人教版八年級(jí)上《第12章全等三角形》課件

第十二章 全等三角形12.1 全等三角形第十二章全等三角形12.1全等三角形課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)1.已知ABCDEF,A=45,B=65,DF=12cm,則F=,AC=.2.如下圖，ABC是由ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)某一角度得到的，則試寫(xiě)出ABC和ABC中對(duì)應(yīng)相等的邊有 、.707012cm12cmAB=ABBC=BCAC=AC課前預(yù)習(xí)7012cmAB=ABBC=BCAC=3.如下圖所示，ABCCDA，并且AB=CD，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.1=2 B.AC=CA C.D=B D.AC=BC 4.若ABCDEF,且AB=8 cm,BC=6 cm,AC=7 cm，那么DF的長(zhǎng)為（）A.8 cm B.6 cm C.7 cm D.5 cm DC3.如下圖所示，ABCCDA，并且AB=CD，下列結(jié)論課堂精講知識(shí)點(diǎn)1.全等形的概念能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形全等形關(guān)注的是兩個(gè)圖形的形狀和大小，而不是圖形所在的位置看兩個(gè)圖形是否為全等形，只要把它們疊合在一起，看是否能夠完全重合即可.【例1】下列四個(gè)圖形中，全等的圖形是（）A和 B和 C和 D和解析解析:根據(jù)全等形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形可得答案和可以完全重合，因此全等的圖形是和答案：答案：D課堂精講變式拓展1.下面是5個(gè)全等的正六邊形 A、B、C、D、E，請(qǐng)你仔細(xì)觀察 A、B、C、D四個(gè)圖案，其中與 E圖案完全相同的是.C變式拓展C知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)2 全等三角形的概念和表示方法全等三角形的概念和表示方法(1)能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形(2)全等三角形是特殊的全等形，全等三角形關(guān)注的是兩個(gè)三角形的形狀和大小是否完全一樣，疊合在一起是否重合，與它們的位置沒(méi)有關(guān)系把兩個(gè)全等的三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角（3)“全等”用表示，讀作“全等于”，記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上.知識(shí)點(diǎn)2全等三角形的概念和表示方法【例2】如右圖.已知ABCADE，寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.解析：找對(duì)應(yīng)元素，有一簡(jiǎn)便方法：先結(jié)合圖形判斷已知條件中的“ABCADE”是否按照對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母順序?qū)懙模绻_認(rèn)順序正確，則可以按照以下順序：寫(xiě)出它們的對(duì)應(yīng)邊：AB與AD、BC和DE、AC與AE，類似地，可以寫(xiě)出它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角.答案：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)有A與A、B、與D、C與E；對(duì)應(yīng)邊有AB與AD、BC與DE、AC與AE；對(duì)應(yīng)角有ABC與ADE、ACB與AED、BAC與DAE.【例2】如右圖.已知ABCADE，寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)頂變式拓展2.如下圖所示，ABCBAD，且AC=BD.寫(xiě)出這兩個(gè)三角形的其他對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.解：其他的對(duì)應(yīng)邊有AB=BA,BC=AD;其他的對(duì)應(yīng)角有CAB=DBA,ABC=BAD,C=D.變式拓展解：其他的對(duì)應(yīng)邊有AB=BA,BC=AD;其他的對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)3 全等三角形的性質(zhì)全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.（2）運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)可以證明兩條線段相等、兩個(gè)角相等在運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)時(shí)，關(guān)鍵是要結(jié)合圖形或根據(jù)表達(dá)式中字母的對(duì)應(yīng)位置，準(zhǔn)確地找到對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角，牢牢抓住“對(duì)應(yīng)”二字.