高等數(shù)學(xué) 洛必達(dá)法則

高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限 轉(zhuǎn)化(或 型)本節(jié)研究本節(jié)研究:洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則洛必達(dá) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、存在(或?yàn)?)定理定理 1.型未定式型未定式(洛必達(dá)法則)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(在 x,a 之間)證證:無妨假設(shè)在指出的鄰域內(nèi)任取則在以 x,a 為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯故定理?xiàng)l件定理?xiàng)l件:西定理?xiàng)l件,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 存在(或?yàn)?)推論推論1.定理 1 中換為之一,推論推論 2.若理1條件,則條件 2)作相應(yīng)的修改,定理 1 仍然成立.洛必達(dá)法則定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.求解解:原式注意注意:不是未定式不能用洛必達(dá)法則!機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.求解解:原式 思考思考:如何求(n 為正整數(shù))?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、型未定式型未定式存在(或?yàn)?定理定理 2.證證:僅就極限存在的情形加以證明.(洛必達(dá)法則)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1)的情形從而機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2)的情形.取常數(shù)可用 1)中結(jié)論機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3)時(shí),結(jié)論仍然成立.(證明略)說明說明:定理中換為之一,條件 2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.求解解:原式例例4.求求解解:(1)n 為正整數(shù)的情形.原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.求(2)n 不為正整數(shù)的情形.從而由(1)用夾逼準(zhǔn)則存在正整數(shù) k,使當(dāng) x 1 時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3.例4.說明說明:1)例3,例4 表明時(shí),后者比前者趨于更快.例如,而用洛必達(dá)法則2)在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決 計(jì)算問題.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3)若例如例如,極限不存在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、其他未定式三、其他未定式:解決方法解決方法:通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例5.求解解:原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解:原式例例6.求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例7.求解解:利用利用 例例5例5 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例8.求解解:注意到原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9.求分析分析:為用洛必達(dá)法則,必須改求法法1 用洛必達(dá)法則但對(duì)本題用此法計(jì)算很繁!法法2原式例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則令取對(duì)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.設(shè)是未定式極限,如果不存在,是否的極限也不存在?舉例說明.極限說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原式分析分析:分析分析:3.原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則4.求解解:令原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P137 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),4第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求下列極限:解解:備用題備用題機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令則原式=解解:(用洛必達(dá)法則)(繼續(xù)用洛必達(dá)法則)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解:原式=第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 結(jié)束語結(jié)束語謝謝大家聆聽！謝謝大家聆聽！30