（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)13 解析幾何（含解析）（理）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題限時(shí)集訓(xùn)(十三)解析幾何1(2018·全國卷)設(shè)橢圓C：y21的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OMAOMB解(1)由已知得F(1,0)，l的方程為x1.由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.又M(2,0)，所以AM的方程為yx或yx.(2)證明：當(dāng)l與x軸重合時(shí)，OMAOMB0°.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MAOMB當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2，直線MA，MB的斜率之和為kMAkMB.由y1kx1k，y2kx2k得kMAkMB.將yk(x1)代入y21，得(2k21)x24k2x2k220.所以x1x2，x1x2.則2kx1x23k(x1x2)4k0.從而kMAkMB0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)所以O(shè)MAOMB綜上，OMAOMB2(2019·全國卷)已知點(diǎn)A(2,0)，B(2,0)，動點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PEx軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點(diǎn)G.證明：PQG是直角三角形；求PQG面積的最大值解(1)由題設(shè)得·，化簡得1(|x|2)，所以C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左、右頂點(diǎn)(2)證明：設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為ykx(k0)由得x±.記u，則P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0)于是直線QG的斜率為，方程為y(xu)由得(2k2)x22uk2xk2u280.設(shè)G(xG，yG)，則u和xG是方程的解，故xG，由此得yG.從而直線PG的斜率為.所以PQPG，即PQG是直角三角形由得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面積S|PQ|PG|.設(shè)tk，則由k0得t2，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)取等號因?yàn)镾在2，)單調(diào)遞減，所以當(dāng)t2，即k1時(shí)，S取得最大值，最大值為.因此，PQG面積的最大值為.3(2018·全國卷)已知斜率為k的直線l與橢圓C：1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1，m)(m0)(1)證明：k；(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且0.證明：|，|，|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.兩式相減，并由k得·k0.由題設(shè)知1，m，于是k.由題設(shè)得0m，故k.(2)由題意得F(1,0)設(shè)P(x3，y3)，則(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及題設(shè)得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又點(diǎn)P在C上，所以m，從而P，|.于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差數(shù)列設(shè)該數(shù)列的公差為d，則2|d|x1x2|.將m代入得k1.所以l的方程為yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d|.所以該數(shù)列的公差為或.4(2019·全國卷)已知曲線C：y，D為直線y上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積解(1)證明：設(shè)D，A(x1，y1)，則x2y1.由于yx，所以切線DA的斜率為x1，故x1.整理得2tx12y110.設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直線AB的方程為2tx2y10.所以直線AB過定點(diǎn).(2)由(1)得直線AB的方程為ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|×2(t21)設(shè)d1，d2分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則d1，d2.因此，四邊形ADBE的面積S|AB|(d1d2)(t23).設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M.由于，而(t，t22)，與向量(1，t)平行，所以t(t22)t0.解得t0或t±1.當(dāng)t0時(shí)，S3；當(dāng)t±1時(shí)，S4.因此，四邊形ADBE的面積為3或4.1(2020·德州一模)已知拋物線E：x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，圓M的方程為：x2y2py0，若直線x4與x軸交于點(diǎn)R，與拋物線交于點(diǎn)Q，且|QF|RQ|.(1)求出拋物線E和圓M的方程；(2)過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，與圓M交于C，D兩點(diǎn)(A，C在y軸同側(cè))，求證：|AC|·|DB|是定值解(1)設(shè)Q(4，y0)，由|QF|RQ|，得y0y0，即y02p.將點(diǎn)(4,2p)代入拋物線方程，可得p2.拋物線E：x24y，圓M的方程為：x2y22y0.(2)證明：拋物線E：x24y的焦點(diǎn)F(0,1)，設(shè)直線l的方程為ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立得x24kx40.則16(k21)0，且x1x24k，x1x24.由圓的方程可得圓M的圓心坐標(biāo)為M(0,1)，半徑為1，圓心就是焦點(diǎn)由拋物線的定義可知|AF|y11，|BF|y21.則|AC|AF|1y1，|BD|BF|1y2，|AC|·|BD|y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)14k24k211.即|AC|·|DB|是定值1.2(2020·株洲模擬)已知橢圓E：1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)(0，)，離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，F(xiàn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)F作直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，求四邊形OCAD面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))解(1)離心率為，e.橢圓E：1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)(0，)，1，即b23.又a2b2c2，a24.故橢圓E的方程為1.(2)設(shè)直線CD的方程為xmy1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，聯(lián)立消去x，得(3m24)y26my90，y1y2，y1y2，36m24(3m24)·(9)144(m21)0，S四邊形OCADSOADSOAC|OA|·|y2|OA|·|y1|OA|·|y1y2|×2×，令t1，則S.令f(t)3t，易知f(t)3.由f(t)0得t，由f(t)0得0t.又t1，f(t)在1，)上為增函數(shù)，f(t)minf(1)4.S3.即四邊形OCAD的面積的最大值為3.3(2020·石景山區(qū)一模)已知橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率為.直線l過點(diǎn)F且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)求橢圓C的方程；(2)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(3)延長線段OM與橢圓C交于點(diǎn)P，若四邊形OAPB為平行四邊形，求此時(shí)直線l的斜率解(1)由題意可知，c1，e，a2b2c2，a，b1，橢圓的方程為y21.(2)證明：設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y得，(2k21)x24k2x2k220，則x1x2.M為線段AB的中點(diǎn)，xM，yMk(xM1)，kOM，kOM·kl×k為定值(3)若四邊形OAPB為平行四邊形，則，xPx1x2，yPy1y2k(x1x2)2k，點(diǎn)P在橢圓上，2×2，解得k2，即k±，當(dāng)四邊形OAPB為平行四邊形時(shí)，直線l的斜率為k±.4(2020·漢中模擬)已知橢圓C：1(ab0)，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為2且過點(diǎn)P(，1)(1)求橢圓C的方程；(2)若過點(diǎn)M(3,0)的直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P，判斷直線PQ是否經(jīng)過定點(diǎn)，如果經(jīng)過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不經(jīng)過，說明理由解(1)由題意解得故橢圓C的方程為1.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)將直線與橢圓的方程聯(lián)立得：消去y，整理得(2k21)x212k2x18k240.由根與系數(shù)之間的關(guān)系可得：x1x2，x1·x2.點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P，則P(x1，y1)直線PQ的斜率k.方程為：yy1(xx1)，即y.直線PQ過x軸上定點(diǎn).