（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)13 解析幾何（含解析）（文）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題限時集訓(xùn)(十三)解析幾何1(2018·全國卷)設(shè)拋物線C：y22x，點(diǎn)A(2,0)，B(2,0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線BM的方程；(2)證明：ABMABN.解(1)當(dāng)l與x軸垂直時，l的方程為x2，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)或(2，2)所以直線BM的方程為yx1或yx1.(2)證明：當(dāng)l與x軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，所以ABMABN.當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1>0，x2>0.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直線BM，BN的斜率之和為kBMkBN.將x12，x22及y1y2，y1y2的表達(dá)式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以ABMABN.綜上，ABMABN.2(2017·全國卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：y21上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x3上，且·1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.解(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因?yàn)镸(x0，y0)在C上，所以1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2y22.(2)證明：由題意知F(1,0)設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，則(3，t)，(1m，n)，·33mtn，(m，n)，(3m，tn)由·1得3mm2tnn21.又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以·0，即.又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.3(2018·全國卷)已知斜率為k的直線l與橢圓C：1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1，m)(m0)(1)證明：k；(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且0.證明：|，|，|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.兩式相減，并由k得·k0.由題設(shè)知1，m，于是k.由題設(shè)得0m，故k.(2)由題意得F(1,0)設(shè)P(x3，y3)，則(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及題設(shè)得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又點(diǎn)P在C上，所以m，從而P，|.于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差數(shù)列設(shè)該數(shù)列的公差為d，則2|d|x1x2|.將m代入得k1.所以l的方程為yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d|.所以該數(shù)列的公差為或.4(2019·全國卷)已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，|AB|4，M過點(diǎn)A，B且與直線x20相切(1)若A在直線xy0上，求M的半徑；(2)是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動時，|MA|MP|為定值？并說明理由解(1)因?yàn)镸過點(diǎn)A，B，所以圓心M在AB的垂直平分線上由已知A在直線xy0上，且A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，所以M在直線yx上，故可設(shè)M(a，a)因?yàn)镸與直線x20相切，所以M的半徑為r|a2|.由已知得|AO|2，又MOAO，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M的半徑r2或r6.(2)存在定點(diǎn)P(1,0)，使得|MA|MP|為定值理由如下：設(shè)M(x，y)，由已知得M的半徑為r|x2|，|AO|2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2，化簡得M的軌跡方程為y24x.因?yàn)榍€C：y24x是以點(diǎn)P(1,0)為焦點(diǎn)，以直線x1為準(zhǔn)線的拋物線，所以|MP|x1.因?yàn)閨MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.1(2020·德州一模)已知拋物線E：x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，圓M的方程為：x2y2py0，若直線x4與x軸交于點(diǎn)R，與拋物線交于點(diǎn)Q，且|QF|RQ|.(1)求出拋物線E和圓M的方程；(2)過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，與圓M交于C，D兩點(diǎn)(A，C在y軸同側(cè))，求證：|AC|·|DB|是定值解(1)設(shè)Q(4，y0)，由|QF|RQ|，得y0y0，即y02p.將點(diǎn)(4,2p)代入拋物線方程，可得p2.拋物線E：x24y，圓M的方程為：x2y22y0.(2)證明：拋物線E：x24y的焦點(diǎn)F(0,1)，設(shè)直線l的方程為ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立得x24kx40.則16(k21)0，且x1x24k，x1x24.由圓的方程可得圓M的圓心坐標(biāo)為M(0,1)，半徑為1，圓心就是焦點(diǎn)由拋物線的定義可知|AF|y11，|BF|y21.則|AC|AF|1y1，|BD|BF|1y2，|AC|·|BD|y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)14k24k211.即|AC|·|DB|是定值1.2(2020·株洲模擬)已知橢圓E：1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)(0，)，離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，F(xiàn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)F作直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，求四邊形OCAD面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))解(1)離心率為，e.橢圓E：1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)(0，)，1，即b23.又a2b2c2，a24.故橢圓E的方程為1.(2)設(shè)直線CD的方程為xmy1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，聯(lián)立消去x，得(3m24)y26my90，y1y2，y1y2，36m24(3m24)·(9)144(m21)0，S四邊形OCADSOADSOAC|OA|·|y2|OA|·|y1|OA|·|y1y2|×2×，令t1，則S.令f(t)3t，易知f(t)3.由f(t)0得t，由f(t)0得0t.又t1，f(t)在1，)上為增函數(shù)，f(t)minf(1)4.S3.即四邊形OCAD的面積的最大值為3.3(2020·石景山區(qū)一模)已知橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率為.直線l過點(diǎn)F且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)求橢圓C的方程；(2)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(3)延長線段OM與橢圓C交于點(diǎn)P，若四邊形OAPB為平行四邊形，求此時直線l的斜率解(1)由題意可知，c1，e，a2b2c2，a，b1，橢圓的方程為y21.(2)證明：設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y得，(2k21)x24k2x2k220，則x1x2.M為線段AB的中點(diǎn)，xM，yMk(xM1)，kOM，kOM·kl×k為定值(3)若四邊形OAPB為平行四邊形，則，xPx1x2，yPy1y2k(x1x2)2k，點(diǎn)P在橢圓上，2×2，解得k2，即k±，當(dāng)四邊形OAPB為平行四邊形時，直線l的斜率為k±.4(2020·漢中模擬)已知P(0,2)是橢圓C：1(ab0)的一個頂點(diǎn)，C的離心率e.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)P的兩條直線l1，l2分別與C相交于不同于P的A，B兩點(diǎn)，若l1與l2的斜率之和為4，則直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由解(1)由題意知，解得所以橢圓的方程為1.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為ykxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y并整理得(3k22)x26ktx3t2120，則(6kt)24(3k22)(3t212)0，即6k2t240，x1x2，x1x2.由l1與l2的斜率之和為4，可得4，又y1kx1t，y2kx2t，所以2k2k4，化簡得tk2(t2舍去)所以直線AB的方程為ykxk2k(x1)2，易知直線AB過定點(diǎn)(1，2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時，設(shè)其方程為xm，A(m，y3)，B(m，y4)，則4，易知y3，y4互為相反數(shù)，所以y3y40，所以m1.可知直線x1也可過定點(diǎn)(1，2)綜上可知，直線AB經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2).