2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.5 函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象（二）學(xué)案【含解析】新人教A版必修4

第二課時(shí)函數(shù)yAsin(x)的圖象(二)A，的物理意義導(dǎo)入新知在yAsin(x)，x0，)(A0，0)中，各參數(shù)的物理意義.振幅A它是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體離開平衡位置的最大距離周期T它是物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間頻率f它是單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)相位x其中為初相化解疑難簡(jiǎn)記圖象變換名稱及步驟(1)函數(shù)ysin x到y(tǒng)sin(x)的圖象變換稱為相位變換；(2)函數(shù)ysin x到y(tǒng)sin x的圖象變換稱為周期變換；(3)函數(shù)ysin x到y(tǒng)Asin x的圖象變換稱為振幅變換;(4)函數(shù)ysin x到y(tǒng)Asin(x)的圖象的變換途徑為相位變換周期變化振幅變換或周期變換相位變化振幅變換函數(shù)yAsin(x)，A>0，>0的有關(guān)性質(zhì)導(dǎo)入新知函數(shù)yAsin(x)，A>0，>0的有關(guān)性質(zhì)名稱性質(zhì)定義域R值域A，A對(duì)稱性對(duì)稱中心，kZ，對(duì)稱軸x，kZ奇偶性當(dāng)k，kZ時(shí)是奇函數(shù)單調(diào)性通過整體代換可求出其單調(diào)區(qū)間化解疑難由yAsin(x)的性質(zhì)或部分圖象確定解析式解決問題的關(guān)鍵是確定參數(shù)A，基本方法是在觀察圖象的基礎(chǔ)上，利用待定系數(shù)法求解若設(shè)所求解析式為yAsin(x)，則在觀察函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，可按以下規(guī)律來確定A，.(1)一般可由函數(shù)圖象上的最大值、最小值來確定|A|.(2)因?yàn)門，所以往往通過求周期T來確定，可以通過已知曲線與x軸的交點(diǎn)來確定T，即相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為，相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))之間的距離為T.(3)以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)“零點(diǎn)”作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)“零點(diǎn)”的位置，來確定.由圖象確定函數(shù)的解析式例1如圖是函數(shù)yAsin(x)A>0，>0，|<的圖象的一部分，求此函數(shù)的解析式解(逐一定參法)由圖象知A3，T，2，y3sin(2x)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，03sin，2k，得k(kZ)|<，y3sin.類題通法給出yAsin(x)的圖象的一部分，確定A，的方法(1)第一零點(diǎn)法：如果從圖象可直接確定A和，則選取“第一零點(diǎn)”(即“五點(diǎn)法”作圖中的第一個(gè)點(diǎn))的數(shù)據(jù)代入“x0”(要注意正確判斷哪一點(diǎn)是“第一零點(diǎn)”)求得.(2)特殊值法：通過若干特殊點(diǎn)代入函數(shù)式，可以求得相關(guān)待定系數(shù)A，.這里需要注意的是，要認(rèn)清所選擇的點(diǎn)屬于五個(gè)點(diǎn)中的哪一點(diǎn)，并能正確代入列式(3)圖象變換法：運(yùn)用逆向思維的方法，先確定函數(shù)的基本解析式y(tǒng)Asin x，再根據(jù)圖象平移規(guī)律確定相關(guān)的參數(shù)活學(xué)活用1(全國(guó)甲卷)函數(shù)yAsin(x)的部分圖象如圖所示，則()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin答案：A2已知函數(shù)f(x)Acos(x)(A0，0,0)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則f(1)的值為()A BC. D答案：D函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用例2已知函數(shù)f(x)Asin(x)，xR的周期為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M.(1)求f(x)的解析式；(2)當(dāng)x時(shí)，求f(x)的最值解(1)由函數(shù)f(x)圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)為M，得A2.由周期T，得2.由點(diǎn)M在圖象上，得2sin2，即sin1，所以2k(kZ)，故2k(kZ)又因?yàn)?，所以k1，.所以函數(shù)的解析式為f(x)2sin.(2)因?yàn)閤，所以2x，所以當(dāng)2x，即x0時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值1；當(dāng)2x，即x時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值 .類題通法函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用(1)應(yīng)用的范圍：函數(shù)的單調(diào)性、最值、奇偶性、圖象的對(duì)稱性等方面都有體現(xiàn)和考查(2)解決的方法：有關(guān)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)的運(yùn)用問題，充分利用三角函數(shù)的基本性質(zhì)，要特別注意整體代換思想的運(yùn)用活學(xué)活用設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)(<<0)，yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x.(1)求；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間及最值解：(1)(2)單調(diào)增區(qū)間為(kZ)；單調(diào)減區(qū)間為(kZ)當(dāng)xk(kZ)時(shí)，函數(shù)取得最大值1；當(dāng)xk(kZ)時(shí)，函數(shù)取得最小值1.5函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的對(duì)稱性典例設(shè)函數(shù)ycos x的圖象位于y軸右側(cè)的所有對(duì)稱中心從左依次為A1，A2，An，則A1 006的坐標(biāo)是_解析因?yàn)楹瘮?shù)ycos x的圖象的對(duì)稱中心是點(diǎn)(kZ)，所以ycos x的圖象的對(duì)稱中心為(2k1,0)(kZ)，所以A1(1,0)，A2(3,0)，An(2(n1)1,0)，故A1 006的坐標(biāo)為(2 011,0)答案(2 