2019-2020年高中數(shù)學 2.1.2《橢圓的幾何性質》教案（1） 湘教版選修1-1.doc

2019-2020年高中數(shù)學 2.1.2橢圓的幾何性質教案（1） 湘教版選修1-1一、知識點通過對橢圓標準方程的討論，掌握橢圓的性質（范圍、對稱性、頂點、離心率），并能正確畫出橢圓的圖形。二、能力訓練點結合對橢圓幾何性質的討論，掌握利用方程研究曲線的基本方法，加深對曲線與方程關系的理解，同時提高分析問題、解決問題的能力。三、德育滲透點由于通過方程研究曲線，以初中代數(shù)中數(shù)與式的知識為基礎研究幾何問題，綜合運用方程（組）理論，提高代數(shù)運算能力，提高綜合分析能力，揭示透過現(xiàn)象看本質的辯證唯物主義觀念。四、美育滲透點用美學的眼光審視數(shù)學，數(shù)學中處處閃耀著美的光彩，橢圓代數(shù)方程閃耀著數(shù)學的簡約美、方程形式的對稱性顯現(xiàn)數(shù)學的對稱、均衡美.用數(shù)學的簡約美去研究曲線幾何性質的形象美，是學數(shù)學、用數(shù)學的重要目標。五、學法指導根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質，并能正確畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一.根據(jù)曲線的條件列出方程，如果說是解析幾何的手段，那么根據(jù)曲線的方程研究它的性質，畫圖就可以說是解析幾何的目的，通過橢圓的標準方程研究橢圓的性質這是第一次系統(tǒng)地用代數(shù)方法研究曲線。研究橢圓的范圍，意在考察方程中x、y的取值范圍；討論橢圓的對稱性，應明確初中學過的對稱概念和關于x軸、y軸、原點對稱點坐標之間的關系，然后說明以x代x，或以y代y方程不變，則圖形關于x軸、y軸、原點對稱的道理；關于曲線的截距，相當于求曲線與坐標軸的交點；離心率的概念比較抽象，它是焦距與長軸長的比值，它反映了橢圓的圓扁程度，這是圓錐曲線的重要性質。六、重點與難點1、重點：橢圓的幾何性質及其運用2、難點：通過方程研究曲線比較抽象，需要綜合運用數(shù)學知識。七、課時安排五課時第一課時教學目標1、掌握橢圓的范圍、頂點、對稱性、離心率這四個幾何性質；2、掌握標準方程中a、b、c、e的幾何意義及其相互關系；3、明確怎樣用代數(shù)的方法研究曲線的幾何性質。教學過程1、情境設置上節(jié)課我們學習了求軌跡方程的一種方法代入法（利用中間變量求點的軌跡），同學們回憶一下，求點的軌跡方程何時用代入法？當動點的運動隨著另一個點的運動而運動，而主動點又在某一固定曲線上運動時，求點的軌跡方程用代入法。代入法的關鍵是什么？建立主動點與被動點之間的坐標關系。代入法的實質是什么？代入法的實質就是將動點轉移到有規(guī)律的曲線上，進而求出動點的軌跡方程。研究橢圓方程就是想進一步認識橢圓的幾何性質。2、探索研究研究曲線幾何特征有何幾何意義？研究曲線的幾何性質可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置。怎樣來研究曲線的幾何特征呢？通過對曲線方程的討論來研究曲線的幾何特征。下面利用橢圓的標準方程x2/a2y2/b21(ab0)來研究橢圓的性質。范圍：由橢圓的標準方程x2/a2y2/b21，兩個變量x、y互相依賴，由于兩個非負數(shù)的和等于1，所以橢圓上的點的坐標(x,y)適合不等式：x2/a21, y2/b21，即axa，byb,這說明橢圓位于直線xa,yb所圍成的矩形內。換個角度看：如果將橢圓的標準方程變形為，則這個橢圓方程可以分成與兩個函數(shù)式，討論橢圓的范圍，就是討論這兩個函數(shù)的定義域和值域。對稱性回憶點P(a,b)關于x軸、y軸、坐標原點、直線yx的對稱點坐標；奇函數(shù)與偶函數(shù)圖象的對稱性。點P(a,b)關于x軸的對稱點坐標是(a,b)；點P(a,b)關于y軸的對稱點坐標是(a,b)；點P(a,b)關于原點的對稱點坐標是(a,b)；點P(a,b)關于直線yx的對稱點坐標是(b, a)；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，即點(a,b)在函數(shù)的圖象上，那么點(a,b)也在函數(shù)的圖象上；偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，即點(a,b)在函數(shù)的圖象上，那么點(a, b)也在函數(shù)的圖象上。如果以y代y方程不變，那么當點P(x,y)在曲線上，它關于y軸的對稱點Q(x,y)也在曲線上，所以曲線關于x軸對稱；同理，如果以x代x方程不變，那么當點P(x,y)在曲線上，它關于x軸的對稱點Q(x,y)也在曲線上，所以曲線關于y軸對稱；如果同時以y代y，以x代x方程不變，那么當點P(x,y)在曲線上，它關于原點的對稱點Q(x,y)也在曲線上，所以曲線關于原點對稱。