2019-2020年高中數(shù)學(xué)奧賽系列輔導(dǎo)資料競賽中的三角函數(shù)立體選講教案.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)奧賽系列輔導(dǎo)資料競賽中的三角函數(shù)立體選講教案.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué)奧賽系列輔導(dǎo)資料競賽中的三角函數(shù)立體選講教案【內(nèi)容綜述】一三角函數(shù)的性質(zhì)1正,余弦函數(shù)的有界性對任意角,2奇偶性與圖象的對稱性正弦函數(shù),正切函數(shù)和余切函數(shù)都是奇函數(shù),它們的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,并且y=sinx的圖象還關(guān)于直線對稱:余弦函數(shù)是偶函數(shù),從而y=cosx的圖象關(guān)于y軸對稱,并且其圖象還關(guān)于直線對稱3單調(diào)性y=sinx在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減:y=cosx在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;y=tanx在上都是單調(diào)遞增的;y=cotx在上都是單調(diào)遞減的。4周期性y=sinx與y=cosx的最小正周期是2,y=tanx與y=cosxr 的最小正周期是。【例題分析】 例1 已知圓至少覆蓋函數(shù)的一個最大值點(diǎn)與一個最小值點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解 因?yàn)槭且粋€奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,而圓也關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以,圖只需覆蓋的一個最值點(diǎn)即可。令,可解得的圖象上距原點(diǎn)最近的一個最大值點(diǎn),依題意,此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過|k|,即綜上可知,所求的K 為滿足的一切實(shí)數(shù)。例2 已知,且求 cos(x+2y)的值。解 原方程組可化為因?yàn)樗粤?,則在上是單調(diào)遞增的,于是由得 f(x)=f(-2y)得 x=-2y即 x+2y=0例3 求出(并予以證明)函數(shù)解 首先,對任意,均有這表明,是函數(shù)f(x)的一個周期其次,設(shè),T是f(x)的一個周期,則對任意,均有在上式中,令x=0,則有。兩邊平方,可知即 sin2T=0,這表明,矛盾。綜上可知,函數(shù)的最小正周期為。例3 求證:在區(qū)間內(nèi)存在唯一的兩個數(shù),使得sin(cosc)=c, cos(sind)=d證,構(gòu)造函數(shù)f(x)=cos(sinx)-xf(x)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的,由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0.故存在唯一的,使f(d)=0,即cos(sind)=d對上述兩邊取正弦,并令c=sind,有sin(cos(sind)=sindsin(cosc)=c顯然,由于y=sinx在是單調(diào)遞增的,且d是唯一的,所以c也是唯一的,且例4 已知對任意實(shí)數(shù)x,均有求證:證 首先,f(x)可以寫成其中是常數(shù),且,在式中,分別令和得+,得又在式中分別令,得由+,得【能力訓(xùn)練】(A組)1求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間2已知是偶函數(shù),求3設(shè),試比較的大小。4證明:對所以實(shí)數(shù)x,y,均有5已知為偶函數(shù),且t滿足不等式,求t的值。(B組)6已知,且滿足:(1);(2);(3)。求f(x)的解析式7證明:對任意正實(shí)數(shù)x,y以及實(shí)數(shù)均有不等式8已知當(dāng)時,不等式恒成立,求的取值范圍。9設(shè),求乘積的最大值和最小值。參考答案【能力訓(xùn)練】A組12由偶函數(shù)的定義,有上式對任意成立,故所以3首先,又,即4只需證明不能同時成立,若不然,則存在整數(shù)m,n,k,使得即 矛盾5由題設(shè),得即 由于上式對任意x成立,故sint=1,結(jié)合,即-1<t<4 可知B組6由可得a+2b+4c=1524(1)當(dāng)且b>0時,有此方程組與聯(lián)立后無解(2)當(dāng)且b<0 有此時a=4,b=-40, c=400(3)當(dāng)a>0且有此方程組與聯(lián)立后無解。(4)當(dāng)a<0且,有此方程組與聯(lián)立后無解,得上可知,。7原不等式等價于若,則若故原不等式成立8令,由條件可得所以在第I象限,原不等式可化為由于結(jié)合原不等式對任意x0,1都成立,可知取最小值亦成立,即9由條件知,于是