知識(shí)點(diǎn)3全等三角形的性質(zhì)【例3】如下圖，EFGNMH，在EFG中，F(xiàn)G是最長(zhǎng)邊，在NMH中，MH是最長(zhǎng)邊，F(xiàn)和M是對(duì)應(yīng)角,EF=2.1cm,EH=1.1cm，HN=3.3cm.(1)寫(xiě)出其他對(duì)應(yīng)邊及對(duì)應(yīng)角；(2)求線段NM及線段HG的長(zhǎng)度.解析：(1)根據(jù)EFGNMH的對(duì)應(yīng)關(guān)系寫(xiě)出其他對(duì)應(yīng)邊及對(duì)應(yīng)角；(2)因?yàn)榫€段NM和線段EF是對(duì)應(yīng)邊.所以NM=EF=2.1cm，要求線段HG，可先求線段EG的長(zhǎng)，而GE=HN=3.3cm.解：(1)EFGNMH,最長(zhǎng)邊FG和MH是對(duì)應(yīng)邊，其他對(duì)應(yīng)邊是EF和NM、EG和NH；對(duì)應(yīng)角是E和N、EGF和NHM.(2)由(1)知NM=EF=2.1cm,GE=HN=3.3cm,HG=GE-EH=3.3-1.1=2.2(cm).【例3】如下圖，EFGNMH，在EFG中，F(xiàn)G是最變式拓展3.如下圖，ABC沿直線BC向右平移線段BC長(zhǎng)的距離后與ECD重合，則ABC ，相等的邊有 、，相等的角有、.ECDAB=ECBC=CDAC=EDABC=ECDACB=EDCA=E變式拓展ECDAB=ECBC=CDAC=EDABC=E隨堂檢測(cè)1.下列圖形是全等形的是()2.已知ABCDEF，A與D，B與E，C與F分別為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，若AB=7cm，BC=5cm，AC=8cm，則EF=（）A5cmB6cmC7cmD8cmDA隨堂檢測(cè)DA3.如圖，ACBDCE，BCE=30，則ACD的度數(shù)為（）A20 B30 C35 D40B3.如圖，ACBDCE，BCE=30，則ACD的4如圖，ABC與BAD全等，可表示為，C與D是對(duì)應(yīng)角，AC與BD是對(duì)應(yīng)邊，其余的對(duì)應(yīng)角是，其余的對(duì)應(yīng)邊是.5.如圖：ABEACD，AB=10cm，A=60，B=30，則AD=cm，ADC=ABCBADCBA和DAB、CAB和DBAAB和BA、CB和DA5904如圖，ABC與BAD全等，可表示為12.2 三角形全等的判定12.2.1 三角形全等的判定SSS12.2三角形全等的判定課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)1.已知ABC與DEF,AB=DE,AC=DF,BC=EF,那么這兩個(gè)三角形的關(guān)系為ABC DEF.2.如右圖，已知AB=CD,AD=CB,則ABCCDA的根據(jù)是 .SSSSSS課前預(yù)習(xí)SSS3.在下圖中，若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，若判定ABDACD需添加條件 （邊），理由是 .AB=ACSSS3.在下圖中，若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，若判定ABDACD4.如下圖，在ABC中，AB=AC，BE=CE，則由“SSS”可以判定（）A.ABDACD B.BDECDE C.ABEACE D.以上都不對(duì) C4.如下圖，在ABC中，AB=AC，BE=CE，則由“課堂精講知識(shí)點(diǎn) 三角形全等的條件邊邊邊（SSS）及其應(yīng)用(1)判定：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”.運(yùn)用此法證兩個(gè)三角形全等，應(yīng)設(shè)法確定這兩個(gè)三角形的三條邊分別相等同時(shí)這個(gè)判定也告訴我們：當(dāng)三角形的三邊確定后，其形狀、大小也隨之確定書(shū)寫(xiě)格式：在列舉兩個(gè)三角形全等的條件時(shí)，應(yīng)把三個(gè)條件按順序排列（一般是把同一個(gè)三角形的三個(gè)條件放在等號(hào)的同一側(cè)），并用大括號(hào)將其括起來(lái)：有些題目可以直接從已知中找出全等的條件，而有些題目的已知條件是隱含在題設(shè)或圖形之中的，如公共邊、公共角、對(duì)頂角等，解題時(shí)一定要認(rèn)真讀圖，準(zhǔn)確地把握題意，找準(zhǔn)所需條件（2）“SSS”的應(yīng)用：證明兩個(gè)三角形中的角相等或線平行等，常通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等來(lái)解決.