2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù) 第一課時(shí) 三角函數(shù)的定義學(xué)案【含解析】新人教A版必修4

1.2.1任意角的三角函數(shù)第一課時(shí)三角函數(shù)的定義任意角的三角函數(shù)的定義提出問(wèn)題使銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在終邊上任取一點(diǎn)P，PMx軸于M，設(shè)P(x，y)，|OP|r.問(wèn)題1：角的正弦、余弦、正切分別等于什么？提示：sin ，cos ，tan .問(wèn)題2：對(duì)于確定的角，sin ，cos ，tan 是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變？提示：否問(wèn)題3：若|OP|1，則P點(diǎn)的軌跡是什么？這樣表示sin ，cos ，tan 有何優(yōu)點(diǎn)？提示：P點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的單位圓，即P點(diǎn)是單位圓與角終邊的交點(diǎn)，在單位圓中定義sin ，cos ，tan 更簡(jiǎn)便導(dǎo)入新知1任意角三角函數(shù)的定義(1)單位圓：在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓稱為單位圓(2)單位圓中任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做的正弦，記作sin ，即sin y；x叫做的余弦，記作cos ，即cos x；叫做的正切，記作tan ，即tan (x0). 2三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)化解疑難對(duì)三角函數(shù)定義的理解(1)三角函數(shù)是一種函數(shù)，它滿足函數(shù)的定義，可以看成是從角的集合(弧度制)到一個(gè)比值的集合的對(duì)應(yīng)(2)三角函數(shù)是用比值來(lái)定義的，所以三角函數(shù)的定義域是使比值有意義的角的范圍(3)三角函數(shù)是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小與點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，只由角的終邊位置決定，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).三角函數(shù)值的符號(hào)提出問(wèn)題問(wèn)題1：若角是第二象限角，則它的正弦、余弦和正切值的符號(hào)分別怎樣？提示：若角為第二象限角，則x0，y0, sin 0，cos 0，tan 0.問(wèn)題2：當(dāng)角是第四象限角時(shí)，它的正弦、余弦和正切值的符號(hào)分別怎樣？提示：sin 0，cos 0，tan 0.問(wèn)題3：取角分別為30，390，330，它們的三角函數(shù)值是什么關(guān)系？為什么？提示：相等因?yàn)樗鼈兊慕K邊重合問(wèn)題4：取90，90時(shí)，它們的正切值存在嗎？提示：不存在導(dǎo)入新知1三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域sin Rcos Rtan 2三角函數(shù)值的符號(hào)化解疑難巧記三角函數(shù)值的符號(hào)三角函數(shù)值的符號(hào)變化規(guī)律可概括為“一全正、二正弦、三正切、四余弦”即第一象限各三角函數(shù)值均為正，第二象限只有正弦值為正，第三象限只有正切值為正，第四象限只有余弦值為正.誘導(dǎo)公式一提出問(wèn)題問(wèn)題：若角與的終邊相同，根據(jù)三角函數(shù)的定義，你認(rèn)為sin 與sin ，cos 與cos ，tan 與tan 之間有什么關(guān)系？提示：sin sin ，cos cos ，tan tan .導(dǎo)入新知終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值(1)終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等(2)公式：sin(k2)sin_，cos(k2)cos_，tan(k2)tan_，其中kZ.化解疑難誘導(dǎo)公式一的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(1)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是函數(shù)名相同，左邊角為k2，右邊角為.(2)由公式一可知，三角函數(shù)值有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，即角的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)(3)此公式也可以記為：sin(k360)sin ，cos(k360)cos ，tan(k360)tan ，其中kZ.三角函數(shù)的定義及應(yīng)用例1(1)若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，12)，則sin _，cos _，tan _.(2)已知角的終邊落在直線xy0上，求sin ，cos ，tan 的值解(1)(2)直線xy0，即yx，經(jīng)過(guò)第二、四象限，在第二象限取直線上的點(diǎn)(1，)，則r2，所以sin ，cos ，tan ；在第四象限取直線上的點(diǎn)(1，)，則r2，所以sin ，cos ，tan .類題通法利用三角函數(shù)的定義求值的策略(1)已知角的終邊在直線上求的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)值注意到角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況來(lái)處理，取射線上任一點(diǎn)坐標(biāo)(a，b)，則對(duì)應(yīng)角的正弦值sin ，余弦值cos ，正切值tan .(2)當(dāng)角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)的形式給出時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論活學(xué)活用已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4a，3a)(a0)，求2sin cos 的值答案：2sin cos 三角函數(shù)值符號(hào)的運(yùn)用例2(1)若sin tan <0，且<0，則角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角(2)判斷下列各式的符號(hào)：sin 105cos 230；cos 3tan.