材料力學：第五章 彎曲內力

第五章第五章 彎曲內力彎曲內力 概念與實例概念與實例工程實例工程實例n工程中的受彎構件工程中的受彎構件橋式起重機的主梁橋式起重機的主梁工程實例工程實例火車輪軸火車輪軸工程實例工程實例各類橋面各類橋面澳門橋澳門橋澳門橋澳門橋工程實例工程實例概念概念受風載的水塔受風載的水塔q彎曲概念彎曲概念n變形特征變形特征桿件桿件軸線軸線由由直線直線變?yōu)樽優(yōu)榍€曲線彎曲變形彎曲變形：桿件軸線變彎的變形桿件軸線變彎的變形梁梁：以彎曲變形為主的桿件：以彎曲變形為主的桿件受力特征受力特征外力與桿件的軸線垂直外力與桿件的軸線垂直 外力偶作用面在桿軸線的平面內外力偶作用面在桿軸線的平面內n結構：橫截面有對稱軸，結構：橫截面有對稱軸，全梁有縱向對稱面全梁有縱向對稱面 變形：軸線變?yōu)橐豢v向對稱內的變形：軸線變?yōu)橐豢v向對稱內的 平面曲線平面曲線n外力：作用在對稱面內外力：作用在對稱面內q梁的平面彎曲梁的平面彎曲梁的平面彎曲梁的平面彎曲 軸線軸線縱向對稱面縱向對稱面彎曲后的軸線彎曲后的軸線載荷載荷載荷平面載荷平面撓曲軸平面撓曲軸平面平面彎曲：載荷平面與撓曲軸平面為同一平面平面彎曲：載荷平面與撓曲軸平面為同一平面q梁的計算簡化梁的計算簡化v分布荷載分布荷載 q(x)q(x)v 集中力（偶）集中力（偶）FMn支座形式的簡化和支反力支座形式的簡化和支反力固定端固定端固定鉸支端（不可移簡支端）固定鉸支端（不可移簡支端）可動鉸支端（可移簡支端）可動鉸支端（可移簡支端）n荷載的簡化荷載的簡化n用梁的軸線表示梁用梁的軸線表示梁n靜定梁的三種基本形式靜定梁的三種基本形式vv懸臂梁懸臂梁懸臂梁懸臂梁lv外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁lv簡支梁簡支梁簡支梁簡支梁l支座之間的長度稱為梁的支座之間的長度稱為梁的跨度跨度梁的平面彎曲梁的平面彎曲固定端固定端支座使梁的端面既支座使梁的端面既不能移動不能移動，也，也不能轉動不能轉動不能移動的約束反力不能移動的約束反力水平支反力水平支反力 FRx和和垂直支反力垂直支反力 FRy限制轉動的約束反力限制轉動的約束反力支反力偶支反力偶 MLFRyFRxMFRyMFRx梁的平面彎曲梁的平面彎曲固定鉸支端固定鉸支端這種支座使梁的端面這種支座使梁的端面不能移動，不能移動，但但可可以轉動以轉動不能移動的約束反力不能移動的約束反力水平支反力水平支反力 FRx和和垂直支反力垂直支反力 FRyFRyFRxFRyFRxFRyFRx 梁的平面彎曲梁的平面彎曲可動鉸支端可動鉸支端這種支座使梁的端面不能沿軸線的垂直方這種支座使梁的端面不能沿軸線的垂直方向移動，但端面可沿軸線移動和轉動向移動，但端面可沿軸線移動和轉動不能移動的約束反力不能移動的約束反力垂直支反力垂直支反力 FRyFRyFRyFRyFRyFRy梁的平面彎曲梁的平面彎曲+=受力圖受力圖平面彎曲平面彎曲軸向壓縮軸向壓縮組組合合變變形形的的例例子子這種分析合理是有條件的這種分析合理是有條件的材料力學研究思路材料力學研究思路材料力學思路：材料力學思路：概念概念 內力、內力圖內力、內力圖 應力、變形應力、變形 強度分析和剛度分析強度分析和剛度分析采用同樣的思路研究彎曲問題采用同樣的思路研究彎曲問題q 梁平面彎曲梁平面彎曲橫截面橫截面上的內力上的內力剪力和彎矩剪力和彎矩n截面法截面法 內力：內力：剪力剪力 FS和和彎矩彎矩 MFSM FRyMFRxF梁的剪力和彎矩n內力符號規(guī)則內力符號規(guī)則 