高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 5.3 直線與平面的夾角課件 北師大版選修2-1.ppt

5.3 直線與平面的夾角,第二章 5 夾角的計(jì)算,1.理解直線與平面的夾角的概念. 2.會(huì)利用向量的方法求直線與平面的夾角.,學(xué)習(xí)目標(biāo),知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,欄目索引,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 直線與平面的夾角 (1)平面外一條直線與它在該平面內(nèi)的 的夾角叫作該直線與此平面的夾角. (2)如果一條直線與一個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，我們規(guī)定這條直線與平面的夾角為 . (3)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，我們規(guī)定這條直線與平面的夾角是 . (4)直線與平面夾角的范圍： . (5)斜線與平面夾角的范圍： .,答案,0,投影,返回,知識(shí)點(diǎn)二 直線與平面夾角的向量求法 設(shè)平面的斜線l的方向向量為a，平面的法向量為n. (1)當(dāng)a，n與，l的關(guān)系如圖所示時(shí)， 則l與所成角與a，n所成的角互余. 即sin cosa，n. (2)當(dāng)a，n與，l的關(guān)系如圖所示時(shí)，,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一 求直線與平面的夾角的基本方法 例1 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD的夾角.,解析答案,反思與感悟,解 方法一 連接BC1，B1C交于點(diǎn)O，連接A1O， 在正方體ABCDA1B1C1D1中， B1CBC1，BC1A1B1，B1CA1B1B1， BC1平面A1B1CD.故A1O為A1B在平面A1B1CD內(nèi)的投影，即BA1O為A1B與平面A1B1C的夾角.,解析答案,反思與感悟,BA1O30. A1B與平面A1B1CD的夾角是30.,反思與感悟,方法二 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則有A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，,設(shè)平面A1B1CD的一個(gè)法向量為n(x，y，z).,令x1，則有y0，z1，可取n(1,0,1).,則A1B與平面A1B1CD的夾角是30.,反思與感悟,求直線與平面的夾角的方法與步驟 思路一：找直線在平面內(nèi)的投影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識(shí)可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值). 思路二：用向量法求直線與平面的夾角可利用向量夾角公式或法向量.利用法向量求直線與平面的夾角的基本步驟： (1)建立空間直角坐標(biāo)系；,(3)求平面的法向量n；,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，PD平面ABCD，PDDC，E是PC的中點(diǎn). 求EB與平面ABCD夾角的余弦值.,解析答案,解 取CD的中點(diǎn)M，則EMPD， 又PD平面ABCD， EM平面ABCD， BE在平面ABCD上的投影為BM， MBE為BE與平面ABCD的夾角，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)PDDC1， 則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，,解析答案,題型二 空間夾角的綜合應(yīng)用 例2 四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PD底面ABCD；ADPD，E、F分別為CD，PB的中點(diǎn). (1)求證：EF平面PAB；,又ABPAA，EF平面PAB；,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，,反思與感悟,本題有兩問是一個(gè)綜合題，題目以四棱錐為背景構(gòu)造垂直的證明和線面角的求解，求解過程充分體現(xiàn)了向量的工具性作用.,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 在如圖所示的幾何體中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，ACBCBD2AE，M是AB的中點(diǎn). (1)求證：CMEM； 證明 如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA，CB所在直線分別為x軸和y軸，過點(diǎn)C作與平面ABC垂直的直線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)EAa，則A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E(2a,0,a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0).,解析答案,返回,(2)求CM與平面CDE的夾角. 解 設(shè)向量n(1，y0，z0)與平面CDE垂直，,所以y02，z02，即n(1,2，2)，,因此直線CM與平面CDE的夾角是45.,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,1.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分別是棱CC1，BC，A1B1上的點(diǎn)，若B1MN90，則PMN的大小是( ) A.等于90 B.小于90 C.大于90 D.不確定 解析 A1B1平面BCC1B1，故A1B1MN，,A,解析答案,MPMN，即PMN90. 也可由三垂線定理直接得MPMN.,1,2,3,4,5,解析答案,2.正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD夾角的正弦值為( ),1,2,3,4,5,解析 建系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，,答案 C,1,2,3,4,5,解析答案,A.60 B.90 C.105 D.75 解析 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BB11，則A(0,0,1)，,B,即AB1與C1B所成角的大小為90.,解析答案,4. 如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則BC1與平面BB1D1D所成的角的正弦值為( ),解析 以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)(圖略)，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，,D,1,2,3,4,5,解析答案,解 由于ACBC2，D是AB的中點(diǎn)，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).,1,2,3,4,5,課堂小結(jié),利用空間向量求角的基本思路是把空間角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量之間的關(guān)系.首先要找出并利用空間直角坐標(biāo)系或基向量(有明顯的線面垂直關(guān)系時(shí)盡量建系)表示出向量；其次理清要求角和兩個(gè)向量夾角之間的關(guān)系.,返回,