課堂精講課堂精講【例例1】如圖，在ABC和EFD中，AB=EF，AC=ED，點(diǎn)B，D，C，F(xiàn)在一條直線上（1）請(qǐng)你添加一個(gè)條件，由“SSS”可判定ABCEFD（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求證：ABEF解析：解析：（1）根據(jù)條件可以得出由“SSS”可判定ABCEFD，就需要三組對(duì)邊分別相等，而條件告訴了兩組，只需要FD=BC或FC=BD就可以得出結(jié)論；（2）由ABCEFD就可以得出B=F，進(jìn)而得出ABEF課堂精講解：解：（1）當(dāng)FC=BD時(shí)，ABCEFD，理由：FC=BD，F(xiàn)C+CD=BD+CD，即BC=DF在ABC和EFD中，ABCEFD（SSS）（2）ABCEFD，B=F，ABEF解：（1）當(dāng)FC=BD時(shí)，ABCEFD，【例2】如右圖，ABC是一個(gè)風(fēng)箏架，AB=AC，AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架.求證：ADBC.解析：要證ADBC，根據(jù)垂直定義，需證1=2,而1=2可由ABDACD求得，證明：D是BC的中點(diǎn)，BD=CD.在ABD和ACD中，AB=AC，BD=CD，AD=AD，ABDACD(SSS).1=2（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.1+2=180(平角的定義)，1=2=90.ADBC（垂直的定義）.【例2】如右圖，ABC是一個(gè)風(fēng)箏架，AB=AC，AD課堂精講知識(shí)點(diǎn) 三角形全等的條件邊邊邊（SSS）及其應(yīng)用變式拓展1.如下圖，AB=CD，若添加條件，則可根據(jù)“邊邊邊”公理證得ABCCDA.BC=ADBC=AD課堂精講BC=AD2.如下圖，四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC.求證：A=C.證明：在ABD和CDB中，AB=CD，AD=CB，BD=DB，ABDCDB(SSS),A=C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.2.如下圖，四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC.求證隨堂檢測(cè)1如圖，在ACE和BDF中，AE=BF，CE=DF，要利用“SSS”證明時(shí)，需增加的一個(gè)條件可以是()A.AB=BCB.DC=BCC.AB=CDD.AC=BCB隨堂檢測(cè)B2.如圖，已知AB=DC，若要用“SSS”判定ABCDCB，應(yīng)添加條件是3如圖，AE=DF，CE=BF，AB=CD，得=，從而根據(jù)，得ACEDBF.AC=DBACBDSSS2.如圖，已知AB=DC，若要用“SSS”判定ABCD4已知，如圖，AB=CD，AC=BD，則ABC ，ABC .DCBDAB4已知，如圖，AB=CD，AC=BD，則ABC5.如圖，AB=DF，AC=DE，BE=FC，問(wèn)：ABC與DFE全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由解：ABC與DFE全等理由如下：BE=FC（已知），BE+EC=FC+EC，即BC=FE在ABC和DFE中，ABCDFE（SSS）5.如圖，AB=DF，AC=DE，BE=FC，問(wèn)：ABC與12.2.2 三角形全等的判定SAS12.2.2三角形全等的判定SAS課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)1.兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，用字母表示簡(jiǎn)寫(xiě)成 .2.如右圖，只要 ，則ABCADC.()A.AB=AD,B=DB.AB=AD,ACB=ACDC.BC=DC,BAC=DACD.AB=AD,BAC=DACSASSASD D課前預(yù)習(xí)SASD3.如下圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，AO=CO，只需添加一個(gè)條件.就可用三角形全等的條件“邊角邊”證明AODCOB.DO=BODO=BO3.如下圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，AO=CO，只需添加一個(gè)課堂精講知識(shí)點(diǎn) 三角形全等的條件“邊角邊”（SAS）及其應(yīng)用（1）判定：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”.此方法包含“邊”和“角”兩種元素，必須是兩邊夾一角才行，而不是兩邊及一邊對(duì)角分別相等，一定要注意元素的“對(duì)應(yīng)”關(guān)系.書(shū)寫(xiě)格式：課堂精講此方法是證明兩個(gè)三角形全等最常用的方法之一，易和“邊邊角”(“SSA”)相混淆，誤將“SAS”的條件寫(xiě)成“SSA”來(lái)證明兩個(gè)三角形全等在應(yīng)用時(shí)，一定要按“邊一角一邊”的順序排列條件，不能出現(xiàn)“邊一邊一角”的錯(cuò)誤，因?yàn)椤斑呥吔恰辈荒鼙ＷC兩個(gè)三角形全等.如圖所示，在ABC和ABD中，AB=AB，AC=AD，B=B，但ABC與ABD不全等（2）“SAS”的應(yīng)用：證明分別屬于兩個(gè)三角形中的角相等或線段相等等問(wèn)題，常用到證明兩個(gè)三角形全等來(lái)解決.