靜力學符號矛盾靜力學符號矛盾 mm+FS+FSmm同一截面同一截面 由于選擇研究對象的不同，由于選擇研究對象的不同，內力會差一個正負符號內力會差一個正負符號材料力學符號規(guī)則材料力學符號規(guī)則：對桿件產(chǎn)生相同變形效果的內力具有相同的符號對桿件產(chǎn)生相同變形效果的內力具有相同的符號梁的剪力和彎矩n剪力的符號規(guī)定剪力的符號規(guī)定橫截面橫截面m-m的左端對右端有相對向上的的左端對右端有相對向上的剪切錯動趨勢時，截面剪切錯動趨勢時，截面m-m上左、右兩上左、右兩端的剪力皆為正端的剪力皆為正（單元體有順時針轉動單元體有順時針轉動趨勢）趨勢）+FS+FSmmmm+FS+FSmm梁的剪力和彎矩橫截面橫截面m-m的左端對右端有相對向下的剪的左端對右端有相對向下的剪切錯動趨勢時，截面切錯動趨勢時，截面m-m上左、右兩端的上左、右兩端的剪力皆為負剪力皆為負（單元體有逆時針轉動趨勢）（單元體有逆時針轉動趨勢）-FS-FSmmmm-FSmm-FS剪力符號規(guī)則：順正逆負剪力符號規(guī)則：順正逆負+FS+FS梁的剪力和彎矩n彎矩的符號規(guī)定彎矩的符號規(guī)定橫截面橫截面m-m處使微梁有凹面向上的彎曲變形處使微梁有凹面向上的彎曲變形時，截面時，截面m-m上左、右兩端的彎矩皆為正上左、右兩端的彎矩皆為正（下部受拉）（下部受拉）mmmm+M+M+M+M梁的剪力和彎矩橫截面橫截面m-m處使微梁有凹面向下的彎曲變形處使微梁有凹面向下的彎曲變形時，截面時，截面m-m上左、右兩端的彎矩皆為負上左、右兩端的彎矩皆為負（上部受拉）（上部受拉）mmmm-M-M-M-M彎矩符號規(guī)則：凹正凸負彎矩符號規(guī)則：凹正凸負M0=Pl/4l/2l/2APBFAyFByxExample-1例例 計算如圖所示簡支梁的剪力和彎矩。計算如圖所示簡支梁的剪力和彎矩。解解 首先計算首先計算支反力支反力FAy y和和FBy從而得從而得 計算計算x處橫截面處橫截面C的的內力內力 當當 x l/2 時，有時，有Example-1得得xFSPMFAyM0=Pl/4l/2l/2APBFAyFByx 計算計算x處橫截面處橫截面C的內力的內力，當當 x l/2 時，有時，有l(wèi)-xFSM0MFByExample-1從而得從而得M0=Pl/4l/2l/2APBFAyFByx梁的剪力和彎矩n依據(jù)梁內力的符號規(guī)定，無論取左端依據(jù)梁內力的符號規(guī)定，無論取左端梁，還是右端梁，計算所得梁的內力梁，還是右端梁，計算所得梁的內力是相同的是相同的n實際上，梁截面左、右兩端的內力是實際上，梁截面左、右兩端的內力是大小相等，方向相反的，這是因為它大小相等，方向相反的，這是因為它們是一對們是一對作用與反作用力作用與反作用力qM=qa2a aA Aa aa a12 23 3 B BExample-2例例 求圖示簡支梁截面上的剪力和彎矩。求圖示簡支梁截面上的剪力和彎矩。