工程力學C-第10章 彎曲內(nèi)力

第第10章章 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力1、引言、引言2、梁的計算簡圖、梁的計算簡圖3、剪力與彎矩剪力與彎矩4、剪力、彎矩方程與剪力、彎矩圖剪力、彎矩方程與剪力、彎矩圖基本內(nèi)容：基本內(nèi)容：剪力、彎矩方程與剪力、彎矩圖剪力、彎矩方程與剪力、彎矩圖本章要點：本章要點：10-1 引言引言一、彎曲變形的實例一、彎曲變形的實例qP變形特點變形特點：桿件的軸線由直線變成曲線：桿件的軸線由直線變成曲線以彎曲變形為主的桿件以彎曲變形為主的桿件梁梁受力特點受力特點：外力垂直于桿件的軸線。：外力垂直于桿件的軸線。稱為橫向力稱為橫向力縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面變形前的軸線變形前的軸線變形后的軸線變形后的軸線 若梁上的外載荷都作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，則梁彎曲變形若梁上的外載荷都作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，則梁彎曲變形后的軸線為縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的平面曲線。后的軸線為縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的平面曲線。這種彎曲稱為這種彎曲稱為平面彎曲平面彎曲或或?qū)ΨQ彎曲對稱彎曲。發(fā)生平面彎曲的兩個條件：發(fā)生平面彎曲的兩個條件：(1)具有縱向?qū)ΨQ平面；具有縱向?qū)ΨQ平面；(2)外力作用于縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。外力作用于縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。材料力學材料力學 主要研究平面彎曲的情形。主要研究平面彎曲的情形。二、平面彎曲的概念二、平面彎曲的概念橫截面對稱軸橫截面對稱軸10-2 梁的計算簡圖梁的計算簡圖按支座對按支座對梁的約束情況，可簡化為三種基本形式梁的約束情況，可簡化為三種基本形式:限制梁端截面沿水平和垂直方向移動和繞某一軸轉(zhuǎn)動。限制梁端截面沿水平和垂直方向移動和繞某一軸轉(zhuǎn)動。一、梁的支座分類一、梁的支座分類1 1、固定端：、固定端：端截面處有端截面處有0個自由度個自由度限制被支撐的橫截面沿水平和垂直方向移動。限制被支撐的橫截面沿水平和垂直方向移動。2 2、固定鉸支座：、固定鉸支座：被支撐的橫截面有被支撐的橫截面有1個自由度個自由度使桿件可沿支承面方向移動和繞支承點的轉(zhuǎn)動。使桿件可沿支承面方向移動和繞支承點的轉(zhuǎn)動。3 3、可動鉸支座：、可動鉸支座：被支撐的橫截面被支撐的橫截面有有2個自由度個自由度3 3、集中力偶、集中力偶集中載荷集中載荷分布載荷分布載荷集中力偶集中力偶二、梁的載荷分類二、梁的載荷分類2 2、分布載荷、分布載荷 沿軸向連續(xù)分布在桿件上的載荷，常用沿軸向連續(xù)分布在桿件上的載荷，常用q 表示單位長表示單位長度上的載荷，稱為載荷集度。如風力，水力，重力。度上的載荷，稱為載荷集度。如風力，水力，重力。1 1、集中載荷、集中載荷載荷的作用范圍遠小于桿件軸向尺寸。載荷的作用范圍遠小于桿件軸向尺寸。