高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)14 專題5 突破點(diǎn)14 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

專題限時(shí)集訓(xùn)(十四)圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) 建議A、B組各用時(shí)：45分鐘A組高考達(dá)標(biāo)一、選擇題1(2016·全國(guó)甲卷)設(shè)F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，曲線y(k0)與C交于點(diǎn)P，PFx軸，則k()A.B1C.D2Dy24x，F(xiàn)(1,0)又曲線y(k0)與C交于點(diǎn)P，PFx軸，P(1,2)將點(diǎn)P(1,2)的坐標(biāo)代入y(k0)得k2.故選D.2(2016·石家莊一模)過(guò)點(diǎn)A(0,1)作直線，與雙曲線x21有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合條件的直線的條數(shù)為()A0B2 C4D無(wú)數(shù)C過(guò)點(diǎn)A(0,1)和雙曲線的漸近線平行的直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有兩條，過(guò)點(diǎn)A(0,1)和雙曲線相切的直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線也有兩條，故共四條直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)3(2016·唐山二模)橢圓y21(0m1)上存在點(diǎn)P使得PF1PF2，則m的取值范圍是()A. BC. D.B當(dāng)點(diǎn)P是短軸的頂點(diǎn)時(shí)F1PF2最大，因此若橢圓上存在點(diǎn)P使得PF1PF2，則F1PF290°，所以F2PO45°(O是原點(diǎn))，從而，即1m2，又0m1，所以0m.4(2016·?？诙?設(shè)點(diǎn)P是橢圓1(ab0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，I為PF1F2的內(nèi)心，若SIPF1SIPF22SIF1F2，則該橢圓的離心率為()A. BC. D.A因?yàn)镾IPF1SIPF2SIF1F2SPF1F2，所以3SIF1F2SPF1F2，設(shè)PF1F2內(nèi)切圓的半徑為r，則有×2c×r×(|PF1|PF2|2c)×r，整理得|PF1|PF2|4c，即2a4c，所以e.5(2016·蘭州模擬)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為.雙曲線x2y21的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952052】A.1 B1C.1 D.1D橢圓的離心率e，所以a2b.所以橢圓方程為x24y24b2.因?yàn)殡p曲線x2y21的漸近線方程為x±y0，所以漸近線x±y0與橢圓x24y24b2在第一象限的交點(diǎn)為，所以由圓錐曲線的對(duì)稱性得四邊形在第一象限部分的面積為b×b4，所以b25，所以a24b220.所以橢圓C的方程為1.故選D.二、填空題6(2016·合肥二模)雙曲線M：x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，記|F1F2|2c，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，c為半徑的圓與雙曲線M在第一象限的交點(diǎn)為P，若|PF1|c2，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)根據(jù)雙曲線的定義知|PF1|PF2|2，又|PF1|c2，所以|PF2|c，由勾股定理得(c2)2c24c2，即c22c20，解得c1，根據(jù)OPF2是等邊三角形得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.7(2016·邯鄲二模)已知F1，F(xiàn)2為1的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，則MF1F2內(nèi)切圓的周長(zhǎng)等于3，若滿足條件的點(diǎn)M恰好有2個(gè)，則a2_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952053】25由題意得內(nèi)切圓的半徑等于，因此MF1F2的面積為××(2a2c)，即×|yM|×2c，因?yàn)闈M足條件的點(diǎn)M恰好有2個(gè)，所以M為橢圓短軸端點(diǎn)，即|yM|4，所以3a5c而a2c216，所以a225.8(2016·平頂山二模)如圖14­1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)B，A.若ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為_(kāi)圖14­1因?yàn)锳BF2為等邊三角形，由點(diǎn)A是雙曲線上的一點(diǎn)知，|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a，由點(diǎn)B是雙曲線上一點(diǎn)知，|BF2|BF1|2a，從而|BF2|4a，由ABF260°得F1BF2120°，在F1BF2中應(yīng)用余弦定理得4c24a216a22·2a·4a·cos 120°，整理得c27a2，則e27，從而e.三、解答題9(2016·唐山一模)在ABC中，A(1,0)，B(1,0)，若ABC的重心G和垂心H滿足GH平行于x軸(G，H不重合)(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線AC與以O(shè)為圓心，以|OH|為半徑的圓相切，求此時(shí)直線AC的方程解(1)由題意可設(shè)C(x，y)，則G，H，(x1，y).2分因?yàn)镠為垂心，所以·x210，整理可得x21，即動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為x21(x·y0).4分(2)顯然直線AC的斜率存在，設(shè)AC的方程為yk(x1)，C(x0，y0)將yk(x1)代入x21得(3k2)x22k2xk230，6分解得x0，y0，則H.8分原點(diǎn)O到直線AC的距離d，依題意可得，10分即7k42k290，解得k21，即k1或1，故所求直線AC的方程為yx1或yx1.12分10(2016·全國(guó)甲卷)已知橢圓E：1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA.(1)當(dāng)t4，|AM|AN|時(shí)，求AMN的面積；(2)當(dāng)2|AM|AN|時(shí)，求k的取值范圍解設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y1>0.(1)當(dāng)t4時(shí)，E的方程為1，A(2,0).2分由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線AM的傾斜角為.