工程力學(xué)：材料力學(xué)第七章 應(yīng)力狀態(tài)

第 1頁2024/2/20 材料力學(xué)蔣樹農(nóng)蔣樹農(nóng)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院第 2頁2024/2/20第七章 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析 71 應(yīng)力狀態(tài)的概念72 平面應(yīng)力狀態(tài)分析解析法73 平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法75 三向應(yīng)力狀態(tài)研究應(yīng)力圓法76 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系 （廣義虎克定律）第 3頁2024/2/207 應(yīng)力狀態(tài)的概念一、問題的提出一、問題的提出一、問題的提出一、問題的提出軸向拉伸桿件軸向拉伸桿件斜截面應(yīng)力：斜截面應(yīng)力：問題問題1 1：同一點處同一點處不同方位截面上不同方位截面上的應(yīng)力不相同；的應(yīng)力不相同；橫截面應(yīng)力：橫截面應(yīng)力：第 4頁2024/2/20梁彎曲的強度條件：梁彎曲的強度條件：z問題問題2 2 B B點處應(yīng)力該如何校核？點處應(yīng)力該如何校核？有必要研究有必要研究一點的應(yīng)力狀態(tài)。一點的應(yīng)力狀態(tài)。第 5頁2024/2/20二、一點的應(yīng)力狀態(tài)：二、一點的應(yīng)力狀態(tài)：過一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面上應(yīng)力情況的集合，稱為這點的應(yīng)力狀態(tài)（State of Stress at a Given Point）。研究應(yīng)力狀態(tài)的目的：找出一點處沿不同方向應(yīng)力的變化規(guī)律，確定出最大應(yīng)力，從而全面考慮構(gòu)件破壞的原因，建立適當?shù)膹姸葪l件。第 6頁2024/2/20單元體的性質(zhì)a、平行面上，應(yīng)力均布；b、平行面上，應(yīng)力相等。xyz x z y xy三、一點的應(yīng)力狀態(tài)的描述三、一點的應(yīng)力狀態(tài)的描述三、一點的應(yīng)力狀態(tài)的描述三、一點的應(yīng)力狀態(tài)的描述 研究一點的應(yīng)力狀態(tài)，可對一個研究一點的應(yīng)力狀態(tài)，可對一個包圍該點的微小正六面體包圍該點的微小正六面體單元體單元體進行分析進行分析在單元體各面上標上應(yīng)力在單元體各面上標上應(yīng)力在單元體各面上標上應(yīng)力在單元體各面上標上應(yīng)力應(yīng)力單元體應(yīng)力單元體應(yīng)力單元體應(yīng)力單元體第 7頁2024/2/20四、普遍狀態(tài)下的應(yīng)力表示四、普遍狀態(tài)下的應(yīng)力表示yxz單元體上垂直于i軸的平面上的應(yīng)力包括正應(yīng)力i和切應(yīng)力ij、ik。（i,j,k=x,y,z）其中切應(yīng)力的下標中的第二個字母表示與該切應(yīng)力平行的坐標軸。空間中某一點有九個應(yīng)力分量。空間中某一點有九個應(yīng)力分量。第 8頁2024/2/20 xyz x z y xy五、切應(yīng)力互等定理（五、切應(yīng)力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):):過一點的兩個正交面上,如果有與相交邊垂直的切應(yīng)力分量,則兩個面上的這兩個切應(yīng)力分量一定等值、方向相對或相離?？臻g中某一點的九個應(yīng)力分量可簡化成六個?？臻g中某一點的九個應(yīng)力分量可簡化成六個。第 9頁2024/2/20 zx六、原始單元體（已知單元體）：六、原始單元體（已知單元體）：例例11 畫出下列圖中的A、B、C點的已知單元體。PPAA x xMPxyzBC x xB xz xy yx第 10頁2024/2/20七、主單元體、主平面、主應(yīng)力：七、主單元體、主平面、主應(yīng)力：主單元體(Principal body)：各側(cè)面上切應(yīng)力均為零的單元體。主平面(Principal Plane)：切應(yīng)力為零的截面。主應(yīng)力(Principal Stress）：主平面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，1 1 2 2 3 3xyz x y z第 11頁2024/2/20單向應(yīng)力狀態(tài)（Unidirectional State of Stress）：一個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。二向應(yīng)力狀態(tài)（Plane State of Stress）：一個主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)（ThreeDimensional State of Stress）：三個主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。