此方法是證明兩個(gè)三角形全等最常用的方法之一，【例例1】在ABC和DEF中，下列給出的條件，能用“SAS”判定這兩個(gè)三角形全等的是（）AAB=DE，BC=DF，A=DBAB=EF，AC=DF，A=DCAB=BC，DE=EF，B=EDBC=EF，AC=DF，C=F解析：解析：根據(jù)選項(xiàng)中所給的條件結(jié)合SAS定理分別進(jìn)行分析，可選出答案只有BC=EF，AC=DF，C=F可以利用SAS證明ABC和DEF全等.答案：答案：D【例1】在ABC和DEF中，下列給出的條件，能用“SAS【例2】已知，如下圖，AB=AC，AD=AE.求證：B=C.解析：利用 SAS證明兩個(gè)三角形全等，A是公共角.證明：在ABE和ACD中，AB=AC，A=A，AE=AD.ABEACD(SAS).B=C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.【例2】已知，如下圖，AB=AC，AD=AE.變式拓展1.如下圖，在ABC和DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根據(jù)“SAS”判定ABCDEF，還需的條件是（）A.A=D B.B=E C.C=F D.以上三個(gè)均可以 B B變式拓展B2.如下圖，AE=AC，AB=AD，EAB=CAD.求證：B=D.證明：EAB=CAD,EAB+BAD=CAD+BAD,即EAD=CAB.在ABC和ADE中，AB=AD（已知），CAB=EAD（已證），AC=AE（已知），ABCADE（SAS）B=D（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.2.如下圖，AE=AC，AB=AD，EAB=CAD.求隨堂檢測(cè)1在ADF和BCE中，若AD=BC，A=B，能直接利用“SAS”證明ADFBCE的條件是()A.AE=BFB.DF=CEC.AF=BED.CEB=DFA2如圖，AB=AD，AC=AE，BAC=DAE，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.B=DB.C=EC.BC=DED.BC=AECD隨堂檢測(cè)CD3如圖，在ABC和DEF中，ABDE可以推出=，加上條件AB=DE和，可得到ABCDEF,根據(jù)是.BDEFBC=EFSAS3如圖，在ABC和DEF中，ABDE可以推出BDEF4如圖，CD=CA，1=2，EC=BC，求證：DE=AB證明：1=2，2+ECA=1+ECA,即ECD=BCA在ECD和BCA中，ECDBCA（SAS）DE=AB.4如圖，CD=CA，1=2，EC=BC，求證：DE=5.已知：如圖，AE=CF，ADBC，AD=CB問(wèn)：ADF與CBE全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由證明：全等.ADBC，A=C.在ADF和CBE中，ADFCBE5.已知：如圖，AE=CF，ADBC，AD=CB問(wèn)：A12.2.3 三角形全等的判定ASA或AAS12.2.3三角形全等的判定ASA或AAS課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)1.已知AB=AB，A=A，B=B，則ABCABC的根據(jù)是（）A.SASB.SSAC.ASAD.AAS2.根據(jù)下列已知條件，能判定ABCABC的是（）A.AB=AB，AC=AC，C=CB.A=A，B=C，AB=ABC.ABC的周長(zhǎng)等于ABC的周長(zhǎng)D.A=A，C=C，AC=ACC CD D課前預(yù)習(xí)CD3.3.下圖中兩個(gè)三角形全等的理由是下圖中兩個(gè)三角形全等的理由是 .4.4.如下圖，已知如下圖，已知ABABCDCD，ABC=ABC=CDACDA，則由，則由“AASAAS”直接判定直接判定 .AASAASABCABCCDACDA3.下圖中兩個(gè)三角形全等的理由是.A課堂精講知識(shí)點(diǎn)1.三角形全等的條件“角邊角”（ASA）及 其應(yīng)用（1）判定：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”.（2）用“ASA”來(lái)判定兩個(gè)三角形全等，一定要證明這兩個(gè)三角形有兩個(gè)角以及這兩個(gè)角的夾邊分別相等，證明時(shí)要加強(qiáng)對(duì)夾邊的認(rèn)識(shí)（3）書(shū)寫(xiě)格式：如圖所示，在ABC和ABC中，課堂精講注意：在書(shū)寫(xiě)兩個(gè)三角形全等的條件時(shí)，一般把夾邊相等寫(xiě)在中間，以突出邊角的位置關(guān)系（4）“ASA”的應(yīng)用：在證明兩個(gè)三角形中的角相等或線段相等常通過(guò)三角形全等來(lái)解決.注意：在書(shū)寫(xiě)兩個(gè)三角形全等的條件時(shí)，一般把夾邊【例1】如圖，點(diǎn)A、D、C、E在同一條直線上，ABEF，AB=EF，B=F，AE=10，AC=7，則CD的長(zhǎng)為（）A5.5 B4 C4.5 D3解析：解析：先證明ABCEFD，得出AC=ED=7，再求出AD=AEED=3，即可得出CD=ACAD=4.解：ABEF，A=E，【例1】如圖，點(diǎn)A、D、C、E在同一條直線上，在ABC和EFD中，ABCEFD（ASA），AC=ED=7，AD=AEED=107=3，CD=ACAD=73=4答案：答案：B在ABC和EFD中，變式拓展1.如下圖，O是AB的中點(diǎn)，A=B，AOC與BOD全等嗎？為什么？解：全等.