三、幾種靜定梁的基本形式三、幾種靜定梁的基本形式利用平衡方程可確定全部支反力的梁，稱為利用平衡方程可確定全部支反力的梁，稱為靜定梁靜定梁.3 3、懸臂梁、懸臂梁一端固支，一端自由。一端固支，一端自由。1 1、簡支梁、簡支梁一端為固定鉸支座，一端為活動鉸支座。一端為固定鉸支座，一端為活動鉸支座。2 2、外伸梁、外伸梁一端或兩端向外伸出的簡支梁。一端或兩端向外伸出的簡支梁。僅利用平衡方程不能確定全部支反力的梁，稱為僅利用平衡方程不能確定全部支反力的梁，稱為靜不定梁靜不定梁.10-3 剪力與彎矩剪力與彎矩xy一、剪力和彎矩一、剪力和彎矩截面形心截面形心O步驟：步驟：（1）先求約束反力）先求約束反力RA 、RB ；RARBm myxRAP1axA（2）由截面法求橫截面上的內(nèi)力；）由截面法求橫截面上的內(nèi)力；（如：求如：求 m m 截面的內(nèi)力）截面的內(nèi)力）P1P2P3ABm mxaP2P3mmxRB10-3 剪力與彎矩剪力與彎矩一、剪力和彎矩一、剪力和彎矩剪力剪力 在數(shù)值上等于截面在數(shù)值上等于截面以左（或以右）所有外力在以左（或以右）所有外力在y軸上軸上投影代數(shù)和；投影代數(shù)和；彎矩彎矩 在數(shù)值上等于截面在數(shù)值上等于截面以左（或以右）所有外力對截以左（或以右）所有外力對截面形心取矩的代數(shù)和；面形心取矩的代數(shù)和；xy截面形心截面形心ORARBm myxRAP1axAP1P2P3ABm mxaP2P3mmxRB二、剪力和彎矩的正負號規(guī)定二、剪力和彎矩的正負號規(guī)定1.剪剪力的力的正負正負 使梁微段發(fā)生順時針轉(zhuǎn)動的剪力使梁微段發(fā)生順時針轉(zhuǎn)動的剪力Q為正，反之為負。為正，反之為負。截面左側(cè)截面左側(cè)：向下的向下的Q為正，為正，向上的向上的Q為負；為負；截面右側(cè)截面右側(cè)：向上的向上的Q為正，為正，向下的向下的Q為負。為負。（）（）（）（）二、剪力和彎矩的正負號規(guī)定二、剪力和彎矩的正負號規(guī)定2.彎矩的正負彎矩的正負 使梁微段發(fā)生上凹下凸變形的彎矩使梁微段發(fā)生上凹下凸變形的彎矩 M 為正，反之為負。為正，反之為負。截面左側(cè)截面左側(cè)：逆時針轉(zhuǎn)向的逆時針轉(zhuǎn)向的彎矩彎矩M為正，為正，順時針轉(zhuǎn)向的順時針轉(zhuǎn)向的彎矩彎矩M為負；為負；截面右側(cè)截面右側(cè)：順時針轉(zhuǎn)向的順時針轉(zhuǎn)向的彎矩彎矩M為正，為正，逆時針轉(zhuǎn)向的逆時針轉(zhuǎn)向的彎矩彎矩M為負。為負。（）（）（）（）AB11221.5 m 1.5 m3 m1.5 m2 m8 kN12 kN/m 圖示簡支梁，試求指定截面的剪力圖示簡支梁，試求指定截面的剪力Q和彎矩和彎矩M。解：解：（1）先求約束反力；）先求約束反力；RARB（2）由截面法求）由截面法求Q、M1 1截面：截面：8 kN11ARA2 m1.5 mO截面形心截面形心例例 1 圖示簡支梁，試求指定截面的剪力圖示簡支梁，試求指定截面的剪力Q和彎矩和彎矩M 。解：解：2 2截面：截面：說明：說明：取左段時：取左段時：Q向下假設(shè)為正；向下假設(shè)為正；M逆時針假設(shè)為正。逆時針假設(shè)為正。取右段時：取右段時：Q向上假設(shè)為正；向上假設(shè)為正；M順時針假設(shè)為正。順時針假設(shè)為正。