我們來看橢圓的標準方程，以x代x，或以y代y，或同時以y代y，以x代x方程是否改變？沒有改變。所以橢圓關于x軸、y軸、原點都是對稱的，這時坐標軸是橢圓的對稱軸；坐標原點是橢圓的對稱中心。注意：標準方程表示的橢圓，它的對稱軸是坐標軸，對稱中心是坐標原點，那么能不能說橢圓的對稱軸是坐標軸，對稱中心是坐標原點呢？不能。頂點研究曲線上某些特殊點的位置，可以確定曲線的位置，要確定曲線在坐標系中的位置，常常需要求出曲線與x軸、y軸的交點坐標。同學們看一看，標準方程表示的橢圓與x軸、y軸的交點坐標是怎樣的？在橢圓的標準方程x2/a2y2/b21里，令x0得yb，所以橢圓與y軸的兩個交點是(0,b)或(0,b),同理令y0得xa，所以橢圓與x軸的兩個交點是(a,0)或(a,0).x軸、y軸是橢圓的對稱軸，橢圓與它的對稱軸的四個交點叫做橢圓的頂點，即橢圓與它的對稱軸的交點叫做橢圓的頂點。線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸與短軸。它們的長分別是2a、2b，其中a和b分別叫做橢圓的長半長軸長與短半軸長。觀察橢圓圖形，找出與a、b、c相等的線段？|OB1|OB2|b,|B1F1|B1F2|B2F2|B2F1|OA1|OA2|a,|OF1|OF2|c。a、b、c的幾何意義是什么？它們分別是長半長軸長、短半軸長、半焦距。離心率橢圓的焦距與長軸長的比2c/2ac/ae。橢圓離心率e的范圍是怎樣的？ac0,0e1觀察動畫，考察e的變化，對橢圓的影響？e越接近1，則c就越接近a，從而就越小，橢圓就越扁，反之，e越接近0，則c就越接近于0，從而b就越接近于a，橢圓就越接近于圓。當且僅當c0時，ab，此時兩個焦點重合，這時橢圓變成圓，方程為x2y2a2，因此圓可以看成橢圓的特例；橢圓可以看成是圓向同一方向均勻壓縮（拉長）得到的。練習：說出橢圓y2/a2x2/b21的范圍、頂點、對稱性、離心率。3、反思應用例1求橢圓16x225y2400的長軸和短軸長、離心率、焦點和頂點坐標，并用描點法畫出它的圖形。分析：將方程化為標準方程即可求解，列表只要在0x5的范圍內算出幾個點的坐標，畫出橢圓在第一象限內的圖形然后利用對稱性作出整個圖形。解：把已知方程化為標準方程x2/52y2/421，這里a5，b4，所以c3。因此長軸長2a10,短軸長2b8,離心率ec/a3/5,焦點F1(3,0)和F2(3,0),橢圓的四個頂點是A1(5,0)、A2(5,0)、B1(0,4)、B2(0,4)x012345y43.93.73.22.40將已知方程變形為，根據(jù)在0x5的范圍內算出幾個點的坐標(x,y)：先描點畫出橢圓的一部分，再利用橢圓的對稱性畫出整個橢圓。例2求適合下列條件的橢圓的標準方程經過點P(3,0)、Q(0,2)；長軸長等于20，離心率3/5。分析一：設方程為mx2ny21，將點的坐標代入方程，求出m1/9,n1/4。二：利用橢圓的幾何性質，以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點，于是焦點在x軸上，且點P、Q分別是橢圓長軸與短軸的一個端點，故a3，b2，所以橢圓的標準方程為x2/,9y2/41。由已知2a20，e3/5，a10，c6，b8，由于焦點可能在x軸上，也可能在y軸上，所以橢圓的標準方程為x2/100y2/641或x2/64y2/1001隨堂練習在下列方程所表示的曲線中，關于x軸、y軸都對稱的是（）DA、x2yB、x22xyy0C、x24y25xD、9x2y24求下列橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標x24y216；2a=8,2b=4,A1(4,0),A2(4,0),B1(0,2),B2(0,2)9x2y2812a=18,2b=6,A1(0,9),A2(0，9),B1(3,0),B2(3,0)在下列每組橢圓中，哪一個更接近于圓？9x2y236與x2/16y2/121；x29y236與x2/6y2/101x2/16y2/121；x2/6y2/101已知橢圓mx25y25m的離心率，求m的值。分析：橢圓的標準方程是x2/5y2/m1(m0，m5)當焦點在x軸上，即0m5時，解得m3當焦點在x軸上，即m5時，解得m25/3若橢圓的離心率是1/2，求m的值。m5/4，m5/34、歸納總結數(shù)學思想：數(shù)形結合、分類討論、類比的思想、特殊到一般數(shù)學方法：圖象法、公式法、待定系數(shù)法、知識點：范圍、頂點、對稱性、離心率5、作業(yè)預習：橢圓的第二定義是什么？什么叫做橢圓的準線？對于一個確定的橢圓，它有幾條準線？中心在原點，焦點在x軸的準線方程是什么？中心在原點，焦點在y軸的準線方程是什么？