2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.5 等比數(shù)列的前n項和 第二課時 數(shù)列求和（習(xí)題課）學(xué)案【含解析】新人教A版必修5

第二課時數(shù)列求和(習(xí)題課)1等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式是什么？其公式是如何推導(dǎo)的？略2等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)有哪些？略分組轉(zhuǎn)化法求和例1已知數(shù)列an，bn滿足a15，an2an13n1(n2，nN*)，bnan3n(nN*)(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)求數(shù)列an的前n項和Sn.解(1)an2an13n1(nN*，n2)，an3n2(an13n1)，bn2bn1(nN*，n2)b1a1320，bn0(n2)，2，bn是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列bn22n12n.(2)由(1)知anbn3n2n3n，Sn(2222n)(3323n)2n1.類題通法當(dāng)一個數(shù)列本身不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，但如果它的通項公式可以拆分為幾項的和，而這些項又構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列時，那么就可以用分組求和法，即原數(shù)列的前n項和等于拆分成的每個數(shù)列前n項和的和活學(xué)活用求數(shù)列，2，4，的前n項和Sn.解：an2n2(2n2)(2n1)，Sn24135(2n1)n21.錯位相減法求和例2(山東高考)已知數(shù)列an的前n項和Sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)令cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)由題意知當(dāng)n2時，anSnSn16n5.當(dāng)n1時，a1S111，符合上式所以an6n5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d.由即解得所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，兩式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2. 類題通法如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項和時，可采用錯位相減法在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式活學(xué)活用已知an，求數(shù)列an的前n項和Sn.解：Sn，Sn，兩式相減得Sn，Sn.裂項相消法求和例3已知等差數(shù)列an的前n項和Sn滿足S30，S55.(1)求an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和解(1)設(shè)an的公差為d，則Snna1d.由已知可得解得a11，d1.故an的通項公式為an2n.(2)由(1)知，從而數(shù)列的前n項和為.類題通法裂項法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解，然后重新組合使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的利用裂項法的關(guān)鍵是分析數(shù)列的通項，觀察是否能分解成兩項的差，這兩項一定要是同一數(shù)列相鄰(相間)的兩項，即這兩項的結(jié)論應(yīng)一致活學(xué)活用在數(shù)列an中，an，且bn，求數(shù)列bn的前n項和解：an(12n)，bn，bn8，數(shù)列bn的前n項和為Sn88.探規(guī)尋律數(shù)列求和的常用方法歸納1公式法(分組求和法)如果一個數(shù)列的每一項是由幾個獨(dú)立的項組合而成，并且各獨(dú)立項也可組成等差或等比數(shù)列，則該數(shù)列的前n項和可考慮拆項后利用公式求解2裂項求和法對于裂項后明顯有能夠相消的項的一類數(shù)列，在求和時常用“裂項法”，分式的求和多利用此法可用待定系數(shù)法對通項公式進(jìn)行拆項，相消時應(yīng)注意消去項的規(guī)律，即消去哪些項，保留哪些項常見的拆項公式有：；若an為等差數(shù)列，公差為d，則；等3錯位相減法若數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，由這兩個數(shù)列的對應(yīng)項乘積組成的新數(shù)列為anbn，當(dāng)求該數(shù)列的前n項的和時，常常采用將anbn的各項乘公比q，然后錯位一項與anbn的同次項對應(yīng)相減，即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和，所以這種數(shù)列求和的方法稱為錯位相減法4倒序相加法如果一個數(shù)列an，與首末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加求和法典例(12分)(江西高考)已知數(shù)列an的前n項和Snn2kn(其中kN*)，且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k，并求an；(2)求數(shù)列的前n項和Tn.解題流程規(guī)范解答(1)當(dāng)nkN*時，Snn2kn取得最大值，即8Skk2k2k2，故k216，k4.(3分)當(dāng)n1時，a1S14，(4分)當(dāng)n2時，anSnSn1n.名師批注利用anSnSn1時，易忽視條件n2.當(dāng)n1時，上式也成立，綜上，ann.(6分)(2)因為，(7分)所以Tn1，(8分)所以2Tn22，(9分)：2TnTn21名師批注兩式相減時，注意不要漏項，由SnqSn得Sn時應(yīng)注意q是否等于1.44.(11分)故Tn4.(12分)活學(xué)活用設(shè)數(shù)列an的通項公式為an(2n1)an1(a0)，求其前n項和解：當(dāng)a1時，an2n1是等差數(shù)列，Snn2.