 形 對 應 邊 相 等 ， 對 應 角 相 等 注意 ： 全 等 三 角 形 對 應 邊 上 的 高 、 中 線 相 等 ； 對 應 角 的平 分 線 相 等 ； 全 等 三 角 形 的 周 長 、 面 積 也 相 等 要點梳理 (2)判 定 ： (SAS)； (ASA)； . (AAS)； 對 應 相 等 的 兩 個 三 角 形 全 等 (SSS)； 對 應 相 等 的 兩 個 直 角 三角 形 全 等 (HL)兩 邊 和 夾 角 對 應 相 等 的 兩 個 三 角 形 全 等兩 角 和 夾 邊 對 應 相 等 的 兩 個 三 角 形 全 等兩 角 和 其 中 一 角 的 對 邊 對 應 相 等 的 兩 個 三 角 形 全 等三 邊斜 邊 和 一 條 直 角 邊 要點梳理 一個防范按邊分類時，一定要注意等邊三角形也是一種等腰三角形，不要把它單獨分出來選擇題中經(jīng)常把它作為一個錯誤項出現(xiàn)；按角分類時，每一個角都是銳角的三角形才是銳角三角形，只要有一個角是直角或者有一個角是鈍角，就能判定它是直角三角形或者是鈍角三角形，但已知兩角都為銳角時，要計算出第三角才能作出判定 要點梳理 兩種思考途徑(1)當圖形明顯具有對稱性(軸對稱或中心對稱)或旋轉性時，思考途徑是：從居于對稱位置的線、角或部分證相等或全等入手，或由前一次全等為后一次全等提供所缺的條件，或利用特殊三角形、特殊四邊形的性質提供所缺的條件； (2)圖形不具有明顯的對稱性或旋轉性，此時要證明兩個三角形全等，在思考上的關鍵是找準對應關系其方法是：已知條件中相等的角、邊對應，則它們所對的邊、角對應；欲證相等的邊、角對應，它們所對的邊、角也是對應的；最后所余的一組邊、一組角分別對應 三種基本思路(1)有兩邊對應相等時，找夾角相等或第三邊對應相等；(2)有一邊和一角對應相等時，找另一角相等或夾等角的另一邊相等；(3)有兩個角對應相等時，找一對邊對應相等另外，在尋求全等條件時，要善于挖掘圖形中公共邊、公共角、對頂角等隱含條件 四種思考方法(1)順推分析：從已知條件出發(fā)，運用相應的定理，分別或聯(lián)合幾個已知條件加以發(fā)展，一步一步地去靠近欲證目標；(2)逆推分析：從欲證結論入手，分析達到欲證的可能途徑，逐步溝通它與已知條件的聯(lián)系，從而找到證明方法；(3)順推分析與逆推分析相結合；(4)聯(lián)想分析：對于一道與證明過的題目有類似之處的新題目，分析它們之間的相同點與不同點，嘗試把對前一道題的思考轉用于現(xiàn)在的題目中，從而找到它的解法 六種全等模式(1)“公共角”模式；(2)“公共邊”模式；(3)“對頂角”模式；(4)“角平分線”模式；(5)“平移”模式；(6)“旋轉”模式 1 (2013陜西)如 圖 ， 在 四 邊 形 ABCD中 ， 對 角 線AB AD， CB CD， 若 連 接 AC， BD相 交 于 點 O，則 圖 中 全 等 三 角 形 共 有 ( C ) A 1對 B 2對 C 3對 D 4對 2 (2014陜西)如 圖 ， 在 Rt ABC中 ， ABC 90 ， 點D在 邊 AB上 ， 使 DB BC， 過 點 D作 EF AC， 分 別 交 AC于 點 E， CB的 延 長 線 于 點 F. 求 證 ： AB BF. 3 (2013陜西)如 圖 ， AOB 90 ， OA OB， 直 線 l經(jīng)過 點 O， 分 別 過 A， B兩 點 作 AC l交 l于 點 C， BD l交 l于點 D.求 證 ： AC OD.