A x x zx x xB xz第 12頁2024/2/20平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)：單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)的總稱。單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)的總稱。復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)：二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)的總稱。二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)的總稱?？臻g應(yīng)力狀態(tài)：空間應(yīng)力狀態(tài)：三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)簡單應(yīng)力狀態(tài)：簡單應(yīng)力狀態(tài)：單向應(yīng)力狀態(tài)。單向應(yīng)力狀態(tài)。純剪切應(yīng)力狀態(tài)：純剪切應(yīng)力狀態(tài)：單元體上只存在切應(yīng)力無正應(yīng)力單元體上只存在切應(yīng)力無正應(yīng)力。第 13頁2024/2/20空間應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)yxz平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)xy第 14頁2024/2/20 xyxy單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)第 15頁2024/2/20取單元體取單元體取單元體取單元體示例示例示例示例FPl/2l/2S 截面截面5432154321S截面截面第 16頁2024/2/205432154321S 截面截面1332第 17頁2024/2/2072 平面應(yīng)力狀態(tài)分析解析法 x xy yxyzxy x xy yO現(xiàn)在研究與坐標軸現(xiàn)在研究與坐標軸z平行的任一截面上的應(yīng)力。平行的任一截面上的應(yīng)力。第 18頁2024/2/20規(guī)定：截面外法線同向為正；繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正；逆時針為正。圖1設(shè)：斜截面面積為S，由分離體平衡得：一、任意斜截面上的應(yīng)力xy x xy yO y yx x a a a aa axyOn圖2斜截面的方位以其外法線n與坐標軸x的夾角表示，從x到n 為逆時針方向時為正。第 19頁2024/2/20圖1xy x xy yO y yx x a a a aa axyOn圖2考慮切應(yīng)力互等和三角變換，得：同理：第 20頁2024/2/20二、極值應(yīng)力xy x xy yO平面應(yīng)力狀態(tài)下三個主應(yīng)力為：平面應(yīng)力狀態(tài)下三個主應(yīng)力為：第 21頁2024/2/20max在切應(yīng)力相對的象限內(nèi)，且偏向于x 及y較大的一側(cè)。222x yyxminmax +-=）（xy x xy yO 主單元體第 22頁2024/2/20例例2 分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并畫其原 始單元體求極值應(yīng)力 xyC yxMCxyO xy yx第 23頁2024/2/20破壞分析低碳鋼鑄鐵第 24頁2024/2/2073 平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法對上述方程消去參數(shù)（2），得：一、應(yīng)力圓（一、應(yīng)力圓（Stress Circle）xy x xy yO此方程曲線為圓應(yīng)力圓（或莫爾圓，由德國工程師：Otto Mohr引入）y xyx x a a a aa axyOn第 25頁2024/2/20建立應(yīng)力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應(yīng)力圓的畫法二、應(yīng)力圓的畫法在坐標系內(nèi)畫出點A(x，xy)和B(y，yx)AB與 軸的交點C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓應(yīng)力圓；x xy yxyOn a a a aa aO a a a aCA(x,xy)B(y,yx)x2a anD(a a,a a)第 26頁2024/2/20 x xy yxyOn a a a aa aO a a a aCA(x,xy)B(y,yx)x2a anD(a a,a a)三、單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系三、單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系面上的應(yīng)力(，)應(yīng)力圓上一點(，)面的法線 應(yīng)力圓的半徑兩面夾角 兩半徑夾角2；且轉(zhuǎn)向一致。