解解 首先計算支反力首先計算支反力FAy和和FBy 從而得從而得FAyFByxExample-2截面截面1處的內力處的內力Q1、M1(從左向右從左向右)截面截面截面截面2 2處的內力處的內力處的內力處的內力Q Q22、MM22M=qa2qa aA AB Ba aa a12 23 3 FAyFByxExample-2截面截面3處的內力處的內力Q3、M3，(從右向左從右向左)當當 0時，時，當截面趨于支座處當截面趨于支座處時，截面上的內力時，截面上的內力就等于支座處的約就等于支座處的約束支座反力束支座反力M=qa2qa aA AB Ba aa a12 23 3 FAyFByx梁的剪力和彎矩思考題：圖示外伸梁截面圖示外伸梁截面B處的彎矩為處的彎矩為BA內力方程和內力圖n通常，梁截面上的剪力、彎矩是截面位通常，梁截面上的剪力、彎矩是截面位置的函數(shù)，可表示為置的函數(shù)，可表示為 FS=FS(x)，M=M(x)分別稱之為分別稱之為剪力方程剪力方程和和彎矩方程彎矩方程n以梁的軸線為橫坐標，縱坐標表示梁橫以梁的軸線為橫坐標，縱坐標表示梁橫截面的剪力和彎矩的圖分別稱之為截面的剪力和彎矩的圖分別稱之為剪力剪力圖圖和和彎矩圖彎矩圖剪力圖和彎矩圖n剪力和彎矩的正值畫在剪力和彎矩的正值畫在x軸的上側，軸的上側，負值畫在負值畫在x軸的下側軸的下側n繪制剪力圖和彎矩圖的基本方法是：繪制剪力圖和彎矩圖的基本方法是：v首先得到梁的剪力方程和彎矩方程首先得到梁的剪力方程和彎矩方程 FS=FS(x)，M=M(x)v其次，畫出相應的剪力圖和彎矩圖其次，畫出相應的剪力圖和彎矩圖n內力圖三要素：內力圖三要素：大小、單位、正負號大小、單位、正負號Example-1例例 繪出如圖所示簡支梁的剪力和彎矩圖。繪出如圖所示簡支梁的剪力和彎矩圖。解解 首先計算支反力首先計算支反力F FAyAy和和FByABCabPFAyFByxx AC段截面上的內力為段截面上的內力為 CB段截面上的內力為段截面上的內力為 Example-1彎矩圖彎矩圖xM Pab/(a+b)剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖v在集中力作用處，左在集中力作用處，左右兩端的剪力發(fā)生突右兩端的剪力發(fā)生突變，突變量等于該集變，突變量等于該集中載荷中載荷v在集中力作用處，左在集中力作用處，左右兩端的彎矩相同，右兩端的彎矩相同，即彎矩連續(xù)變化即彎矩連續(xù)變化剪力圖剪力圖 Pb/(a+b)Pa/(a+b)xFSv 剪力突變處，彎矩取極值剪力突變處，彎矩取極值ABCabPxABCabMExample-2例例 繪出如圖所示簡支梁的剪力和彎矩圖。繪出如圖所示簡支梁的剪力和彎矩圖。解解 首先求支反力首先求支反力FAy和和FByAC段截面上的內力為段截面上的內力為 CB段截面上的內力為段截面上的內力為 FAyFByxxExample-2剪力圖剪力圖M/(a+b)xFS彎矩圖彎矩圖 Mb/(a+b)Ma/(a+b)Mx剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖v在集中力偶作用處，在集中力偶作用處，左右兩端的彎矩發(fā)生左右兩端的彎矩發(fā)生突變，突變量等于該突變，突變量等于該集中力偶集中力偶v在集中力偶作用處，在集中力偶作用處，左右兩端的剪力相同，左右兩端的剪力相同，即剪力連續(xù)變化即剪力連續(xù)變化ABCabMqlABExample-3例例 求圖示簡支梁截面上的剪力和彎矩。求圖示簡支梁截面上的剪力和彎矩。解解 首先求支反力首先求支反力FAy和和FByFAyFByx從而得剪力和彎矩為從而得剪力和彎矩為剪力圖剪力圖ql/2FSx ql/2ql2/8彎矩圖彎矩圖 xM剪力為零處，彎矩取極值剪力為零處，彎矩取極值Example-4例例 求圖示懸臂梁截面上的剪力和彎矩。求圖示懸臂梁截面上的剪力和彎矩。