簡(jiǎn)介 中值定理 洛必達(dá)法則

會(huì)計(jì)學(xué)1簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 中值定理中值定理 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則10 四月 20242 這一章討論導(dǎo)數(shù)(包括偏導(dǎo)數(shù))的應(yīng)用。主要分三個(gè)方面考慮：理論方面，得到幾個(gè)中值定理，它們是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)；LHospital法則，它是計(jì)算極限的非常有效的方法；函數(shù)性質(zhì)的研究，包括函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)、凹凸性與拐點(diǎn)，最后綜合考慮(包括漸近線)函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)圖像。第1頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202434.1最優(yōu)選擇簡(jiǎn)介 最優(yōu)選擇問題即最值問題。就經(jīng)濟(jì)方面來說，人們總是希望用最小的成本獲得最大的利潤(rùn)。為此，我們需要制訂價(jià)格以達(dá)到最大的銷售量。那么，我們?cè)鯓硬拍苋〉竭@些最值呢？從數(shù)學(xué)上說，這就是求函數(shù)的最大值、最小值問題，即最優(yōu)化問題。導(dǎo)數(shù)發(fā)展的起源問題之一就是求最值問題。當(dāng)微積分發(fā)展起來以后，求最值問題一般都是通過求導(dǎo)運(yùn)算進(jìn)行的。這一章將詳細(xì)討論最值的求法以及相關(guān)的單調(diào)、凹凸等問題。第2頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 2024410 四月 202444.2微分中值定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，由最值定理得，f(x)在閉區(qū)間a,b上有最大值、最小值。為求最值，下面由簡(jiǎn)單一些的函數(shù)開始討論?？梢钥闯?，若f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在最大值與最小值處的切線的斜率為零。為保證最值在(a,b)內(nèi)取到，設(shè)f(a)=f(b)，所以有下面的定理。一、Rolle定理第3頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 2024510 四月 20245 定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存在(a,b)，使xO yCx ABabyf(x)第4頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 20246證第5頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 20247第6頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 2024810 四月 20248 此定理有三個(gè)條件：閉區(qū)間上連續(xù)；開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等。三個(gè)條件缺一不可。結(jié)論只有一個(gè)：有一個(gè)(a,b)，使f()=0，至于這個(gè)等于什么，從定理中看不出來，這一點(diǎn)和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理類似。xO yAB f(x)不滿足條件abxO yAB f(x)不滿足條件abxO yAB f(x)不滿足條件abc第7頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 20249 應(yīng)用 對(duì)某些方程，有時(shí)可用Rolle定理確定解的個(gè)數(shù)，討論時(shí)一般要用到反證法。例1 證明方程xn+xn-1+x=1在(0,1)中有唯一實(shí)根(n1)。證明 記f(x)=xn+xn-1+x-1，則 f(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+1。由f(0)=-10；f(x)在0,1連續(xù)，由零值定理得xn+xn-1+x=1在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根。假設(shè)方程xn+xn-1+x=1 在(0,1)內(nèi)的解不止一個(gè)，設(shè)其中的兩個(gè)解為x1、x2。則f(x)在x1,x2 連續(xù)，在(x1,x2)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x1)=f(x2)。由Rolle定理知存在(x1,x2)，使f()=0，即 nn-1+(n-1)n-2+1=0而 x10，矛盾。因此原方程在(0,1)中有唯一實(shí)根。第8頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202410例2證由零值定理,即為方程的小于1的正實(shí)根.矛盾,第9頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202411 Rolle定理是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，當(dāng)定理中的f(x)寫成不同的表達(dá)式時(shí)可能出現(xiàn)不同的定理形式，即得到新的中值定理。下面討論兩個(gè)應(yīng)用廣泛的中值定理Lagrange 中值定理和Cauchy中值定理。利用Rolle定理證明其他形式的中值定理的一般思路是：根據(jù)中值定理的結(jié)果構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使之符合Rolle定理的條件。大家要注意在證明Lagrange 中值定理和Cauchy中值定理時(shí)這種思路的應(yīng)用，并學(xué)會(huì)應(yīng)用它證明其他的中值定理。第10頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 20241210 四月 202412二、Lagrange定理定理(微分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，C2h xO yABaby=f(x)C1x 分析證明分析證明第11頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202413稱為L(zhǎng)agrange 中值公式或有限增量公式。根據(jù)需要可寫成：推論1例1 證明 證明 記F(x)=arcsin x+arccos x，則F(x)=0。因此F(x)=C，x-1,1。又F(0)=/2，則推論2 若任意xI，f(x)g(x)，則f(x)=g(x)+C xI 第12頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202414 可以驗(yàn)證F(x)滿足Rolle定理的條件，因此存在(a,b)使F()=0，即三、Couchy定理定理 函數(shù)f(x)、g(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)簡(jiǎn)要證明 記第13頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202415Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理三個(gè)中值定理之間的關(guān)系 三個(gè)中值定理的形式不同，使用時(shí)要根據(jù)具體情況挑選合適的中值定理。有時(shí)需要“造出”其他的中值定理。當(dāng)用Rolle定理證明其他的中值定理時(shí)，考慮要證明的結(jié)果，先把結(jié)果中的換成x，改寫成F(x)=0的形式，選取合適的F(x)，必要時(shí)可乘以不等于零的(函)數(shù)。第14頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202416 例1 f(x)、g(x)在a,b上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，求證：證明 設(shè)F(x)=f(x)g(x)，則F(x)在a,b上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=0,由Rolle定理知中值定理的應(yīng)用習(xí)題一.