解(1)C(2)105，230分別為第二、第三象限角，sin 105>0，cos 230<0.于是sin 105cos 230<0.<3<，3是第二象限角，cos 3<0.又是第三象限角，tan>0，cos 3tan<0.類題通法三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律(1)當(dāng)角為第一象限角時(shí)，sin >0，cos >0或sin >0，tan >0或cos >0，tan >0，反之也成立；(2)當(dāng)角為第二象限角時(shí)，sin >0，cos <0或sin >0，tan <0或cos <0，tan <0，反之也成立；(3)當(dāng)角為第三象限角時(shí)，sin <0，cos <0或sin <0，tan >0或cos <0，tan >0，反之也成立；(4)當(dāng)角為第四象限角時(shí)，sin <0，cos >0或sin <0，tan <0或cos >0，tan <0，反之也成立活學(xué)活用已知點(diǎn)P(tan ，cos )在第三象限，則角的終邊在()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限答案：B誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用例3計(jì)算下列各式的值：(1)sin(1 395)cos 1 110cos(1 020)sin 750；(2)sincostan 4.解(1)原式sin(436045)cos(336030)cos(336060)sin(236030)sin 45cos 30cos 60sin 30.(2)原式sincostan(40)sincos0.類題通法誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用策略應(yīng)用誘導(dǎo)公式一時(shí)，先將角轉(zhuǎn)化為02范圍內(nèi)的角，再求值對(duì)于特殊角的三角函數(shù)值一定要熟記活學(xué)活用求下列各式的值：(1)sintan；(2)sin 810cos 360tan 1 125.答案：(1)1(2)11應(yīng)用三角函數(shù)定義求值典例(12分)已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P(3m，m)(m0)，求的正弦、余弦、正切值解題流程規(guī)范解答由題意可得：由|OP|m|.(2分)(1)當(dāng)m>0時(shí)，|OP|m|m，(4分)則sin ，cos ，tan .(7分)(2)當(dāng)m<0時(shí)，|OP|m|m，(9分)則sin ，cos ，tan .(12分)名師批注由于題目條件中只告訴m0，不知道m(xù)的符號(hào)，因此|OP|r(10)|m|.此處極易忽視此點(diǎn)，誤認(rèn)為|OP|r(10)m，從而導(dǎo)致解題不完整而失分.根據(jù)正切函數(shù)的定義tan ，本題中tan 的取值與m的符號(hào)無(wú)關(guān)，即無(wú)論m>0還是m<0，tan 都是. 活學(xué)活用已知角的終邊上一點(diǎn)P(，y)(y0)，且sin y，求cos ，tan 的值解：當(dāng)y時(shí)，cos ，tan ；當(dāng)y時(shí)，cos ，tan .隨堂即時(shí)演練1已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3)，則cos ()A.B.CD答案：D2若三角形的兩內(nèi)角，滿足sin cos <0，則此三角形必為()A銳角三角形 B鈍角三角形C直角三角形 D以上三種情況都可能答案：B3計(jì)算：sin_.答案：4已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4，y)是角終邊上一點(diǎn)，且sin ，則y_.答案：85化簡(jiǎn)下列各式：(1)acos 180bsin 90ctan 0；(2)p2cos 360q2sin 4502pqcos 0；(3)a2sinb2cos absin 2abcos .答案：(1)ab(2)(pq)2(3)a2b2課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則sin 的值為()ABC. D.答案：B2給出下列函數(shù)值：sin(1 000)；cos；tan 2，其中符號(hào)為負(fù)的個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3答案：B3已知60角的終邊上有一點(diǎn)P(4，a)，則a的值為()A. BC4 D4答案：C4設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，則下列各組數(shù)中有意義且均為正值的是()Atan A與cos B Bcos B與sin CCsin C與tan A Dtan與sin C答案：D5已知tan x>0，且sin xcos x>0，那么角x是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案：A二、填空題6是第二象限角，P(x, )是其終邊上一點(diǎn)，且cos x，則x的值為_答案：7計(jì)算：tan 405sin 450cos 750_.答案：8若角的終邊落在直線xy0上，則_.答案：0三、解答題9如果角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1，)，試寫出角的集合A，并求集合A中最大的負(fù)角和絕對(duì)值最小的角解：在0360范圍內(nèi)，tan 且終邊在第一象限內(nèi)，可求得60.A|60k360，kZ所以k1時(shí)，300為最大的負(fù)角；k0時(shí)，60為絕對(duì)值最小的角10已知直線yx與圓x2y21交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的上方，O是坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求以射線OA為終邊的角的正弦值和余弦值；(2)求以射線OB為終邊的角的正切值解：由得或點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，.(1)sin ，cos .(2)tan 1.11已知，且lg(cos )有意義(1)試判斷角所在的象限；(2)若角的終邊上一點(diǎn)是M，且|OM|1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值及sin 的值解：(1)由，可知sin <0，由lg(cos )有意義可知cos >0，所以角是第四象限角(2)|OM|1，2m21，解得m.又是第四象限角，故m<0，從而m.由正弦函數(shù)的定義可知sin .- 10 -