當(dāng)a1時，Sn13a5a27a3(2n1)an1，aSna3a25a3(2n3)an1(2n1)an，得(1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an12(2n1)an.a1，Sn.綜上所述，當(dāng)a1時，Snn2；當(dāng)a1時，Sn.隨堂即時演練1已知an(1)n，數(shù)列an的前n項和為Sn，則S9與S10的值分別是()A1,1B1，1C1,0 D1,0解析：選DS91111111111，S10S9a10110.2數(shù)列an，bn滿足anbn1，ann23n2，則bn的前10項和為()A. B.C. D.解析：選B依題意bn，所以bn的前10項和為S10，故選B.3數(shù)列1，3，5，7，(2n1)，的前n項和Sn_.解析：該數(shù)列的通項公式為an(2n1)，則Sn135(2n1)n21.答案：n214已知數(shù)列an的通項公式an，其前n項和Sn，則項數(shù)n等于_解析：an1，Snnn15，n6.答案：65已知等比數(shù)列an中，a28，a5512.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bnnan，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解：(1)64q3，q4.ana24n284n222n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1，從而22Sn123225327n22n1，得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn(3n1)22n12課時達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1已知an為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和若a2a32a1，且a4與2a7的等差中項為，則S5等于()A35B33C31 D29解析：選C設(shè)an的公比為q，則有解得S53231.2數(shù)列(1)nn的前n項和為Sn，則S2 016等于()A1 008 B1 008C2 016 D2 014解析：選AS2 016(12)(34)(2 0152 016)1 008.3數(shù)列an的通項公式是an，若前n項和為10，則項數(shù)為()A11 B99C120 D121選Can，Sna1a2an(1)()()1，令110，得n120.4數(shù)列1，的前n項和為()A. B.C. D.解析：選B該數(shù)列的通項為an，分裂為兩項差的形式為an2，令n1,2,3，則Sn21，Sn2.5已知數(shù)列an：，那么數(shù)列bn前n項的和為()A4 B4C1 D.解析：選Aan，bn4.Sn44.二、填空題6數(shù)列an中，Sn3nm，當(dāng)m_時，數(shù)列an是等比數(shù)列解析：因為a1S13m，a2S2S13236，a3S3S2333218，又由a1a3a，得m1.答案：17設(shè)數(shù)列an的通項為an2n7(nN*)，則|a1|a2|a15|_.解析：an2n7，a15，a23，a31，a41，a53，a1523，|a1|a2|a15|(531)(13523)9153.答案：1538數(shù)列11,103,1 005,10 007，的前n項和Sn_.解析：數(shù)列的通項公式an10n(2n1)所以Sn(101)(1023)(10n2n1)(1010210n)13(2n1)(10n1)n2.答案：(10n1)n2三、解答題9設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a12，a3a24.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項和Sn.解：(1)設(shè)q為等比數(shù)列an的公比，則由a12，a3a24，得2q22q4，即q2q20，解得q2或q1(舍去)，因此q2.所以an的通項公式為an22n12n(nN*)(2)易知bn2n1，則Snn122n1n22.10已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足aan1an2a0，nN*，且a32是a2，a4的等差中項數(shù)列bn滿足b11，且bn1bn2.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前2n項和T2n.解：(1)因為aan1an2a0，所以(an1an)(an12an)0，因為an>0，所以an12an，則數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列，又a32是a2，a4的等差中項，即2(4a12)2a18a1，解得a12，所以an2n.因為數(shù)列bn滿足b11，且bn1bn2.所以數(shù)列bn是公差為2的等差數(shù)列，易得bn2n1. (2)由(1)知cn T2n22322n137(4n1)2n2n.11已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a12，Snn2n.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)的前n項和為Tn，求證Tn1.解：(1)Snn2n，當(dāng)n2時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，又a12滿足上式，an2n(nN*)(2)證明：Snn2nn(n1)，Tn1.nN*，0，Tn1.12設(shè)公差不為0的等差數(shù)列an的首項為1，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足1，nN*，求bn的前n項和Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0)，a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，aa2a14.即(14d)2(1d)(113d)，解得d0(舍去)，或d2.an1(n1)22n1.(2)由已知 1(nN*)，當(dāng)n1時，；當(dāng)n2時，1.(nN*)由(1)，知an2n1(nN*)，bn(nN*) 又Tn，Tn，兩式相減，得Tn，Tn3.12