解解 懸臂梁的剪力和彎矩為懸臂梁的剪力和彎矩為q從而得剪力圖和彎矩圖從而得剪力圖和彎矩圖剪力圖剪力圖qlFSx ql2/2彎矩圖彎矩圖xMxxExample-5例例 繪出如圖所示繪出如圖所示連續(xù)梁連續(xù)梁的剪力和彎矩圖。的剪力和彎矩圖。aaaa解解 首先計算支反力首先計算支反力FAy、FCy和和FEy，F(xiàn)AyFEyFCyFCyMAx能否列整體平衡？Example-5從而，剪力分布為從而，剪力分布為aaaaExample-5彎矩分布為彎矩分布為aaaaExample-5剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖剪力圖剪力圖F/2 F/2F/2+qaxFS彎矩圖彎矩圖MAFa/2 Fa/2xMaaaaSummaryn內力方程特內力方程特點：點：分段函數(shù)分段函數(shù)以集中力（偶）以集中力（偶）作用點和分布力作用點和分布力（力偶）的起始（力偶）的起始點和終止點作為點和終止點作為分段點分段點aaaaSummaryn內力圖特點：內力圖特點：在集中力作用在集中力作用處，剪力發(fā)生突處，剪力發(fā)生突變，變化值即為變，變化值即為集中力值，彎矩集中力值，彎矩M不變不變 剪力符號突變剪力符號突變處，彎矩取極值處，彎矩取極值彎矩圖彎矩圖xM Pab/(a+b)剪力圖剪力圖 Pb/(a+b)Pa/(a+b)xFSABCabPxSummary在集中力偶作在集中力偶作用處，剪力用處，剪力 不變，彎矩不變，彎矩M發(fā)生突變，變發(fā)生突變，變化值就是集中化值就是集中力偶值力偶值剪力圖剪力圖M/(a+b)xFS彎矩圖彎矩圖 Mb/(a+b)Ma/(a+b)MxABCabMSummaryn剪力為零處，剪力為零處，彎矩取極值彎矩取極值剪力圖剪力圖ql/2FSx ql/2ql2/8彎矩圖彎矩圖 xM內力圖三個主要內力圖三個主要特點是簡單判斷特點是簡單判斷內力圖畫得是否內力圖畫得是否正確的關鍵正確的關鍵qlAB求解內力方程技巧求解內力方程技巧n已介紹截面法：已介紹截面法：較煩瑣，需畫受力圖、列平衡、解方程較煩瑣，需畫受力圖、列平衡、解方程n利用規(guī)律求解內力利用規(guī)律求解內力 總結截面法中的一般規(guī)律總結截面法中的一般規(guī)律求解內力方程技巧求解內力方程技巧n規(guī)律：規(guī)律：1.剪力剪力Fs等于脫離體上外力的代數(shù)和等于脫離體上外力的代數(shù)和。脫。脫離體端部外力的符號，用剪力的符號法則離體端部外力的符號，用剪力的符號法則去判定，其它外力與端部外力同同向則同去判定，其它外力與端部外力同同向則同號，反向則異號。號，反向則異號。2.彎矩彎矩M等于脫離體上外力，外力偶對所等于脫離體上外力，外力偶對所在截面的力矩代數(shù)和在截面的力矩代數(shù)和。脫離體向上的外力。脫離體向上的外力產(chǎn)生的力矩為正，與向上的外力產(chǎn)生力矩產(chǎn)生的力矩為正，與向上的外力產(chǎn)生力矩同向的外力偶矩為正，反之為負。同向的外力偶矩為正，反之為負。