在AOC與BOD中，A=B（已知）,OA=OB（線段中點(diǎn)的定義）,AOC=BOD（對(duì)頂角相等）,AOCBOD（ASA）.變式拓展解：全等.課堂精講知識(shí)點(diǎn)2.三角形全等的條件“角角邊”（AAS）及 其應(yīng)用（1）判定：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”.這一結(jié)論很容易由“ASA”推得，將這一結(jié)論與“ASA”結(jié)合起來(lái)，即可得出：兩個(gè)三角形如果具備兩角和一條邊對(duì)應(yīng)相等，就可判定其全等書(shū)寫(xiě)格式：如圖所示，在ABC和ABC中，課堂精講注意：注意：(1)“有兩角和一邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”這句話正確嗎？不一定正確，這是因?yàn)椋杭僭O(shè)這條邊是兩角的夾邊，則根據(jù)角邊角可知正確；假設(shè)一個(gè)三角形的一邊是兩角的夾邊，而與另一個(gè)三角形相等的邊是其中一等角的對(duì)邊，則兩個(gè)三角形不一定全等(2)有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，如圖所示，DE/BC，則ADE=B，AED=C，A=A，但ADE和ABC不全等（2）“AAS”的應(yīng)用：證明角相等或線段相等可用三角形全等來(lái)解決問(wèn)題.注意：(1)“有兩角和一邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”【例2】已知：如下圖，ABCABC，AD、AD分別是ABC和ABC的高.求證：AD=AD.解析：已知ABCABC，相當(dāng)于已知它們的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，在證明過(guò)程中，可根據(jù)需要，選取其中的一部分相等關(guān)系.【例2】已知：如下圖，ABCABC，AD、A證明：ABCABC,AB=AB,B=B（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等）.AD、AD分別是ABC、ABC的高（已知），ADB=ADB=90.在ABD和ABD中，B=B,ADB=ADB,AB=AB,ABDABD(AAS).AD=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.證明：ABCABC,變式拓展2.如圖所示，AD為ABC的中線，且CFAD于點(diǎn)F，BEAD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E求證：BE=CF.證明：AD為ABC的中線，BD=CD.BEAD,CFAD,BED=CFD=90BEDCFD(AAS)BE=CF.變式拓展證明：AD為ABC的中線，隨堂檢測(cè)1下列判斷中錯(cuò)誤的是（）A有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等B隨堂檢測(cè)B2.如圖，要量湖兩岸相對(duì)兩點(diǎn)A、B的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使CD=BC，再作出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上，這時(shí)可得ABCEDC，用于判定全等的是（）ASSS BSAS CASA DAASC2.如圖，要量湖兩岸相對(duì)兩點(diǎn)A、B的距離，可以在AB的垂線B3已知，如圖，B=DEF,AB=DE,ABCDEF.(1)若以ACB=DFE得出ABCDEF，依據(jù)是 ；(2)若以BC=EF得出ABCDEF，依據(jù)是 ；(3)若以A=D得出ABCDEF，依據(jù)是 .AASSASASA3已知，如圖，B=DEF,AB=DE,ABCDE4.如圖，ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，且CEAB，求證：ABDECD.證明：CEAB，B=ECD，D為BC中點(diǎn)，BD=DC，在ADB和EDC中，ABDECD（ASA）4.如圖，ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，且C5.如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=90，過(guò)點(diǎn)A作任一直線AN，BDAN于D，CEAN于E，證明：DE=BD-CE.證明：BDAN,CEAN,BDA=AEC=90，BAD+EAC=90，EAC+ACE=90，BAD=ACE.在ABD和CAE中，BD=AE,AD=CE.DE=AE-AD=BD-CE.5.如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=90，過(guò)點(diǎn)A12.2.4 三角形全等的判定HL12.2.4三角形全等的判定HL課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)1.如下圖，點(diǎn)P是BAC內(nèi)一點(diǎn)，且P到AB、AC的距離PE=PF，則PEAPFA的理由（）A.HL B.AAS C.SSS D.ASAA A課前預(yù)習(xí)A2.