011,0)多維探究1對(duì)稱軸與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的圖象的對(duì)稱軸通過函數(shù)圖象的最值點(diǎn)且垂直于x軸函數(shù)yAsin(x)對(duì)稱軸方程的求法：令sin(x)1，得xk(kZ)，則x(kZ)，所以函數(shù)yAsin(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x(kZ)函數(shù)yAcos(x)對(duì)稱軸方程的求法：令cos(x)1，得xk(kZ)，則x(kZ)，所以函數(shù)yAcos(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x(kZ)2對(duì)稱中心與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)圖象的對(duì)稱中心即函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)對(duì)稱中心的求法：令sin(x)0，得xk(kZ)，則x(kZ)，所以函數(shù)yAsin(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(kZ)成中心對(duì)稱函數(shù)yAcos(x)對(duì)稱中心的求法：令cos(x)0，得xk(kZ)，則x(kZ)，所以函數(shù)yAcos(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(kZ)成中心對(duì)稱活學(xué)活用1函數(shù)y3sin的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是()A(0,0)B.C.D(3,0)答案：C2已知0,0，直線x和x是函數(shù)f(x)sin(x)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，則()A. B.C. D.答案：A3已知函數(shù)f(x)2sin(x)，對(duì)于任意x都有ff，則f的值為_答案：2或2隨堂即時(shí)演練1最大值為，最小正周期為，初相為的函數(shù)表達(dá)式是()AysinBysinCysin Dysin答案：D2函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，則將yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象的解析式為()Aysin 2xBycos 2xCysin Dysin答案：D3函數(shù)f(x)Asin(A>0，>0)在一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值2；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值2，則函數(shù)解析式為_答案：f(x)2sin4已知函數(shù)f(x)3sin(>0)和g(x)2cos(2x)1的圖象的對(duì)稱軸完全相同若x，則f(x)的取值范圍是_答案：5.已知函數(shù)f(x)sin(x)(0，0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值答案：，2或課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1函數(shù)ysin(2x)圖象的一條對(duì)稱軸在內(nèi)，則滿足此條件的一個(gè)值為()A.B.C.D.答案：A2已知函數(shù)yAsin(x)k(A>0，>0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x是其圖象的一條對(duì)稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為()Ay4sinBy2sin2Cy2sin2Dy2sin2答案：D3若函數(shù)f(x)2sin(x)的最小正周期是，且f(0)，則()A，B，C2， D2，答案：D4若f(x)2cos(x)m對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有ff(t)，且f1，則實(shí)數(shù)m的值等于()A1 B1或3C3 D3或1答案：D5函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的部分圖象如圖所示，則f(1)f(2)f(3)f(2 017)的值等于()A.B22C.2 D.2答案：A二、填空題6已知函數(shù)f(x)sin(x)(>0)的圖象如圖所示，則_.答案：7如圖所示的是函數(shù)f(x)Asin(x)BA>0，>0，|的圖象的一部分，則f_.答案：38關(guān)于函數(shù)f(x)4sin(xR)的說法如下：yf(x)的解析式可改寫為y4cos；yf(x)是以2為最小正周期的周期函數(shù)；yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱其中，正確的說法的序號(hào)是_答案：三、解答題9函數(shù)f(x)Asin(x)的一段圖象如圖所示(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)的圖象向左至少平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度，才能使得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)？解：(1)A3，5，.由f(x)3sin過，得sin0，又|<，故，f(x)3sin.(2)由f(xm)3sin3sin為偶函數(shù)(m>0)，知k，即mk，kZ.m>0，mmin.故把f(x)的圖象向左至少平移個(gè)單位長(zhǎng)度，才能使得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)10已知函數(shù)y2cos.(1)在該函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸中，求離y軸距離最近的那條對(duì)稱軸的方程；(2)將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求的最小正值解：(1)由2xk，得函數(shù)的對(duì)稱軸方程是x，kZ.所以函數(shù)的圖象離y軸距離最近的那條對(duì)稱軸方程為x.(2)將函數(shù)y2cos的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)圖象的解析式是y2cos.因?yàn)閥2cos的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以2k.所以，kZ.所以的最小正值是.11已知曲線yAsin(x)(A0，0)上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，由此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)，若.(1)試求這條曲線的函數(shù)解析式；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：(1)依題意，A，T44，T4，0，.ysin.曲線上的最高點(diǎn)為，sin1.2k，kZ.，.ysin.(2)令2kx2k，kZ，4kx4k，kZ.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4k，4k(kZ)令2kx2k，kZ，4kx4k，kZ.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為4k，4k(kZ)- 11 -