概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第3章連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布3

3.5 隨機(jī)變量的獨(dú)立性與條件分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性與條件分布一、一、兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性 對于任意的兩個(gè)隨機(jī)變量對于任意的兩個(gè)隨機(jī)變量 ，當(dāng)，當(dāng) 相互相互獨(dú)立時(shí)，對于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)軸上的集合獨(dú)立時(shí)，對于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)軸上的集合 ，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有等式時(shí)，有等式 由此，得到如下定義：由此，得到如下定義：定義定義3.5 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X與與Y的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)恰為兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積，即恰為兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積，即那么稱隨機(jī)變量那么稱隨機(jī)變量X與與Y相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。對于連續(xù)型的隨機(jī)變量，對于連續(xù)型的隨機(jī)變量，的獨(dú)立性等價(jià)于的獨(dú)立性等價(jià)于等式等式在在 的一切公共連續(xù)點(diǎn)上成立的一切公共連續(xù)點(diǎn)上成立.從上面對兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性的討論可知：從上面對兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性的討論可知：兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)可唯一兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)可唯一確定它們的聯(lián)合分布函數(shù)。確定它們的聯(lián)合分布函數(shù)。隨機(jī)變量隨機(jī)變量 相互獨(dú)立的相互獨(dú)立的直觀含義是：直觀含義是：的的取值與取值與 的取值的概率互不影響。的取值的概率互不影響。因此，在實(shí)際因此，在實(shí)際問題中，判定問題中，判定 是否相互獨(dú)立，更多的是看是否相互獨(dú)立，更多的是看 的取值與的取值與 的取值是否有影響。的取值是否有影響。例例5 設(shè)設(shè) 的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為我們已經(jīng)求得我們已經(jīng)求得 的邊緣密度函數(shù)分別為的邊緣密度函數(shù)分別為顯然，顯然，在在 的一切公共連續(xù)點(diǎn)上，的一切公共連續(xù)點(diǎn)上，有有 成立，成立，所以，所以，相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。在例在例3中，由于中，由于 聯(lián)合密度函數(shù)為聯(lián)合密度函數(shù)為其中其中 ，邊緣密度函數(shù)分，邊緣密度函數(shù)分別為別為顯然顯然 ，所以，所以 不相互不相互獨(dú)立獨(dú)立.定理定理3.7 設(shè)設(shè) ，那么，那么，相互獨(dú)立的充分必要條件為相互獨(dú)立的充分必要條件為 。二、二、n個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性 設(shè)設(shè) 的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為 ，記，記 的邊緣分布函數(shù)為的邊緣分布函數(shù)為 ，如果，如果則稱則稱n個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。在離散型的情形下在離散型的情形下，定義定義3.6和定義和定義2.4等價(jià)。在等價(jià)。在連續(xù)型的情形下連續(xù)型的情形下，n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立等價(jià)于：個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立等價(jià)于：等式等式在在 的一切公共的一切公共連續(xù)點(diǎn)上成立。連續(xù)點(diǎn)上成立。三、條件密度函數(shù)三、條件密度函數(shù) 在連續(xù)型的情況下，由于連續(xù)型分布在一點(diǎn)的在連續(xù)型的情況下，由于連續(xù)型分布在一點(diǎn)的概率概率 ，因此不能直接利用條件概率公式，因此不能直接利用條件概率公式來定義條件分布，但是，我們可以用來定義條件分布，但是，我們可以用來定義，由此和高等數(shù)學(xué)知識(shí)可推出下列條件分布：來定義，由此和高等數(shù)學(xué)知識(shí)可推出下列條件分布：定義定義3.7 設(shè)設(shè) 為二維連續(xù)型隨機(jī)向量，它為二維連續(xù)型隨機(jī)向量，它的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為 ，對任意一個(gè)固定的，對任意一個(gè)固定的 ，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，稱時(shí)，稱為在給定為在給定 條件下條件下 的條件密度函數(shù)。類似地，的條件密度函數(shù)。類似地，對任意一個(gè)固定的對任意一個(gè)固定的 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，稱時(shí)，稱為在給定為在給定 條件下條件下 的條件密度函數(shù)。的條件密度函數(shù)。作為密度函數(shù)，作為密度函數(shù)，滿足下列兩個(gè)條件：滿足下列兩個(gè)條件：與密度函數(shù)相應(yīng)的分布函數(shù)：與密度函數(shù)相應(yīng)的分布函數(shù)：例例7 設(shè)設(shè) 的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為 求在給定求在給定 條件下條件下 的條件密度函數(shù)的條件密度函數(shù) 解解 首先我們要計(jì)算首先我們要計(jì)算 的邊緣密度函數(shù)，的邊緣密度函數(shù)，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為所以所以 在在 的條件下的條件下 的取值范圍是的取值范圍是 ，從而，所求條件密度函數(shù)為從而，所求條件密度函數(shù)為 例例8 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，其中，其中 。試求。試求 的聯(lián)合密的聯(lián)合密度函數(shù)。度函數(shù)。解解 由所給條件得到由所給條件得到 當(dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)：因此，由因此，由 推得（注意分段推得（注意分段函數(shù)的乘法）函數(shù)的乘法）