第 27頁2024/2/20四、在應(yīng)力圓上標出極值應(yīng)力四、在應(yīng)力圓上標出極值應(yīng)力OC a a a aA(x,xy)B(y,yx)x2a a1 12a a0 0 1 2 3第 28頁2024/2/20 3例例3 求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)AB 1 2解法解法1 1圖解法：主應(yīng)力坐標系如圖AB的垂直平分線與 軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓應(yīng)力圓0 1 2BAC20 a a a a(MPa)(MPa)O20MPa在坐標系內(nèi)畫出點第 29頁2024/2/20 3 1 2BAC20 a a a a(MPa)(MPa)O20MPa主應(yīng)力及主平面如圖 10 2AB第 30頁2024/2/20解法解法2解析法：分析建立坐標系如圖60 xyO第 31頁2024/2/2074 三向應(yīng)力狀態(tài)研究應(yīng)力圓法 2 1xyz 3一、空間應(yīng)力狀態(tài)一、空間應(yīng)力狀態(tài)第 32頁2024/2/20二、三向應(yīng)力分析二、三向應(yīng)力分析彈性理論證明，圖a單元體內(nèi)任意一點任意截面上的應(yīng)力都對應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點。圖圖a圖圖b整個單元體內(nèi)的最大切應(yīng)力為：max 2 1xyz 3第 33頁2024/2/20例例4 求圖示單元體的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。（MPa）解：由單元體圖知：y z面為主平 面建立應(yīng)力坐標系如圖，畫應(yīng)力圓和點1,得:5040 xyz3010 (M Pa)a a（M Pa）a aABCAB 1 2 3 max第 34頁2024/2/2075 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系 （廣義虎克定律）一、單拉下的應(yīng)力一、單拉下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系二、純剪的應(yīng)力二、純剪的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系xyz x yxyz第 35頁2024/2/20三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力 -應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,得:xyz z y xy x第 36頁2024/2/20主應(yīng)力主應(yīng)力 -主應(yīng)變關(guān)系主應(yīng)變關(guān)系四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系:方向一致 1 3 2第 37頁2024/2/20主應(yīng)力與主應(yīng)變主應(yīng)力與主應(yīng)變方向一致。方向一致。第 38頁2024/2/20例例5 槽形剛體內(nèi)放置一邊長為槽形剛體內(nèi)放置一邊長為a=10 cm 正方形鋼塊，試求鋼塊正方形鋼塊，試求鋼塊的三個主應(yīng)力。的三個主應(yīng)力。F=8 kN，E=200 GPa,=0.3。解：解：1)1)研究對象：研究對象：2)2)由廣義虎克定律：由廣義虎克定律：正方形鋼塊正方形鋼塊第 39頁2024/2/20 例例6 鋼制圓桿的直徑鋼制圓桿的直徑d2cm，鋼材的彈性模量鋼材的彈性模量E200GPa，泊泊松比松比 0.3。測得。測得30 方向應(yīng)變方向應(yīng)變 ，求拉力，求拉力F。A 60 A/2X(,0)F30aa30 x 解：單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)，解：單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)，a 面面和和 a 面應(yīng)力分別為面應(yīng)力分別為 下一步？下一步？第 40頁2024/2/20根據(jù)廣義胡克定律根據(jù)廣義胡克定律 所以所以 A 60 A/2X(,0)F30aa30 x 第 41頁2024/2/20展開上式，并略去高階微量：展開上式，并略去高階微量：四、體積應(yīng)變四、體積應(yīng)變體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系:-平均應(yīng)力。平均應(yīng)力。體積應(yīng)變體積應(yīng)變單位體積的體積改變單位體積的體積改變第 42頁2024/2/20體積虎克定律體積虎克定律:形狀改變比能形狀改變比能:單元體的比能單元體的比能 (單位體積儲存的變形能單位體積儲存的變形能)：利用廣義虎克定律利用廣義虎克定律:第 43頁2024/2/20 2 3 1 圖圖 a m m m圖圖 b 2 3 1-m-m-m圖圖 c圖圖 b b 體積改變，體積改變，形狀不變；形狀不變；圖圖 c c 形狀改變，體積不變。形狀改變，體積不變。單元體的比能：單元體的比能：第 44頁2024/2/20 稱為體積改變比能稱為體積改變比能 圖圖 c 圖圖 b圖圖 a圖圖 C 單元體的體積應(yīng)變：單元體的體積應(yīng)變：單元體的比能單元體的比能 體積改變比能體積改變比能(b)(b)形狀態(tài)改變比能形狀態(tài)改變比能(c)(c)稱為形狀改變比能稱為形狀改變比能所以圖所以圖 C C 單元體體積不變單元體體積不變圖圖 a 單元體的體積應(yīng)變：單元體的體積應(yīng)變：第 45頁2024/2/20稱為稱為形狀改變比能形狀改變比能 或或 畸形能畸形能圖圖 c圖圖 b圖圖 ab圖的體積應(yīng)變比能：第 46頁2024/2/20