如右圖，ABC與EDF中B=D=90,A=E,B、F、C、D在同一直線上，再添上下列條件，不能判斷ABCEDF的是（）A.AB=EDB.AC=EF C.ACEFD.BC=DF C C2.如右圖，ABC與EDF中B=D=90,A=3.如下圖，AEBD于點(diǎn)C，AB=ED，AC=EC，求證：ABCEDC.證明：AEBD,ACB和ECD是直角.在RtABC和RtEDC中，AB=ED，AC=EC，RtABCRtEDC.3.如下圖，AEBD于點(diǎn)C，AB=ED，AC=EC，求證課堂精講知識(shí)點(diǎn) 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”（1）“HL”定理是直角三角形所獨(dú)有的，對(duì)于一般三角形不成立（2）書(shū)寫(xiě)格式：如下圖所示，在和 中，課堂精講（3）判定一般三角形全等的所有方法對(duì)判定兩個(gè)直角三角形全等全部適用，至此我們可以根據(jù)SSS，SAS，ASA，AAS和HL五種方法去判定兩個(gè)直角三角形全等，在用一般方法證明時(shí)，因?yàn)閮蓚€(gè)直角三角形中已具備一對(duì)直角相等的條件，故只需找另外麗個(gè)條件即可，在實(shí)際證明中可根據(jù)條件靈活選用不同的方法（3）判定一般三角形全等的所有方法對(duì)判定兩個(gè)直【例1】如下圖，已知AB=AC，AE=AF，AEEC，AFBF，垂足分別是點(diǎn)E、F.求證：1=2.解析：由 HL可證 RtAEC RtAFB.得BAF=CAE，都減去BAC，從而1=2.證明：AEEC，AFBF，AEC、AFB為直角三角形.AE=AF，AB=AC（已知）.RtAEC RtAFB(HL).EAC=FAB.EAC-BAC=FAB-BAC，即1=2.【例1】如下圖，已知AB=AC，AE=AF，AEEC，【例2】如下圖所示，有兩個(gè)長(zhǎng)度相等的滑梯（即BC=EF)，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯的水平方向的長(zhǎng)度DF相等，則ABC+DFE=.解析：由 HL可得兩個(gè)直角三角形全等，把要求的兩角之和轉(zhuǎn)化為一個(gè)直角三角形的兩銳角之和.解：由現(xiàn)實(shí)意義及圖形提示可知CABF，EDBF，即BAC=EDF=90.又因?yàn)锽C=EF，AC=DF，可知 RtABC RtDEF，得DFE=ACB.因?yàn)锳CB+ABC=90,故ABC+DFE=90.答案：90【例2】如下圖所示，有兩個(gè)長(zhǎng)度相等的滑梯（即變式拓展1.如下圖，已知AC=BD,C=D=90,求證：RtABCRtBAD.證明：C=D=90,ABC與BAD都是直角三角形.在RtABC與RtBAD中，AB=BA,AC=BD,RtABCRtBAD(HL).變式拓展證明：C=D=90,2.如右圖，有一正方形窗架，蓋房時(shí)為了穩(wěn)定，在上面釘了兩個(gè)等長(zhǎng)的木條GF與GE，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，可證得 RtAGE,理由是，于是G是的中點(diǎn).RtBGFHLAB2.如右圖，有一正方形窗架，蓋房時(shí)為了穩(wěn)定，在上面釘了兩個(gè)隨堂檢測(cè)1下列條件中，能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是()A兩直角邊對(duì)應(yīng)相等B.一銳角對(duì)應(yīng)相等C兩銳角對(duì)應(yīng)相等D斜邊相等2已知，如圖，A=D=90，BE=CF,AC=DE，則ABC.ADFE隨堂檢測(cè)ADFE3.如圖，已知A=D=90，E、F在線段BC上，DE與AF交于點(diǎn)O，且AB=CD，BE=CF求證：RtABFRtDCE證明：BE=CF，BE+EF=CF+EF，即BF=CE，A=D=90，ABF與DCE都為直角三角形，在RtABF和RtDCE中，RtABFRtDCE（HL）3.如圖，已知A=D=90，E、F在線段BC上，DE與4.如圖，在ABC中，AC=BC，直線l經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE，BF，E，F(xiàn)為垂足AE=CF，求證：ACB=90證明：如圖，在RtACE和RtCBF中，RtACERtCBF（HL），EAC=BCF，EAC+ACE=90，ACE+BCF=90，ACB=18090=904.如圖，在ABC中，AC=BC，直線l經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，三角形全等復(fù)習(xí)課三角形全等復(fù)習(xí)課課堂精講知識(shí)點(diǎn).判定兩個(gè)三角形全等常用的思路和方法課堂精講【例1】如圖，已知1=2，則不一定能使ABDACD的條件是（）ABD=CD BAB=AC CB=CDBAD=CAD解析：解析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可得出答案A.1=2，AD為公共邊，若BD=CD，則ABDACD（SAS）；B.1=2，AD為公共邊，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定ABDACD；C.1=2，AD為公共邊，若B=C，則ABDACD（AAS）；D.1=2，AD為公共邊，若BAD=CAD，則ABDACD（ASA）.