求解內力方程技巧求解內力方程技巧n規(guī)律簡記：規(guī)律簡記：1.Fs:從左向右研究從左向右研究 (-)從右向左研究從右向左研究 (-)2.M:(-)ExampleA AB Ba aa aa aa aqq3qaqa2求內力方程求內力方程支反力支反力FAyFByxExampleA AB Ba aa aa aa aqq3qaqa2FAyFByx端部支反力端部支反力 其它外力其它外力:與端部外力看齊與端部外力看齊剪力剪力:使脫離體順轉使脫離體順轉向上力正向上力正向下力負向下力負從左起從左起分四段分四段Example先求內力方程，然后先求內力方程，然后用描點法化內力圖，用描點法化內力圖，雖然精確，但力系復雖然精確，但力系復雜時工作量大，容易雜時工作量大，容易出錯，以后介紹較為出錯，以后介紹較為方便的定性草圖畫法方便的定性草圖畫法彎矩圖技巧彎矩圖技巧-疊加法疊加法彎矩圖彎矩圖xM Pab/(a+b)彎矩圖彎矩圖 Mb/(a+b)Ma/(a+b)Mxql2/8彎矩圖彎矩圖 xMqlABM0P彎矩圖彎矩圖 xMABCabPxABCabMqlAB微分關系彎矩彎矩、剪力和載荷集度的微分關系剪力和載荷集度的微分關系 考慮如圖所示的平面彎曲梁，坐標考慮如圖所示的平面彎曲梁，坐標系及分布載荷的方向如圖所示。系及分布載荷的方向如圖所示。假定載荷連續(xù)分布在梁軸上，則梁假定載荷連續(xù)分布在梁軸上，則梁橫截面上的內力也是橫截面上的內力也是連續(xù)分布連續(xù)分布的。的。微分關系任取一微梁段任取一微梁段dx，其受力為其受力為考慮微元梁段的平衡考慮微元梁段的平衡注意：載荷注意：載荷q向上向上為正；向下為負為正；向下為負微分關系微分關系略去略去dx2以上的高階項，得以上的高階項，得 從而，得剪力、彎矩和分布載荷的關系從而，得剪力、彎矩和分布載荷的關系微分關系根據(jù)荷載分布的特性，利用剪力、彎根據(jù)荷載分布的特性，利用剪力、彎矩和分布載荷的關系矩和分布載荷的關系可得到剪力、彎矩的分布特征?？傻玫郊袅?、彎矩的分布特征。其主要性質總結如下：其主要性質總結如下：與內力圖中曲線的斜率及其導數(shù)有關與內力圖中曲線的斜率及其導數(shù)有關微分關系n當當q=0時時vFS(x)=常數(shù)，剪力圖為一段直線常數(shù)，剪力圖為一段直線vM(x)為一次函數(shù)，彎曲圖為一段斜直線為一次函數(shù)，彎曲圖為一段斜直線n當當q=常數(shù)時（均布載荷）常數(shù)時（均布載荷）vFS(x)為一次函數(shù)，為一次函數(shù)，剪力圖為一段斜直線剪力圖為一段斜直線 當當q 0 時（分布載荷向上），單調上升時（分布載荷向上），單調上升 當當q 0 時（分布載荷向上），拋物線下凸時（分布載荷向上），拋物線下凸 當當q 0 時，彎矩為遞增函數(shù)時，彎矩為遞增函數(shù)n當當FS(x)0q=const 0剪力剪力FS(x)常數(shù)常數(shù)一次函數(shù)一次函數(shù)（遞增）（遞增）一次函數(shù)一次函數(shù)（遞減）（遞減）剪力圖剪力圖水平直線水平直線斜直線斜直線斜直線斜直線彎矩彎矩M(x)x一次函數(shù)一次函數(shù)x二次函數(shù)二次函數(shù)x二次函數(shù)二次函數(shù)彎矩圖彎矩圖斜直線斜直線下凸拋物線下凸拋物線上凸拋物線上凸拋物線微分關系剪剪力力、彎彎矩矩的的常常用用性性質質微分關系n利用微分關系，可以不必給出具體的利用微分關系，可以不必給出具體的剪力和彎矩方程，而得到剪力和彎矩剪力和彎矩方程，而得到剪力和彎矩的草圖。其一般過程如下的草圖。