解 ： AOB 90 ， AOC BOD 90 ， AC l， BD l， ACO BDO 90 ， A AOC90 ， A BOD， 又 OA OB， AOC OBD(AAS)， AC OD 三角形的三邊關系【例1】(1)(2013宜昌)下 列 每 組 數(shù) 分 別 表 示 三 根木 棒 的 長 度 ， 將 它 們 首 尾 連 接 后 ， 能 擺 成 三 角 形 的一 組 是 ( )A 1， 2， 6 B 2， 2， 4C 1， 2， 3 D 2， 3， 4(2)(2013德陽)如 果 三 角 形 的 兩 邊 分 別 為 3和 5， 那么 連 接 這 個 三 角 形 三 邊 中 點 所 得 的 三 角 形 的 周 長 可能 是 ( )A 5.5 B 5 C 4.5 D 4DA 【點評】三角形三邊關系性質的實質是“兩點之間，線段最短” 根據(jù)三角形的三邊關系，已知三角形的兩邊a， b，可確定三角形第三邊長c的取值范圍|ab|cab. 1 (1)(2014宜昌)已 知 三 角 形 兩 邊 長 分 別 為 3 和 8， 則 該三 角 形 第 三 邊 的 長 可 能 是 ( ) A 5 B 10 C 11 D 12 (2)(2013濱州)若 從 長 度 分 別 為 3， 5， 6， 9 的 四 條 線 段 中任 取 三 條 ， 則 能 組 成 三 角 形 的 概 率 為 ( ) A.12 B.34 C.13 D.14 B A 三角形的內角、外角的性質 【例2】(1)(2014赤峰)如圖， 把 一 塊 含 有 30角( A 30)的 直 角 三 角 板 ABC的 直 角 頂 點 放 在 矩 形桌 面 CDEF的 一 個 頂 點 C處 ， 桌 面 的 另 一 個 頂 點 F與三 角 板 斜 邊 相 交 于 點 F， 如 果 1 40， 那 么 AFE ( )A 50 B 40C 20 D 10D (2)一 個 零 件 的 形 狀 如 圖 所 示 ， 按 規(guī) 定 A 90 ， B和 C分 別 是 32 和 21 ， 檢 驗 工 人 量 得 BDC 148 ， 就 斷 定 這 個 零 件 不 合 格 ， 請 說 明 理 由 解 ： (2)延 長 BD 交 AC 于 E. DEC是 ABE的 外 角 ， DEC A B 90 32 122 . 同 理 BDC C DEC 21 122 143 148 ， 這 個 零 件 不 合 格 【點評】有關求三角形角的度數(shù)的問題，首先要明確所求的角和哪些三角形有密切聯(lián)系，若沒有直接聯(lián)系，可添加輔助線構建“橋梁” 2 (1)(2013寧夏)如 圖 ， ABC中 ， ACB 90 ，沿 CD折 疊 CBD， 使 點 B恰 好 落 在 AC邊 上 的 點 E處 ，若 A 22 ， 則 BDC等 于 ( )A 44 B 60 C 67 D 77C (2)如 圖 ， P是 ABC內 一 點 ， 延 長 BP交 AC于 點 D， 用“ ” 表 示 BPC， BDC， BAC之 間 的 關 系 解 ： BPC是 PCD的 外 角 ， BPC BDC， 同 理 BDC BAC， BPC BDC BAC 全等三角形判定的運用【例3】(1)(2014深圳)如圖， ABC和 DEF中 ，AB DE， B DEF， 添 加 下 列 哪 一 個 條 件 無 法 證明 ABC DEF( )A AC DF B A DC AC DF D ACB FC (2)(2013婁底)如 圖 ， AB AC， 要 使 ABE ACD應添 加 的 條 件 是 (添 加 一個 條 件 即 可 ) B C或 AE AD 【點評】判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角 3 (1)(2013綏化)如 圖 ， A， B， C三 點 在 同 一 條 直 線上 ， A C 90 ， AB CD， 請 添 加 一 個 適 當?shù)?條 件 ， 使 得 EAB BCD.AE CB (2)(2014邵陽)如 圖 ， 已 知 點 A， F， E， C在 同 一 直 線上 ， AB CD， ABE CDF， AF CE. 從 圖 中 任 找 兩 組 全 等 三 角 形 ； 從 中 任 選 一 組 進 行 證 明 解 ： (2) ABE CDF ， AFD CEB ； AB CD， 1 2， AF CE， AF EFCE EF， 即 AE FC， 在 ABE 和 CDF 中 ， 1 2， ABE CDF，AE CF， ABE CDF(AAS) 運用全等三角形的性質【例4】已知：如圖， 在 ABC中 ， D是 BC的 中點 ， ED DF， 求 證 ： BE CF EF. 