答案：答案：B【例1】如圖，已知1=2，則不一定能使人教版八年級(jí)上第12章全等三角形課件【例3】在四邊形ABCD中，ABC=ADC=90，BEAC于E，DFAC于F，CF=AE，BC=DA求證：RtABERtCDF解析：解析：根據(jù)全等三角形的判定定理HL證得RtADCRtCBA，在該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等：DC=BA，然后再由HL來(lái)證得RtABERtCDF證明：證明：如圖，在RtADC與RtCBA中，【例3】在四邊形ABCD中，ABC=ADC=90，BERtADCRtCBA（HL），DC=BA又BEAC于E，DFAC于F，AEB=CFD=90，在RtABE與RtCDF中，RtABERtCDF（HL）RtADCRtCBA（HL），變式拓展1.如圖，已知ADBC，若用HL判定ABDACD，只需添加的一個(gè)條件是AB=AC變式拓展AB=AC2.（2015南寧模擬）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)O，AB=CD，（1）請(qǐng)你添加一個(gè)條件使得AOBCOD（2）證明你的結(jié)論解：（1）添加條件：A=C；（2）證明：在AOB和COD中，AOBCOD（AAS）2.（2015南寧模擬）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)O，AB=C3.（2015晉江市一模）如圖，ABCD，AB=CD，點(diǎn)E、F在AD上，且AE=DF求證：ABEDCF證明：ABCD，A=D，在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS）3.（2015晉江市一模）如圖，ABCD，AB=CD，點(diǎn)E隨堂檢測(cè)1.如圖，在下列條件中，不能證明ABDACD的條件是（）AB=C，BD=DCBADB=ADC，BD=DCCB=C，BAD=CADDBD=DC，AB=ACA A隨堂檢測(cè)A2.如圖，BDAC，CEAB，垂足分別為D，E，BE=CD，則，理由是BECCDBCDBHLHL2.如圖，BDAC，CEAB，垂足分別為D，E，BE=C3.已知：如圖，點(diǎn)E、C、D、A在同一條直線上，ABDF，ED=AB，E=CPD求證：ABCDEF證明：ABDF，B=CPD，A=FDE，E=CPDE=B，在ABC和DEF中，ABCDEF（ASA）3.已知：如圖，點(diǎn)E、C、D、A在同一條直線上，ABDF，4.如圖，A、B、C、D四點(diǎn)在同一條直線上，AB=CD，EC=DF，ECDF求證：ACEBDF證明：AB=CD，AB+BC=CD+BC，即AC=BD又ECDF，ACE=BDF在ACE與BDF中，ACEBDF（SAS）4.如圖，A、B、C、D四點(diǎn)在同一條直線上，AB=CD，EC5.如圖所示，已知AC=BD，CAB=DBA求證：（1）CABDBA；（2）CAODBO證明：（1）在CAB和DBA中，CABDBA（SAS）；（2）由（1）可知CABDBA，C=D，在CAO和DBO中，CAODBO（AAS）5.如圖所示，已知AC=BD，CAB=DBA求證：證12.3 角的平分線的性質(zhì)12.3角的平分線的性質(zhì)課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)1.在用尺規(guī)作圖得一個(gè)角的平分線時(shí)，是用下列哪種方法證明三角形全等的（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS2.如下圖，AD平分BAC，點(diǎn)P在AD上，若PEAB,PFAC，則PE=.D DPFPF課前預(yù)習(xí)DPF3.如下圖,已知AD是BAC的角平分線，DEAB于E，且DE=3cm，則點(diǎn)D到AC的距離是（）A.2cmB.3cmC.4cmD.6cmB B3.如下圖,已知AD是BAC的角平分線，DEAB于E，4.如下圖，PDAB，PEAC,且PD=PE，連接AP,則BAPCAP.=4.如下圖，PDAB，PEAC,且PD=PE，連接AP,課堂精講知識(shí)點(diǎn)1.畫(huà)角的平分線的方法作已知角的平分線的方法有很多，主要有折疊法和尺規(guī)作圖法，尺規(guī)作圖法是常用的方法尺規(guī)作圖法的步驟歸納如下：（1）以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑畫(huà)孤，交OB于B.（2）分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，以AB，BA為半徑作孤，兩孤相交于點(diǎn)D.（3）則射線OD為所求.課堂精講【例1】利用尺規(guī)平分如下圖的鈍角AOB，并寫(xiě)出作圖步驟.解：作法:(1)以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于D，交OB于E.(2)分別以D、E為圓心，大于 DE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)C.(3)射線OC即為所求（如下圖）.D【例1】利用尺規(guī)平分如下圖的鈍角AOB，并寫(xiě)出D變式拓展1.