高中數(shù)學 第二章 推理與證明章末復習提升課件 蘇教版選修2-2.ppt

第 2章 推理與證明,章末復習提升,1.了解推理的概念. 2.理解合情推理與演繹推理的概念、思維形式、應用等. 3.掌握直接證明與間接證明. 4.理解數(shù)學歸納法，并會用數(shù)學歸納法證明問題.,學習目標,欄目索引,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 合情推理與演繹推理 1.歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結論不一定為真，有待進一步證明. 2.演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學中證明的基本推理形式.也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性.,知識點二 直接證明與間接證明 直接證明和間接證明是數(shù)學證明的兩類基本證明方法.直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導出結論的證明方法；分析法是由結論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學問題時，常把它們結合起來使用，間接證法的一種方法是反證法，反證法是從結論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法.,思考 反證法通常適用于哪些問題？ 答案 反證法是高中數(shù)學的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要.反證法主要證明：否定性、唯一性命題；至多、至少型問題；幾何問題.,答案,知識點三 數(shù)學歸納法 數(shù)學歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關的數(shù)學問題.證明時，它的兩個步驟缺一不可.它的第一步(歸納奠基)nn0時結論成立.第二步(歸納遞推)假設nk時，結論成立，推得nk1時結論也成立.數(shù)學歸納法原理建立在歸納公理的基礎上，它可用有限的步驟(兩步)證明出無限的命題成立. 思考 何為探索性命題？其解題思路是什么？ 答案 探索性命題是試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此類問題未給出問題結論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結論的問題稱為探求規(guī)律性問題，它的解題思想是：從給出的條件出發(fā)，通過觀察、試驗、歸納、猜想，探索出結論，然后再對歸納、猜想的結論進行證明.,答案,返回,題型探究 重點突破,解析答案,題型一 合情推理及應用 例1 觀察下列各式： ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10_. 解析 記anbnf(n)，則f(3)f(1)f(2)134； f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11. 通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)， 則f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47； f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123. 所以a10b10123.,123,反思與感悟,反思與感悟,歸納推理和類比推理是常用的合情推理，兩種推理的結論“合情”但不一定“合理”，其正確性都有待嚴格證明.盡管如此，合情推理在探索新知識方面有著極其重要的作用. 運用合情推理時，要認識到觀察、歸納、類比、猜想、證明是相互聯(lián)系的.在解決問題時，可以先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點，形成解決問題的初步思路，然后用歸納、類比的方法進行探索、猜想，最后用邏輯推理方法進行驗證.,解析答案,跟蹤訓練1 自然數(shù)按下表的規(guī)律排列 則上起第2 014行，左起第2 015列的數(shù) 為_. 2 0142; 2 0152； 2 0132 014; 2 0142 015.,解析 經(jīng)觀察可得這個自然數(shù)表的排列特點： (1)第一列的每個數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在行數(shù)的平方， 即第n行的第1個數(shù)為n2； (2)第一行第n個數(shù)為(n1)21； (3)第n行從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞減1； (4)第n列從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞增1. 故上起第2 014行，左起第2 015列的數(shù)，應是第2 015列的第2 014個數(shù)， 即為(2 0151)212 0132 0142 015. 