因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.4分因此AMN的面積SAMN2×××.5分(2)由題意t3，k0，A(，0)將直線AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22·tk2xt2k23t0.由x1·()得x1，故|AM|x1|.7分由題設(shè)，直線AN的方程為y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)當(dāng)k時(shí)上式不成立，因此t.9分t3等價(jià)于0，即0.10分由此得或解得k2.因此k的取值范圍是(，2).12分B組名校沖刺一、選擇題1(2016·唐山二模)已知點(diǎn)A是拋物線C：x22py(p0)上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以點(diǎn)M(0,8)為圓心，|OA|的長(zhǎng)為半徑的圓交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且ABO為等邊三角形，則p的值是()A.B2 C6D.D由題意知|MA|OA|，所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，又ABO為等邊三角形，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，又點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn)，所以2p×4，解得p.2(2016·安慶二模)已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為1，隨著a的增大該橢圓的形狀()A越接近于圓 B越扁C先接近于圓后越扁 D先越扁后接近于圓D由題意知4aa21且a0，解得2a2，又e2111.因此當(dāng)a(2，1)時(shí)，e越來(lái)越大，當(dāng)a(1,2)時(shí)，e越來(lái)越小，故選D.3已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，對(duì)于左支上任意一點(diǎn)P都有|PF2|28a|PF1|(a為實(shí)半軸)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952054】A(1，) B(2,3C(1,3 D(1,2C由P是雙曲線左支上任意一點(diǎn)及雙曲線的定義，得|PF2|2a|PF1|，所以|PF1|4a8a，所以|PF1|2a，|PF2|4a，在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即2a4a2a，所以e3.又e1，所以1e3.故選C.4(2016·武漢二模)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AFB120°.過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為()A.B1 C.D2A設(shè)AFa，BFb，由余弦定理得|AB|2a2b22abcos 120°a2b2ab(ab)2ab(ab)22(ab)2.abAFBF2MN，|AB|2|2MN|2，.二、填空題5(2016·哈爾濱二模)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓x21(0b1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|3|F1B|，且AF2x軸，則b2_.由題意F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，AF2x軸，|AF2|b2，A點(diǎn)坐標(biāo)為(c，b2)，設(shè)B(x，y)，則|AF1|3|F1B|，(cc，b2)3(xc，y)，B，代入橢圓方程可得21.1b2c2，b2.6過(guò)拋物線y24x焦點(diǎn)F的直線交其于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|AF|3，則AOB的面積為_(kāi)設(shè)直線AB的傾斜角為(0)及|BF|m，|AF|3，點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x1的距離為3，23cos 3，即cos ，則sin .m2mcos()，m，AOB的面積為S×|OF|×|AB|×sin ×1××.三、解答題7如圖14­2，橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，且|AB|BF|.圖14­2(1)求橢圓C的離心率；(2)若點(diǎn)M在橢圓C內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)M的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，且OPOQ.求直線l的方程及橢圓C的方程解(1)由已知|AB|BF|，即a，2分4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2，e.4分(2)由(1)知a24b2，橢圓C：1.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由1，1，可得0，即0，即(y1y2)0，從而kPQ2，6分直線l的方程為y2，即2xy20.8分由x24(2x2)24b20，即17x232x164b20，9分32216×17(b24)0b，x1x2，x1x2.OPOQ，·0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0,5x1x24(x1x2)40，11分從而40，解得b1，橢圓C的方程為y21.12分8(2016·全國(guó)丙卷)已知拋物線C：y22x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：ARFQ；(2)若PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程解由題意知F.設(shè)l1：ya，l2：yb，則ab0，且A，B，P，Q，R.記過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線為l，則l的方程為2x(ab)yab0.2分(1)由于F在線段AB上，故1ab0.記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則k1bk2.所以ARFQ.4分(2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0)，則SABF|ba|FD|ba|，SPQF.6分由題設(shè)可得2×|ba|，8分所以x10(舍去)或x11.設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，9分由kABkDE可得(x1)而y，所以y2x1(x1).10分當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D(1,0)重合.11分所以，所求軌跡方程為y2x1.12分