證明“”的存在性問題.-構(gòu)造輔助函數(shù)法 二.證明不等式-利用lagrange 定理，柯西定理第15頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202417 例2 f(x)、g(x)在a,b上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，求證：證明 設(shè)F(x)=f(x)eg(x)，則F(x)在a,b上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=0，由Rolle定理知第16頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202418 例3 已知f(x)在a,b上連續(xù)，求證：存在M0，使對(duì)(a,b)中的任意x1、x2，都有|f(x1)-f(x2)|M|x1-x2|證明 f(x)在a,b上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理，f(x)在a,b上有界，即存在M0，使|f(x)|M。對(duì)(a,b)中的任意x1、x2，由已知，f(x)在x1,x2上連續(xù)，在(x1,x2)內(nèi)可導(dǎo)，由Lagrange 中值定理知，存在(x1,x2)使 f(x1)-f(x2)=f()(x1-x2)而|f()|M。因而有|f(x1)-f(x2)|M|x1-x2|第17頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202419例4證由上式得第18頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202420例6證分析:結(jié)論可變形為例5第19頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 2024214.3 LHospital法則 中值定理是微積分中的理論基礎(chǔ)，在很多方面都有重要的應(yīng)用。下面用Cauchy中值定理導(dǎo)出計(jì)算極限的行之有效的方法LHospital法則。據(jù)說這種求極限方法是由17世紀(jì)的Johann Bernoulli首先發(fā)現(xiàn)的。Guillaume LHospital是一位有錢的侯爵，酷愛數(shù)學(xué)。他請(qǐng)Bernoulli教他微積分，結(jié)果也搶走了Bernoulli的功勞。因此有的書把LHospital譯為“洛必達(dá)”。LHospital法則是計(jì)算極限的方法。計(jì)算極限最簡(jiǎn)單的是代入法，當(dāng)不能直接代入時(shí)，即出現(xiàn)等時(shí)用初等方法很難甚至不能求出極限，這時(shí)LHospital法則顯示了巨大的威力。第20頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202422定理(LHospital法則)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足條件：則有注 對(duì)自變量的其它變化趨勢(shì)此定理仍適用。第21頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202423 證明 令f(a)g(a)0，則f(x)和g(x)在點(diǎn)a 的某一鄰域內(nèi)連續(xù)。設(shè)x是這鄰域內(nèi)的一點(diǎn)，則f(x)和g(x)在x和a形成的區(qū)間上滿足Cauchy中值定理的條件，因此有 顯然當(dāng)xa時(shí)xa。于是 應(yīng)用時(shí)，當(dāng)分子分母都是無(wú)窮小量時(shí)，直接對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)，然后計(jì)算。第22頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202424注：第23頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202425極限不存在洛必達(dá)法則失效。如：第24頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202426 注 分子、分母分別求導(dǎo)后得到的極限若不存在，說明不能用LHospital法則，但不能確定原極限不存在。這時(shí)應(yīng)想別的方法進(jìn)行計(jì)算。例如對(duì)極限若用LHospital法則，則有最后的極限不存在。但由無(wú)窮小量的性質(zhì)得第25頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202427例1解 如果經(jīng)過一次LHospital法則后仍是0/0不定式，則可再一次用LHospital法則分別對(duì)分子、分母求導(dǎo)，直到分子、分母中至少有一個(gè)不是無(wú)窮小量再代入。例2解此題也可先把分母中的sinx代換成x再用LHospital法則。第26頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202428練習(xí)答案 ln23 1 用LHospital法則計(jì)算極限的過程中，隨時(shí)都可以化簡(jiǎn)和進(jìn)行無(wú)窮小量代換。例3解第27頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202429定理 設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足條件：則有 當(dāng)分子、分母都是無(wú)窮大量時(shí)，可用此結(jié)果，對(duì)分子分母分別求導(dǎo)，必要時(shí)可進(jìn)行化簡(jiǎn)、無(wú)窮小量代換等。第28頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202430例4解練習(xí)答案第29頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202431 至于把哪一個(gè)放到分母上，需要一些技巧(如應(yīng)盡量把指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)移到分母上；必要時(shí)可以化簡(jiǎn)、無(wú)窮小量代換、變量代換等)，要掌握這些技巧需要多加練習(xí)。例1想辦法把它化為分式形式，如第30頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202432解答案練習(xí)第31頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202433 若是分式則先進(jìn)行通分；帶根號(hào)的先有理化；有時(shí)也可考慮作變量代換，如令x=1/t?？傊癁榉质降男问?。例2解此處應(yīng)盡量讓lnx的系數(shù)中不含x，以便于求導(dǎo)后去掉對(duì)數(shù)符號(hào)。第32頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202434例3解第33頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202435利用公式化為0型：步驟:第34頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202436例4解例5解第35頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202437例6解第36頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202438練習(xí)答案 LHospital法則是計(jì)算極限的重要方法，運(yùn)用時(shí)注意以下幾點(diǎn)：運(yùn)算熟練后，特別是多次運(yùn)用LHospital法則時(shí)，每一次都要驗(yàn)證所求是否不定式；當(dāng)計(jì)算后的極限不存在且不是無(wú)窮大時(shí)，或計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)結(jié)果重復(fù)出現(xiàn)，說明不能用LHospital法則，應(yīng)盡量尋求別的方法。如第37頁(yè)/共41頁(yè)10 四月 202439第38頁(yè)/共41頁(yè)