解 ： 證 明 ： 延 長 ED 到 M， 使 DM ED， 連 接 CM， FM. D 是 BC 的 中 點 ， BD CD.在 EDB與 MDC中 ，BD DC， EDB CDM，ED DM， EDB MDC(SAS)， BECM.在 FMC 中 ， CF CM MF， 又 ED DF， ED DM， EF FM. CF CM EF， 即 CF BE EF 【點評】利用中線加倍延長法，把BE， CF， EF集中在一個三角形中，利用三角形的兩邊之和大于第三邊來證 4 (2014重慶)如 圖 ， ABC中 ， BAC 90 ，AB AC， AD BC， 垂 足 是 D， AE平 分 BAD， 交BC于 點 E.在 ABC外 有 一 點 F， 使 FA AE，F(xiàn)C BC. (1)求 證 ： BE CF； (2)在 AB上 取 一 點 M， 使 BM 2DE， 連 接 MC， 交AD于 點 N， 連 接 ME.求 證 ： ME BC； DE DN. 如 圖 ， 過 點 E 作 EH AB 于 H ， 則 BEH 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， H E BH ， BEH 45 ， AE 平 分 BAD， AD BC， DE H E， DE BH H E， BM 2DE， H E H M， H EM 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， MEH 45 ， BEM 45 45 90 ， ME BC 由 題 意 得 ， CAE 45 12 45 67.5 ， CEA 180 45 67.5 67.5 ， CAE CEA 67.5 ， AC CE， 在 Rt ACM 和 Rt ECM中 ， CM CM，AC CE， Rt ACM Rt ECM(H L)， ACM ECM 12 45 22.5 ， 又 DAE 12 45 22.5 ， DAE ECM， BAC 90 ， AB AC， AD BC， AD CD 12BC， 在 ADE 和 CDN 中 ， DAE ECM，AD CD， ADE CDN， ADE CDN(ASA)， DE DN 試題如圖， 已 知 D是 ABC的 邊 BC上 的 一 點 ， E是 AD上的 一 點 ， EB EC， 1 2.求 證 ： BAE CAE. 錯解證明：在AEB和AEC中， AE AE， EBEC， 1 2， AEB AEC(SSA)， BAE CAE. 剖析 (1)先看一個事實，如圖，將等腰ABC的底邊BC延長線上的任一點和頂點A相連，所得的DAB和DAC無疑是不全等的，由此可知，有兩邊及其一邊的對角對應相等的兩個三角形(簡稱“邊邊角” )不一定全等因此，在判定三角形全等時，一定要留心“邊邊角” ，別上當喲 (2)全等三角形的證明是幾何證明的基礎，關系到以后幾何學習的成績，要熟練掌握判定三角形全等的方法，有“邊邊邊” “邊角邊” “角角邊”及“斜邊、直角邊” (3)怎樣添加輔助線：做個比喻，思考某些題目，在溝通已知和結論的途中，一條河擋住了道路，這時添加必要的輔助線，就好像在河上架起橋梁添加輔助線的原則一是當分析思考出現(xiàn)上述需要時才添加，而不要在思考伊始就亂連亂添，把圖形復雜化，反而把思路搞亂；原則二是順著思考分析的方向，注意溝通過程中的需要，而水到渠成地添上適宜的一筆；原則三是注意總結在什么情況下需要怎樣添加的規(guī)律，如對于 涉及(指題設或結論中出現(xiàn))三角形的(中點)中線的問題，可以把該中線延長一倍，再把其端點和中點所在的邊的端點相連接，構成三角形全等 正解證明： EBEC， 3 4.又 1 2， 1 3 2 4， 即 ABC ACB， AB AC.在 AEB和 AEC中 ， EB EC， 1 2， AB AC， AEB AEC(SAS)， BAE CAE.