其一般過程如下v求支座反力求支座反力v在載荷不連續(xù)（分布載荷、集中載荷、在載荷不連續(xù)（分布載荷、集中載荷、集中力偶）處分段，并確定各分點的剪集中力偶）處分段，并確定各分點的剪力和彎矩值（左右兩端）力和彎矩值（左右兩端）v利用微分關系，確定各段中剪力、彎矩利用微分關系，確定各段中剪力、彎矩的性質，并作出剪力和彎矩圖的性質，并作出剪力和彎矩圖利用微分關系繪制剪力和彎矩圖利用微分關系繪制剪力和彎矩圖P=qaqaABaaCDM=qa2Example-1例例 給出如圖所示的簡支梁的剪力圖給出如圖所示的簡支梁的剪力圖和彎矩圖和彎矩圖載荷在載荷在B、C處不連續(xù)，故應處不連續(xù)，故應將梁將梁AD分為三段分為三段AB、BC和和CD。解解 如圖建立坐標系，如圖建立坐標系，利用整體平衡，可計算出利用整體平衡，可計算出支座約束反力支座約束反力FAyFDyx求截面求截面A、B、C和和D上的內力上的內力截面截面B上的內力上的內力截面截面A+上的內力上的內力Example-1xP=qaqaABaaCDM=qa2FAyFDy截面截面D-上的內力上的內力Example-1截面截面C上的內力上的內力xP=qaqaABaaCDM=qa2FAyFDy彎矩圖xMx剪力圖Fs作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖qa/2-qa/2-qa/2qa2/2-qa2/2-qa2/2Example-1(-)(-)(-)三要素：大小、三要素：大小、正負、單位正負、單位繪圖次序：繪圖次序：定點定點連接連接 封閉封閉P=qaqaABaaCDM=qa2FAyFDyExample-2例例 利用微分關系，繪出圖示梁的剪利用微分關系，繪出圖示梁的剪力和彎矩圖力和彎矩圖解解 首先計算支反力首先計算支反力FAy和和FByFAyFBy 選擇若干控制面選擇若干控制面A、C、D、B和和E，考察各段考察各段AC、CD、DB和和BE及各截面及各截面的特征，總結如下：的特征，總結如下：段段ACCDDBBE截面截面A+C-C+D-D+B-B+E-剪力剪力FS(kN)731-3-3-322下斜直線下斜直線下斜直線下斜直線水平直線水平直線水平直線水平直線彎矩彎矩M(kNm)02020166-6-60拋物線上凸拋物線上凸拋物線上凸拋物線上凸 下斜直線下斜直線上斜直線上斜直線Example-2FAyFByExample-2繪繪制制剪剪力力和和彎彎矩矩圖圖剪剪力力圖圖彎彎矩矩圖圖+-20.5Mmax=20.5kNmExample-2n彎矩極值的確定彎矩極值的確定x1截面位置截面位置Example-3aaaqqM=2qa2ADCBFAyMAFByFByFDy 解解 首先計算支反首先計算支反力力FAy、FBy、FDy和和MA例例 繪出圖示梁的剪力和彎矩繪出圖示梁的剪力和彎矩圖圖能否以能否以ABCD列整體平衡？列整體平衡？選擇若干控制面選擇若干控制面A、B、C 和和D，考察各段考察各段AB、BC和和CD及各及各截面的特征，總結如下：截面的特征，總結如下：段段ABBCCD截面截面A+B-B+C-C+D-剪力剪力FS(kN)qa/2qa/2qa/23qa/23qa/2qa/2水平直線水平直線上斜直線上斜直線下斜直線下斜直線彎矩彎矩M(kNm)-qa2/20-2qa2-qa2-qa20上斜直線上斜直線下凸下凸上凸上凸Example-3aaaqqM=2qa2ADCBExample-3繪制剪力和彎矩圖繪制剪力和彎矩圖 qa/2qa/23qa/2qa2/22qa2qa2剪力圖剪力圖彎矩圖彎矩圖aaaqqM=2qa2ADCB段ABBCCD截面A+B-B+C-C+D-剪力qa/2qa/2qa/23qa/23qa/2qa/2彎矩-qa2/20-2qa2-qa2-qa20