2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2.2 拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用課后提升訓(xùn)練【含解析】新人教A版選修1-1

拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q,若過點Q的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是()A.-12,12B.-2,2C.-1,1D.-4,4【解析】選C.拋物線y2=8x的準(zhǔn)線為x=-2,Q(-2,0),設(shè)l:y=k(x+2),聯(lián)立y=k(x+2),y2=8x.得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,當(dāng)k=0時有解,當(dāng)k0時,0,解得-1k<0或0<k1,所以k-1,1.2.拋物線y2=3x關(guān)于直線y=x對稱的拋物線方程為()A.y2=13xB.x2=3yC.x2=13yD.y2=3x【解題指南】利用點(x,y)關(guān)于y=x的對稱點為(y,x)進行求解.【解析】選B.因為點(x,y)關(guān)于y=x的對稱點為(y,x),所以y2=3x關(guān)于y=x對稱的拋物線方程為x2=3y.3.拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是()A.43B.75C.85D.3【解析】選A.設(shè)拋物線y=-x2上一點為(m,-m2),該點到直線4x+3y-8=0的距離為|4m-3m2-8|5,當(dāng)m=23時,取得最小值為43.【一題多解】選A.設(shè)與4x+3y-8=0平行的直線l方程為:4x+3y+m=0,由y=-x2,4x+3y+m=0消去y得,3x2-4x-m=0,由=0得,16+12m=0,解得m=-43.所以l的方程為4x+3y-43=0.因此拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是d=-8-4342+32=43.4.已知正三角形AOB的一個頂點O是坐標(biāo)原點,另外兩個頂點A,B在拋物線y2=2px(p>0)上,且AOB的面積等于43,則拋物線的方程是()A.y2=233xB.y2=833xC.y2=4xD.y2=8x【解析】選A.設(shè)點A(xA,yA)(yA>0),B(xB,yB)(yB<0),由于AOB為正三角形,所以yAxA=33,所以xA=3yA,又SAOB=12(2yA)xA=43,所以xA=23,yA=2,代入方程得y2=233x.5.(2015全國卷)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點,離心率為12,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,點A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點,則AB=()A.3B.6C.9D.12【解析】選B.設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),右焦點為(c,0),依題意得c=2,ca=12,解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以橢圓E的方程為x216+y212=1,因為拋物線C:y2=8x的準(zhǔn)線為x=-2,將x=-2代入到x216+y212=1,解得y=3,可得A(-2,3),B(-2,-3),故AB=6.6.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】選B.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得:y12=2px1,y22=2px2,-得,(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因為y1+y2=4,所以y1-y2x1-x2=2p4=p2=k=1,所以p=2.所以所求拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.7.(2017蘭州高二檢測)斜率為1,過拋物線y=14x2的焦點的直線被拋物線所截得的弦長為()A.8B.6C.4D.10【解析】選A.設(shè)弦的端點為A(x1,y1),B(x2,y2),易知直線方程為y=x+1,直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消元得:14x2-x-1=0,所以x1+x2=4,x1x2=-4,所以弦長l=2(x1+x2)2-4x1x2=8.8.(2017商丘高二檢測)已知拋物線x2=4y上有一條長為6的動弦AB,則AB的中點到x軸的最短距離為()A.34B.32C.1D.2【解析】選D.由題意知,拋物線的準(zhǔn)線l:y=-1,過A作AA1l于A1,過B作BB1l于B1,設(shè)弦AB的中點為M,過M作MM1l于M1,則|MM1|=|AA1|+|BB1|2.|AB|AF|+|BF|(F為拋物線的焦點),即|AF|+|BF|6,|AA1|+|BB1|6,2|MM1|6,|MM1|3,故M到x軸的距離d2.【拓展延伸】“兩看兩想”的應(yīng)用與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).“看到準(zhǔn)線想焦點,看到焦點想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑.【補償訓(xùn)練】已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點,則點P到點(0,2)的距離與點P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A.172B.3C.5D.92【解析】選A.