例例 1AB11221.5 m 1.5 m3 m1.5 m2 m8 kN12 kN/mRARB22RB12 kN/m1.5 mB8 kN11ARA2 m1.5 mO截面形心截面形心向上的外力在截面上引起正的剪力；向上的外力在截面上引起正的剪力；向下的外力在截面上引起負的剪力。向下的外力在截面上引起負的剪力。向下的外力在截面上引起正的剪力；向下的外力在截面上引起正的剪力；向上的外力在截面上引起負的剪力。向上的外力在截面上引起負的剪力。3.剪力、彎矩的正負與橫向外力的關(guān)系剪力、彎矩的正負與橫向外力的關(guān)系（1）剪力：）剪力：（2）彎矩：）彎矩：向上的外力在截面上引起正的彎矩；向上的外力在截面上引起正的彎矩；向下的外力在截面上引起負的彎矩。向下的外力在截面上引起負的彎矩。向上的外力在截面上引起正的彎矩；向上的外力在截面上引起正的彎矩；向下的外力在截面上引起負的彎矩。向下的外力在截面上引起負的彎矩。取左取左半部分：半部分：8 kN11ARA2 m1.5 mO截面形心截面形心取取右半部分：右半部分：22RB12 kN/m1.5 mB取左取左半部分：半部分：取取右半部分：右半部分：a 圖示簡支梁，試求指定截面的剪力圖示簡支梁，試求指定截面的剪力Q和彎矩和彎矩M 。解：解：（1）先求約束反力）先求約束反力 RA、RB（2）求指定截面）求指定截面Q和和MRBRA2 2截面：截面：aRA1 1截面：截面：RB例例 24.剪力、彎矩的正負與橫向外力偶的關(guān)系剪力、彎矩的正負與橫向外力偶的關(guān)系彎矩：彎矩：取左半取左半部分部分順順時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正的彎矩時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正的彎矩逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負的彎矩逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負的彎矩取取右半部分右半部分逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正的彎矩逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正的彎矩順時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負的彎矩順時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負的彎矩aRBRAaRARB 已知已知:P、M=Pl、l 求：橫截面求：橫截面D-、E、A+的剪力和彎矩。的剪力和彎矩。解：解：（1）計算支反力）計算支反力（2）計算截面）計算截面 E 的剪力和彎矩的剪力和彎矩（3）計算截面）計算截面A+和和D-的剪力和彎矩的剪力和彎矩例例 3解解得：得：解解得：得：解解得：得：同理：同理：10-4 剪力、彎矩方程與剪力、彎矩圖剪力、彎矩方程與剪力、彎矩圖一、剪力方程與彎矩方程一、剪力方程與彎矩方程x 表示梁橫截面的位置表示梁橫截面的位置二、剪力圖與彎矩圖二、剪力圖與彎矩圖 以縱坐標表示剪力以縱坐標表示剪力(Q)與彎矩與彎矩(M)，橫坐標橫坐標 x 表示梁橫截面的表示梁橫截面的位置，得到的剪力和彎矩的變化曲線，稱為位置，得到的剪力和彎矩的變化曲線，稱為剪力和彎矩圖剪力和彎矩圖。剪力和彎矩圖剪力和彎矩圖 梁的內(nèi)力圖梁的內(nèi)力圖 表示剪力和彎矩沿梁軸線變化規(guī)律的代數(shù)方程。