如下圖，先作的鄰補(bǔ)角，再畫(huà)該鄰補(bǔ)角的平分線.變式拓展知識(shí)點(diǎn)2.角的平分線的性質(zhì)（1）內(nèi)容：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等（2）書(shū)寫(xiě)格式：如圖所示，OM是AOB的平分線，C是OM上一點(diǎn)，CEOA于點(diǎn)E，CFOB于點(diǎn)F，CE=CF.知識(shí)點(diǎn)2.角的平分線的性質(zhì)（3）運(yùn)用角平分線的性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意以下3個(gè)問(wèn)題：這里的距離指的是點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再用全等三角形；使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線、有垂直（3）運(yùn)用角平分線的性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意以下3個(gè)問(wèn)題：變式拓展2.如圖，在RtABC中，B=90，若BC=10，AD平分BAC，交BC于點(diǎn)D，且BD:CD=2:3，則D點(diǎn)到線段AC的距離為（）A.4B.6C.8D.10D D變式拓展D知識(shí)點(diǎn)3.角平分線的判定（1）判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.（2）書(shū)寫(xiě)格式：如圖所示，PEOA于點(diǎn)E，PFOB于點(diǎn)F，且PE=PF，點(diǎn)P在AOB的平分線上知識(shí)點(diǎn)3.角平分線的判定【例3】如下圖，已知BM、CN是ABC的兩條角平分線，且相交于點(diǎn)P.求證：P點(diǎn)也在BAC的平分線上.解析：要證P點(diǎn)在BAC的平分線上，即證P點(diǎn)到AB、AC距離相等.從已知可知：P在BM上，P到AB、BC兩邊的距離相等，P又在CN上，P到AC、BC兩邊的距離相等，從而由等量代換可得證.【例3】如下圖，已知BM、CN是ABC的兩條角平分 證明：過(guò)點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足分別為D、E、F.BM是ABC的平分線，點(diǎn)P在BM上，PDAB，PEBC，PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等），同理PE=PF，PD=PF.P點(diǎn)在BAC的平分線上（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）.證明：過(guò)點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA變式拓展3.已知，如下圖，PDOA，PEOB，垂足分別為D，E，且PD=PE，試證明點(diǎn)P在AOB的平分線上.證明：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作射線OC.PDOA,PEOB,PDO=PEO.在RtPDO和RtPEO中，OP=OP，PD=PE，RtPDORtPEO(HL),AOC=BOC,OC是AOB的平分線，即P點(diǎn)在AOB的平分線上.變式拓展證明：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作射線OC.隨堂檢測(cè)1到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（）A三條中線的交點(diǎn) B三條高的交點(diǎn) C三條角平分線的交點(diǎn) D不能確定2.（2015蘿崗區(qū)一模）如圖，在RtABC中，A=90，BD平分ABC，交AC于點(diǎn)D，若AB=4，且點(diǎn)D到BC的距離為3，則BD=C C5 5隨堂檢測(cè)C53.已知：在RtABC中，C=90請(qǐng)?jiān)诰€段BC上作一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到邊AC、AB的距離相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）3.已知：在RtABC中，C=904.如圖，點(diǎn)P為ABC和MAC的平分線的交點(diǎn)求證：點(diǎn)P在ACN的平分線上證明：過(guò)P作PEBM于E，PFAC于F，PGBN于G，P為ABC和MAC的平分線的交點(diǎn)，PE=PF，PE=PG，PF=PG，點(diǎn)P在ACN的平分線上4.如圖，點(diǎn)P為ABC和MAC的平分線的交點(diǎn)求證：點(diǎn)P5.如圖，在ABC中，ABC=90，AB=8cm，BC=6cm，點(diǎn)I在ABC和ACB的平分線上IDBC于點(diǎn)D，求ID的長(zhǎng)解：ABC=90，AB=8cm，BC=6cm，AC=10cm，點(diǎn)I在ABC和ACB的平分線上，點(diǎn)I到ABC三邊的距離相等，設(shè)為hcm，則SABC=（6+8+10）h=68，解得h=2，即ID的長(zhǎng)為2cm5.如圖，在ABC中，ABC=90，AB=8cm，BC