答案 ,解析答案,題型二 直接證明與間接證明,反思與感悟,反思與感悟,反思與感悟,直接證明方法可具體分為比較法、代換法、放縮法、判別式法、構造函數(shù)法等，應用綜合法證明問題時，必須首先想到從哪里開始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難，在實際證明問題時，應當把分析法和綜合法結合起來使用.,解析答案,跟蹤訓練2 已知等差數(shù)列an中，首項a10，公差d0.,解 an是等差數(shù)列，a11，d2， a47，am2m1.,即2m149.m25.,解析答案,又a10，d0，an1a1ndd，,因此假設不成立，故命題得證.,解析答案,題型三 數(shù)學歸納法及應用 例3 已知ai0(i1,2，n)，考察：,歸納出對a1，a2，an都成立的類似不等式，并用數(shù)學歸納法加以證明.,反思與感悟,證明：當n1時，顯然成立. 假設當nk時，不等式成立，,由可知，不等式對任意正整數(shù)n都成立.,反思與感悟,反思與感悟,數(shù)學歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎保證，即通過驗證落實傳遞的起點，這個基礎必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，兩步合在一起為完全歸納步驟，這兩步缺一不可，第二步中證明“當nk1時結論正確”的過程中，必須用“歸納假設”，否則就是錯誤的.,解析答案,跟蹤訓練3 數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*). (1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；,解 當n1時，a1S12a1，a11；,當n4時，a1a2a3a4S424a4，,解析答案,(2)證明(1)中的猜想. 證明 當n1時，a11，結論成立. 假設nk(k1且kN*)時，結論成立，,那么nk1時，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1， 2ak12ak.,當nk1時，結論成立.,例4 已知x，yR，且x2y20，求證x，y全為0. 錯解 假設結論不成立，則x，y全不為0，即x0且y0， x2y20，與x2y20矛盾，故x，y全為0. 錯因分析 x，y全為0的否定應為x，y不全為0，即至少有一個不是0， 得x2y20與已知矛盾. 正解 假設x，y不全為0，則有以下三種可能： x0，y0，得x2y20，與x2y20矛盾； x0，y0，得x2y20, 與x2y20矛盾； x0，y0，得x2y20，與x2y20矛盾. 假設是錯誤的，x，y全為0.,易錯易混,應用反證法證明問題時，因對結論否定不正確致誤,解析答案,返回,防范措施,應用反證法證明問題時，首先要否定結論，假設結論的反面成立，當結論的反面呈現(xiàn)多樣性時，需羅列出各種可能情形，否定一定要徹底.,返回,防范措施,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.下列推理正確的是_. 把a(bc)與loga(xy)類比，則loga(xy)logaxlogay； 把a(bc)與sin(xy)類比，則sin(xy)sin xsin y； 把(ab)n與(xy)n類比，則(xy)nxnyn； 把(ab)c與(xy)z類比，則(xy)zx(yz).,答案,解析答案,1,2,3,4,5,2.在ABC中，若sin Asin Ccos Acos C，則ABC形狀為_. 解析 由sin Asin Ccos Acos C， 得cos(AC)0，即cos B0, 所以B為銳角，但并不能確定角A和C的情況.,不確定,1,2,3,4,5,解析答案,解析答案,1,2,3,4,5,4.如圖是由花盆擺成的圖案，根據(jù)圖中花盆擺放的規(guī)律，第n個圖形中的花盆數(shù)an_. 解析 觀察知每一個圖案中間一行的花盆數(shù) 為1,3,5，其中第n個圖案中間一行的花盆 數(shù)為2n1，往上一側花盆數(shù)依次是2n2,2n3，,3n23n1,解析答案,1,2,3,4,5,(1)求f2(x)，f3(x)；,(2)猜想fn(x)的表達式，并證明.,下面用數(shù)學歸納法證明： 當n1時，命題顯然成立；,這就是說當nk1時命題也成立.,解析答案,1,2,3,4,5,課堂小結,返回,轉化與化歸的思想方法是數(shù)學最基本的思想方法，數(shù)學中一切問題的解決都離不開轉化與化歸，轉化與化歸是數(shù)學思想方法的靈魂.在本章中，合情推理與演繹推理體現(xiàn)的是一般與特殊的轉化，數(shù)學歸納法體現(xiàn)的是一般與特殊、有限與無限的轉化，反證法體現(xiàn)的是對立與統(tǒng)一的轉化. 從特殊到一般的思想方法即由特殊情況入手，通過觀察、試驗、歸納、猜想，探索出結論，然后再對歸納、猜想的結論進行證明.與正整數(shù)n有關的命題，經(jīng)常要用到歸納猜想，然后用數(shù)學歸納法證明，這體現(xiàn)了從特殊到一般的探求規(guī)律的思想.,