表示剪力和彎矩沿梁軸線變化規(guī)律的代數(shù)方程。試列出圖示懸臂梁的剪力、試列出圖示懸臂梁的剪力、彎矩方程，并求梁的彎矩方程，并求梁的Q、M 圖。圖。解：解：（1）剪力、彎矩方程）剪力、彎矩方程（2）剪力、彎矩圖）剪力、彎矩圖xQPxMPlx 水平直線水平直線 斜直線斜直線（3）剪力、彎矩最大值）剪力、彎矩最大值例例 4PABlxyABl 試列出圖示懸臂梁的剪力、彎矩試列出圖示懸臂梁的剪力、彎矩方程，并做梁的方程，并做梁的Q、M 圖。圖。qxyx解：解：（1）剪力、彎矩方程）剪力、彎矩方程（2）剪力、彎矩圖）剪力、彎矩圖xQql 斜直線斜直線 二次拋物線二次拋物線（3）剪力、彎矩最大值）剪力、彎矩最大值例例 5求彎矩的極值點：求彎矩的極值點：xMxyABl 試列出圖示簡支梁的剪力、彎矩試列出圖示簡支梁的剪力、彎矩方程，并求梁的方程，并求梁的Q、M 圖。圖。解：解：（1）先求約束反力）先求約束反力RARBxq（2）剪力、彎矩方程）剪力、彎矩方程（3）剪力、彎矩圖）剪力、彎矩圖求彎矩的極值點：求彎矩的極值點：例例 6xQl/2xMl/2xyRARBxaABblCm 圖示簡支梁，受集中力偶作用。圖示簡支梁，受集中力偶作用。試列出剪力、彎矩方程，并求梁的試列出剪力、彎矩方程，并求梁的Q、M 圖。圖。解：解：（1）先求約束反力）先求約束反力（2）剪力、彎矩方程）剪力、彎矩方程AC段：段：CB段：段：（3）剪力、彎矩圖）剪力、彎矩圖例例 7xQxM解：解：求支反力求支反力 求：梁的剪求：梁的剪力圖和彎矩圖。力圖和彎矩圖。例例8(1)在集中力作用處，在集中力作用處，截面兩側(cè)的剪力發(fā)截面兩側(cè)的剪力發(fā)生突變；集中力的生突變；集中力的方向向上為正向突方向向上為正向突變，反之為負突變；變，反之為負突變；(2)在均布載荷作在均布載荷作用范圍內(nèi)，截面上用范圍內(nèi)，截面上的剪力表現(xiàn)為一條的剪力表現(xiàn)為一條斜直線，載荷方向斜直線，載荷方向朝上，直線斜率為朝上，直線斜率為正，反之為負；正，反之為負；(3)梁端截面處剪力的大小與端截面上集中力有梁端截面處剪力的大小與端截面上集中力有關(guān)，在左端集中力方向朝上，剪力為正，反之為關(guān)，在左端集中力方向朝上，剪力為正，反之為負，在右端集中力方向朝下，剪力為正，反之為負，在右端集中力方向朝下，剪力為正，反之為負；負；(4)梁橫截面上剪力在集中力偶作用處梁橫截面上剪力在集中力偶作用處不發(fā)生突變。不發(fā)生突變。求：梁的剪求：梁的剪力圖和彎矩圖。力圖和彎矩圖。例例8(1)在集中力偶作用在集中力偶作用處，截面兩側(cè)的彎處，截面兩側(cè)的彎矩發(fā)生突變；集中矩發(fā)生突變；集中力偶順時針轉(zhuǎn)向為力偶順時針轉(zhuǎn)向為正向突變，反之為正向突變，反之為負向突變；負向突變；(2)在均布載荷作用范圍內(nèi)，截面上的彎矩表現(xiàn)為一條拋物線，載在均布載荷作用范圍內(nèi)，截面上的彎矩表現(xiàn)為一條拋物線，載荷方向朝上，拋物線開口朝上，反之朝下；荷方向朝上，拋物線開口朝上，反之朝下；(4)梁端截面處無集中力偶作用，兩端截面處彎矩為零；梁端截面處無集中力偶作用，兩端截面處彎矩為零；(3)梁中間作用有集中力處，彎矩圖的斜率發(fā)生突變，集中力方梁中間作用有集中力處，彎矩圖的斜率發(fā)生突變，集中力方向向上則發(fā)生正向突變，反之為負向突變；向向上則發(fā)生正向突變，反之為負向突變；作業(yè)：作業(yè)：101(c)、(d)102 (d)、(f)106 107