拋物線y2=2x的焦點為F12,0,準(zhǔn)線是l,由拋物線的定義知點P到焦點F的距離等于它到準(zhǔn)線l的距離,因此要求點P到點(0,2)的距離與點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值,可以轉(zhuǎn)化為求點P到點(0,2)的距離與點P到焦點F的距離之和的最小值,不難得出相應(yīng)的最小值就等于焦點F到點(0,2)的距離.因此所求的最小值等于122+(-2)2=172.二、填空題(每小題5分,共10分)9.拋物線y=x2上到直線2x-y=4的距離最短的點坐標(biāo)是.【解析】設(shè)P(x,y)為拋物線y=x2上任一點,則P到直線的距離d=|2x-y-4|5=|x2-2x+4|5=|(x-1)2+3|5,所以x=1時d取最小值355,此時P(1,1).答案:(1,1)10.(2017全國甲卷)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,是C上一點,FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點,則|FN|=.【解析】設(shè)N(0,a),F(2,0),那么M1,a2,點M在拋物線上,所以a24=8,解得a=42,所以N(0,42),那么|FN|=(2-0)2+(042)2=6.答案:6三、解答題(每小題10分,共20分)11.(2017寧波高二檢測)已知拋物線C:y2=4x,F是拋物線C的焦點,過點F的直線l與C相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點.(1)如果l的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程.(2)設(shè)|FA|=2|BF|,求直線l的方程.【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).(1)因為y2=4x,所以F(1,0),又因為直線l的斜率為1,所以直線l的方程為y=x-1,代入y2=4x,得x2-6x+1=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=6,x1x2=1,易得AB的中點,即圓心的坐標(biāo)為(3,2),又|AB|=x1+x2+p=8,所以圓的半徑r=4,所以所求的圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16.(2)因為|FA|=2|BF|,所以FA=2BF,而FA=(x1-1,y1),BF=(1-x2,-y2),所以x1-1=2(1-x2),y1=-2y2,易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x-1),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,因為x1-1=2(1-x2),所以x1=1,x2=1或x1=2,x2=12,所以k=22,所以直線l的方程為y=22(x-1).【補償訓(xùn)練】已知頂點在原點,焦點在x軸的負半軸的拋物線截直線y=x+32所得的弦長|P1P2|=42,求此拋物線的方程.【解析】設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0),把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得y=x+32,y2=-2px,消元得x2+(3+2p)x+94=0,判別式=(3+2p)2-9=4p2+12p>0,解得p>0或p<-3(舍去),設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則中由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-(3+2p),x1x2=94,代入弦長公式得1+1(3+2p)2-9=42,解得p=1或p=-4(舍去),把p=1代入拋物線方程y2=-2px(p>0)中,得y2=-2x.綜上,所求拋物線方程為y2=-2x.12.(2017淮安高二檢測)如圖,已知拋物線y2=4x的焦點為F,過點P(2,0)的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,直線AF,BF分別與拋物線交于點M,N.(1)求y1y2的值.(2)證明直線MN與直線AB的斜率之比為定值.【解析】(1)依題意,設(shè)AB的方程為x=my+2,代入y2=4x,得y2-4my-8=0,從而y1y2=-8.(2)設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),直線MN的斜率為k1,直線AB的斜率為k2,k1k2=y3-y4x3-x4x1-x2y1-y2=y3-y4y324-y424y124-y224y1-y2=y1+y2y3+y4,設(shè)直線AM的方程為x=ny+1,代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,k1k2=y1+y2y3+y4=y1+y2-4y1+-4y2=y1y2-4,由(1)知y1y2=-8,所以k1k2=2為定值.所以直線MN與直線AB的斜率之比為定值2.【能力挑戰(zhàn)題】已知拋物線方程為y2=-2px,其準(zhǔn)線方程為x=14,直線l:y=k(x+1)與拋物線交于A,B兩個不同的點,O為坐標(biāo)原點.(1)求證:OAOB.(2)當(dāng)OAB的面積等于5時,求k的值.【解析】(1)因為拋物線y2=-2px的準(zhǔn)線方程為x=14,所以p2=14,得p=12,即拋物線的方程為y2=-x,聯(lián)立y=k(x+1),消去x后,整理得:ky2+y-k=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系得:y1+y2=-1k,y1y2=-1,因為A,B兩點在拋物線y2=-x上,所以y12=-x1,y22=-x2,y12y22=x1x2,所以kOAkOB=y1x1y2x2=y1y2x1x2=1y1y2=-1,所以O(shè)AOB.(2)設(shè)直線l與x軸交于N,由題意可得k0,令y=0,則x=-1,即N(-1,0),因為SOAB=SOAN+SOBN=12|ON|y1+12|ON|y2=121|y1-y2|=12(y1+y2)2-4y1y2=12-1k2+4=5,所以k=-14或k=14.9