2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.3.2.1 拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課后提升訓(xùn)練【含解析】新人教A版選修1-1

拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.在拋物線(xiàn)y2=2px上,橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則p的值為()A.12B.1C.2D.4【解析】選C.y2=2px的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-p2,所以p2+4=5,p=2.2.經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=2x的焦點(diǎn)且平行于直線(xiàn)3x-2y+5=0的直線(xiàn)l的方程是()A.6x-4y-3=0B.3x-2y-3=0C.2x+3y-2=0D.2x+3y-1=0【解析】選A.設(shè)直線(xiàn)l的方程為3x-2y+c=0,拋物線(xiàn)y2=2x的焦點(diǎn)F12,0,所以312-20+c=0,所以c=-32,故直線(xiàn)l的方程是6x-4y-3=0.3.(2017衡水高二檢測(cè))若拋物線(xiàn)y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓x26+y22=1的右焦點(diǎn)重合,則p的值為()A.-2B.2C.-4D.4【解析】選D.橢圓x26+y22=1的右焦點(diǎn)為(2,0),所以p2=2,所以p=4.4.已知拋物線(xiàn)C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),|AF|=54x0,則x0=()A.4B.2C.1D.8【解析】選C.如圖,F14,0,過(guò)A作AA準(zhǔn)線(xiàn)l,所以|AF|=|AA|,所以54x0=x0+p2=x0+14,所以x0=1.5.已知拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線(xiàn)y=2x-4與C交于A,B兩點(diǎn),則cosAFB=()A.45B.35C.-35D.-45【解析】選D.由y2=4x,y=2x-4得x2-5x+4=0,所以x=1或x=4.不妨設(shè)A(4,4),B(1,-2),則|FA|=5,|FB|=2,FAFB=(3,4)(0,-2)=-8,所以cosAFB=FAFB|FA|FB|=-852=-45.6.(2017全國(guó)甲卷)過(guò)拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為3的直線(xiàn)交C于點(diǎn)M(M在x軸上方),l為C的準(zhǔn)線(xiàn),點(diǎn)N在l上且MNl,則M到直線(xiàn)NF的距離為()A.5B.22C.23D.33【解析】選C.由題意知,MF:y=3(x-1),與拋物線(xiàn)y2=4x聯(lián)立得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3,所以M(3,23),因?yàn)镸Nl,所以N(-1,23),又F(1,0),所以NF:y=-3(x-1),即3x+y-3=0,所以M到直線(xiàn)NF的距離為|33+23-3|(3)2+12=23.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)M(x0,y0)為拋物線(xiàn)C:x2=8y上一點(diǎn),F為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn),以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相交,則y0的取值范圍是()A.(0,2)B.0,2C.(2,+)D.2,+)【解析】選C.因?yàn)閤2=8y,所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2),準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-2.由拋物線(xiàn)的定義知|FM|=y0+2.以F為圓心、|FM|為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以F為圓心、|FM|為半徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相交,又圓心F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4,故4<y0+2,所以y0>2.7.(2016全國(guó)卷)以?huà)佄锞€(xiàn)C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線(xiàn)于D,E兩點(diǎn).已知|AB|=42,|DE|=25,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為()A.2B.4C.6D.8【解析】選B.以開(kāi)口向右的拋物線(xiàn)為例來(lái)解答,其他開(kāi)口同理可得.設(shè)拋物線(xiàn)為y2=2px(p>0),設(shè)圓的方程為x2+y2=r2,題目條件翻譯如圖:設(shè)A(x0,22),D-p2,5,點(diǎn)A(x0,22)在拋物線(xiàn)y2=2px上,所以8=2px0.點(diǎn)D-p2,5在圓x2+y2=r2上,所以5+-p22=r2.點(diǎn)A(x0,22)在圓x2+y2=r2上,所以x02+8=r2.聯(lián)立解得:p=4,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為p=4.8.(2017天津高二檢測(cè))若拋物線(xiàn)x2=2y上距離點(diǎn)A(0,a)的最近點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),則a的取值范圍是()A.a>0B.0<a1C.a1D.a0【解析】選C.設(shè)拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則|PA|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2-(2a-2)y+a2=y-(a-1)2+(2a-1).因?yàn)閥0,+),根據(jù)題意知,(1)當(dāng)a-10,即a1,y=0時(shí),dmin2=a2.這時(shí)dmin=|a|.(2)當(dāng)a-1>0,即a>1時(shí),y=a-1時(shí)d2取到最小值,不符合題意.綜上可知a1.【易錯(cuò)警示】忽視了y的取值范圍是0,+),只想到當(dāng)點(diǎn)在y軸負(fù)半軸時(shí),d最小,導(dǎo)致錯(cuò)選D,或胡亂猜測(cè)以致錯(cuò)選B.二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2017青島高二檢測(cè))拋物線(xiàn)x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)x23-y23=1相交于A,B兩點(diǎn),若ABF為等邊三角形,則p=_.【解析】由于x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn)為y=-p2,由y=-p2,x2-y2=3,解得準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)x2-y2=3的交點(diǎn)為A-3+14p2,-p2,B3+14p2,-p2,所以AB=23+14p2.由ABF為等邊三角形,得32AB=p,解得p=6.答案:610.(2017長(zhǎng)春高二檢測(cè))已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上射影是M,點(diǎn)A(4,6),則|PA|+|PM|的最小值是_.【解題指南】將P到y(tǒng)軸的距離,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離,當(dāng)A,P,F共線(xiàn)時(shí),|PA|+|PM|最小.【解析】由y2=4x,得p=2,所以焦點(diǎn)F(1,0),如圖,|PM|=|PN|-p2=|PF|-1,所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1|AF|-1=(4-1)2+(6-0)2-1=35-1.答案:35-1三、解答題(每小題10分,共20分)11.(2017吉林高二檢測(cè))已知雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn)分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線(xiàn)的離心率為2,AOB的面積為3,求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題指南】由雙曲線(xiàn)離心率求得其漸近線(xiàn)方程,從而求得交點(diǎn)A,B的坐標(biāo),即可得到三角形面積表達(dá)式,從而得到p的值,進(jìn)而寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】由已知得ca=2,所以a2+b2a2=4,解得ba=3,即漸近線(xiàn)方程為y=3x.而拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-p2,于是A-p2,-3p2,B-p2,3p2,從而AOB的面積為123pp2=3,可得p=2.因?yàn)閽佄锞€(xiàn)開(kāi)口向右,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.12.拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l,點(diǎn)A是拋物線(xiàn)上一點(diǎn),且AFO=120(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),AKl,垂足為K,求AKF的面積.【解析】如圖,設(shè)A(x0,y0),過(guò)A作AHx軸于H,在RtAFH中,|FH|=x0-1,由AFO=120,得AFH=60,故y0=|AH|=3(x0-1).所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,3(x0-1),將此代入拋物線(xiàn)方程可得3x02-10x0+3=0,解得x0=3或x0=13(舍),故SAKF=12(3+1)23=43.【能力挑戰(zhàn)題】已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0),焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l,拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3,且點(diǎn)A到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離為5.(1)求拋物線(xiàn)C的方程.(2)若P為拋物線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn),求線(xiàn)段FP的中點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】(1)由題意得,3+p2=5,所以p=4,所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為y2=8x.(2)由(1)知F(2,0),設(shè)P(x0,y0),M(x,y),則x=x0+22,y=y02,即x0=2x-2,y0=2y,而點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線(xiàn)C上,y02=8x0,所以(2y)2=8(2x-2),即y2=4(x-1),此即為所求點(diǎn)M的軌跡方程.7